한 시행에서 3의 배수이면 A,B,C에 각각 1,2,0개가 들어간다. 한 시행에서 3의 배수가 아니면 A,B,C에 각각 1,1,1개가 들어간다. 시행을 5번 반복한 뒤 B에 들어 있는 공의 개수가 홀수인 조건을 둔다. A와 C에 들어 있는 공의 개수의 합이 8 이상일 확률을 구한다.

2026학년도 6월 모의평가 수학 확률과 통계 28번 풀이 | 조건부확률과 시행 횟수 압축 [260628p]

문제

문제 텍스트 객관식

공 $15$ $15$개와 비어 있는 세 상자 $A,B,C$ $A,B,C$가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 규칙에 따라 세 상자 $A,B,C$ $A,B,C$에 공을 넣는 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $3$ $3$의 배수이면 세 상자 $A,B,C$ $A,B,C$에 넣는 공의 개수가 각각 $1,2,0$ $1,2,0$이고, 나온 눈의 수가 $3$ $3$의 배수가 아니면 세 상자 $A,B,C$ $A,B,C$에 넣는 공의 개수가 각각 $1,1,1$ $1,1,1$이다.

이 시행을 $5$ $5$번 반복한 후 상자 $B$ $B$에 들어 있는 공의 개수가 홀수일 때, 상자 $A$ $A$에 들어 있는 공의 개수와 상자 $C$ $C$에 들어 있는 공의 개수의 합이 $8$ $8$ 이상일 확률은?

① $\frac{44}{61}$ $\frac{44}{61}$
② $\frac{47}{61}$ $\frac{47}{61}$
③ $\frac{50}{61}$ $\frac{50}{61}$
④ $\frac{53}{61}$ $\frac{53}{61}$
⑤ $\frac{56}{61}$ $\frac{56}{61}$

정답

⑤

풀이

풀이 전략

주사위 눈을 여섯 가지로 나누기 전에, 한 시행에서 상자 $A,B,C$ $A,B,C$가 어떻게 변하는지 먼저 표로 본다.
문제에서 묻는 합이 $A+C$ $A+C$이므로, $C$ $C$가 늘어나는 경우를 세면 전체 조건이 짧아진다.

여기서는 $n$ $n$을 $3$ $3$의 배수가 아닌 눈이 나온 횟수로 둔다.
그러면 $A=5$ $A=5$, $B=10-n$ $B=10-n$, $C=n$ $C=n$으로 정리되고, 조건부확률의 분모와 분자를 $n$ $n$값 몇 개로 나누어 계산할 수 있다.

한 번 던졌을 때 $C$ $C$가 언제 늘어나는지 표로 적어보자

한 시행의 결과를 아래 표처럼 줄이면, $A$ $A$는 두 경우 모두 $1$ $1$개씩 늘고 $C$ $C$는 $3$ $3$의 배수가 아닐 때만 늘어난다는 점이 보인다.

한 시행에서 3의 배수 여부에 따른 A,B,C 증가량과 n 정의를 정리한 표 — 한 시행 표에서 $C$ $C$가 늘어나는 경우를 찾아 $n$ $n$으로 세는 출발점

표에서 $A$ $A$는 두 경우 모두 매번 $1$ $1$개씩 늘어난다.
따라서 $5$ $5$번 시행 후에는 항상 $A=5$ $A=5$이다.

문제에서 묻는 것은 $A+C$ $A+C$이다.
이미 $A=5$ $A=5$로 고정되어 있으므로, 이제 $C$ $C$가 몇 개인지만 알면 합이 정해진다.
표를 보면 $C$ $C$는 $3$ $3$의 배수가 아닐 때에만 $1$ $1$개씩 늘어난다.
그래서 $3$ $3$의 배수가 아닌 눈이 나온 횟수를 세면 된다.

$3$ $3$의 배수가 아닌 횟수를 하나로 두자

$n$ $n$을 $5$ $5$번의 시행 중 $3$ $3$의 배수가 아닌 눈이 나온 횟수라고 하자.
한 번 던져 $3$ $3$의 배수가 아닌 눈이 나올 확률은 $\frac23$ $\frac23$이므로 다음과 같다.

P(n=k)=\binom5k\left(\frac23\right)^k\left(\frac13\right)^{5-k}

$n$ $n$번은 $3$ $3$의 배수가 아닌 경우이고, 나머지 $5-n$ $5-n$번은 $3$ $3$의 배수인 경우이다.
그러면 세 상자의 공의 개수는

A=5,\qquad B=2(5-n)+n=10-n,\qquad C=n

으로 정리된다.
따라서 문제에서 묻는 합은 $A+C=5+n$ $A+C=5+n$이다.

$B$ $B$가 홀수인 $n$ $n$만 먼저 남겨보자

조건부확률에서 “상자 $B$ $B$에 들어 있는 공의 개수가 홀수일 때”는 기준이 되는 경우를 먼저 줄인다.
앞에서 $B=10-n$ $B=10-n$으로 정리했으므로, $B$ $B$의 홀짝은 $n$ $n$의 홀짝으로 결정된다.

아래 수직선은 $n=0,1,2,3,4,5$ $n=0,1,2,3,4,5$ 중에서 먼저 $B$ $B$가 홀수인 값을 고르고, 그 안에서 $A+C\ge 8$ $A+C\ge 8$을 만족하는 값을 다시 고르는 장면이다.

n=0부터 5까지에서 B 홀수 조건과 A+C 8 이상 조건을 거르는 수직선 — 조건부확률의 분모 $n=1,3,5$ $n=1,3,5$와 분자 $n=3,5$ $n=3,5$를 가르는 수직선

$10$ $10$은 짝수이므로 $10-n$ $10-n$이 홀수이려면 $n$ $n$이 홀수이어야 한다.
$5$ $5$번 시행에서 가능한 홀수 값은 $n=1,3,5$ $n=1,3,5$이다.
이 세 경우가 조건부확률의 분모에 들어간다.

