2026학년도 6월 모의평가 수학 확률과 통계 28번 풀이 | 조건부확률과 시행 횟수 압축

2025년 6월 시행 2026학년도 6모 수학 확률과 통계 28번 손필기 해설입니다. 3의 배수가 아닌 횟수 n으로 A=5, B=10-n, C=n을 정리하고 B 홀수 조건의 분모와 A+C≥8 경계 포함으로 56/61, 정답 ⑤를 얻습니다. Mathlab.kr

정답
⑤
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문제

2026학년도 6월 모의평가 수학 확률과 통계 28번 문제
2026학년도 6월 모의평가 수학 확률과 통계 28번 문제 조건
문제 텍스트 객관식

공 1515개와 비어 있는 세 상자 A,B,CA,B,C가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 규칙에 따라 세 상자 A,B,CA,B,C에 공을 넣는 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 33의 배수이면 세 상자 A,B,CA,B,C에 넣는 공의 개수가 각각 1,2,01,2,0이고, 나온 눈의 수가 33의 배수가 아니면 세 상자 A,B,CA,B,C에 넣는 공의 개수가 각각 1,1,11,1,1이다.

이 시행을 55번 반복한 후 상자 BB에 들어 있는 공의 개수가 홀수일 때, 상자 AA에 들어 있는 공의 개수와 상자 CC에 들어 있는 공의 개수의 합이 88 이상일 확률은?

  1. ① 4461\frac{44}{61}
  2. ② 4761\frac{47}{61}
  3. ③ 5061\frac{50}{61}
  4. ④ 5361\frac{53}{61}
  5. ⑤ 5661\frac{56}{61}

정답

⑤

풀이

풀이 전략

주사위 눈을 여섯 가지로 나누기 전에, 한 시행에서 상자 A,B,CA,B,C가 어떻게 변하는지 먼저 표로 본다.
문제에서 묻는 합이 A+CA+C이므로, CC가 늘어나는 경우를 세면 전체 조건이 짧아진다.

여기서는 nn을 33의 배수가 아닌 눈이 나온 횟수로 둔다.
그러면 A=5A=5, B=10−nB=10-n, C=nC=n으로 정리되고, 조건부확률의 분모와 분자를 nn값 몇 개로 나누어 계산할 수 있다.

한 번 던졌을 때 CC가 언제 늘어나는지 표로 적어보자

한 시행의 결과를 아래 표처럼 줄이면, AA는 두 경우 모두 11개씩 늘고 CC는 33의 배수가 아닐 때만 늘어난다는 점이 보인다.

한 시행에서 3의 배수 여부에 따른 A,B,C 증가량과 n 정의를 정리한 표
한 시행 표에서 CC가 늘어나는 경우를 찾아 nn으로 세는 출발점

표에서 AA는 두 경우 모두 매번 11개씩 늘어난다.
따라서 55번 시행 후에는 항상 A=5A=5이다.

문제에서 묻는 것은 A+CA+C이다.
이미 A=5A=5로 고정되어 있으므로, 이제 CC가 몇 개인지만 알면 합이 정해진다.
표를 보면 CC는 33의 배수가 아닐 때에만 11개씩 늘어난다.
그래서 33의 배수가 아닌 눈이 나온 횟수를 세면 된다.

33의 배수가 아닌 횟수를 하나로 두자

nn을 55번의 시행 중 33의 배수가 아닌 눈이 나온 횟수라고 하자.
한 번 던져 33의 배수가 아닌 눈이 나올 확률은 23\frac23이므로 다음과 같다.

P(n=k)=(5k)(23)k(13)5−kP(n=k)=\binom5k\left(\frac23\right)^k\left(\frac13\right)^{5-k}

nn번은 33의 배수가 아닌 경우이고, 나머지 5−n5-n번은 33의 배수인 경우이다.
그러면 세 상자의 공의 개수는

A=5,B=2(5−n)+n=10−n,C=nA=5,\qquad B=2(5-n)+n=10-n,\qquad C=n

으로 정리된다.
따라서 문제에서 묻는 합은 A+C=5+nA+C=5+n이다.

BB가 홀수인 nn만 먼저 남겨보자

조건부확률에서 “상자 BB에 들어 있는 공의 개수가 홀수일 때”는 기준이 되는 경우를 먼저 줄인다.
앞에서 B=10−nB=10-n으로 정리했으므로, BB의 홀짝은 nn의 홀짝으로 결정된다.

아래 수직선은 n=0,1,2,3,4,5n=0,1,2,3,4,5 중에서 먼저 BB가 홀수인 값을 고르고, 그 안에서 A+C≥8A+C\ge 8을 만족하는 값을 다시 고르는 장면이다.

n=0부터 5까지에서 B 홀수 조건과 A+C 8 이상 조건을 거르는 수직선
조건부확률의 분모 n=1,3,5n=1,3,5와 분자 n=3,5n=3,5를 가르는 수직선

1010은 짝수이므로 10−n10-n이 홀수이려면 nn이 홀수이어야 한다.
55번 시행에서 가능한 홀수 값은 n=1,3,5n=1,3,5이다.
이 세 경우가 조건부확률의 분모에 들어간다.

이제 A+C=5+nA+C=5+n을 이용한다.
조건 A+C≥8A+C\ge 8은 5+n≥85+n\ge 8, 즉 n≥3n\ge 3이다.
이미 남아 있는 n=1,3,5n=1,3,5 안에서 이를 만족하는 값은 n=3,5n=3,5이다.
특히 n=3n=3일 때 A+C=8A+C=8이므로 경계값도 포함된다.

남은 세 값의 가중치만 더해보자

이제 분모와 분자가 모두 정해졌다.
분모는 n=1,3,5n=1,3,5이고, 분자는 그중 n=3,5n=3,5이다.
각 경우의 확률은 공통분모 353^5를 가지므로, 계산에서는 가중치 10,80,3210,80,32를 비교하면 된다.

n=1,3,5의 이항확률 가중치와 조건부확률 계산
n=1,3,5n=1,3,5의 이항확률 가중치를 분모와 분자로 나누어 더하는 계산

그림의 세 가중치를 식으로 쓰면

P(n=1)=(51)(23)(13)4=10243,P(n=3)=(53)(23)3(13)2=80243,P(n=5)=(23)5=32243.\begin{aligned} P(n=1)&=\binom51\left(\frac23\right)\left(\frac13\right)^4=\frac{10}{243},\\ P(n=3)&=\binom53\left(\frac23\right)^3\left(\frac13\right)^2=\frac{80}{243},\\ P(n=5)&=\left(\frac23\right)^5=\frac{32}{243}. \end{aligned}

따라서 BB가 홀수일 확률은 P(n=1)+P(n=3)+P(n=5)=10+80+32243=122243P(n=1)+P(n=3)+P(n=5)=\frac{10+80+32}{243}=\frac{122}{243}이다.

BB가 홀수이면서 A+C≥8A+C\ge 8일 확률은 P(n=3)+P(n=5)=80+32243=112243P(n=3)+P(n=5)=\frac{80+