이제 $A+C=5+n$ $A+C=5+n$을 이용한다.
조건 $A+C\ge 8$ $A+C\ge 8$은 $5+n\ge 8$ $5+n\ge 8$, 즉 $n\ge 3$ $n\ge 3$이다.
이미 남아 있는 $n=1,3,5$ $n=1,3,5$ 안에서 이를 만족하는 값은 $n=3,5$ $n=3,5$이다.
특히 $n=3$ $n=3$일 때 $A+C=8$ $A+C=8$이므로 경계값도 포함된다.

남은 세 값의 가중치만 더해보자

이제 분모와 분자가 모두 정해졌다.
분모는 $n=1,3,5$ $n=1,3,5$이고, 분자는 그중 $n=3,5$ $n=3,5$이다.
각 경우의 확률은 공통분모 $3^5$ $3^5$를 가지므로, 계산에서는 가중치 $10,80,32$ $10,80,32$를 비교하면 된다.

n=1,3,5의 이항확률 가중치와 조건부확률 계산 — $n=1,3,5$ $n=1,3,5$의 이항확률 가중치를 분모와 분자로 나누어 더하는 계산

그림의 세 가중치를 식으로 쓰면

\begin{aligned} P(n=1)&=\binom51\left(\frac23\right)\left(\frac13\right)^4=\frac{10}{243},\\ P(n=3)&=\binom53\left(\frac23\right)^3\left(\frac13\right)^2=\frac{80}{243},\\ P(n=5)&=\left(\frac23\right)^5=\frac{32}{243}. \end{aligned}

따라서 $B$ $B$가 홀수일 확률은 $P(n=1)+P(n=3)+P(n=5)=\frac{10+80+32}{243}=\frac{122}{243}$ $P(n=1)+P(n=3)+P(n=5)=\frac{10+80+32}{243}=\frac{122}{243}$이다.

$B$ $B$가 홀수이면서 $A+C\ge 8$ $A+C\ge 8$일 확률은 $P(n=3)+P(n=5)=\frac{80+32}{243}=\frac{112}{243}$ $P(n=3)+P(n=5)=\frac{80+32}{243}=\frac{112}{243}$이다.

그러므로 구하는 조건부확률은 다음과 같다.

\frac{\frac{112}{243}}{\frac{122}{243}} =\frac{112}{122} =\frac{56}{61}

정답은 ⑤이다.

남긴 값과 제외한 값을 원래 조건에 넣어보자

계산이 끝난 뒤에는 $n=1,3,5$ $n=1,3,5$가 각각 어떤 상황이었는지 다시 확인하면 조건부확률의 분모와 분자가 흔들리지 않는다.

$n$ $n$	$B=10-n$ $B=10-n$	$A+C=5+n$ $A+C=5+n$	판단
$1$ $1$	$9$ $9$	$6$ $6$	$B$ $B$는 홀수이나 $A+C\ge 8$ $A+C\ge 8$은 불만족
$3$ $3$	$7$ $7$	$8$ $8$	두 조건 모두 만족
$5$ $5$	$5$ $5$	$10$ $10$	두 조건 모두 만족

따라서 조건부공간 $n=1,3,5$ $n=1,3,5$에서 $n=3,5$ $n=3,5$만 분자로 잡은 계산이 원래 조건과 맞다.

이 문항에서 어려웠던 지점

반복 시행 확률 문제에서는 먼저 한 시행의 변화량을 표로 줄이면 좋다.
이 문항에서는 주사위 눈이 여섯 개이지만, 상자에 공이 들어가는 방식은 두 종류이다.
그중 $A+C$ $A+C$를 묻고 있으므로 $C$ $C$가 늘어나는 경우, 즉 $3$ $3$의 배수가 아닌 횟수를 세면 조건이 바로 짧아진다.

또 하나의 갈림길은 조건부확률의 기준 공간이다.
“상자 $B$ $B$가 홀수일 때”라는 말이 먼저 붙어 있으므로, $n=0,1,2,3,4,5$ $n=0,1,2,3,4,5$ 전체를 분모로 두지 않고 $n=1,3,5$ $n=1,3,5$만 남긴다.
그다음 $A+C\ge 8$ $A+C\ge 8$이 되는 $n=3,5$ $n=3,5$를 분자로 잡는다.

비슷한 유형에서는 문제에서 묻는 합이나 조건이 어느 상자의 개수와 바로 연결되는지 먼저 본다.
그 개수를 한 번의 시행 표에서 찾고, 그 횟수를 변수로 두면 조건부확률의 분모와 분자가 자연스럽게 갈린다.

문항코드: 260628p

$n$ \(n\)	$B=10-n$ \(B=10-n\)	$A+C=5+n$ \(A+C=5+n\)	판단
$1$ \(1\)	$9$ \(9\)	$6$ \(6\)	$B$ \(B\)는 홀수이나 $A+C\ge 8$ \(A+C\ge 8\)은 불만족
$3$ \(3\)	$7$ \(7\)	$8$ \(8\)	두 조건 모두 만족
$5$ \(5\)	$5$ \(5\)	$10$ \(10\)	두 조건 모두 만족

2026학년도 6월 모의평가 수학 확률과 통계 28번 풀이 | 조건부확률과 시행 횟수 압축

정답

문제

정답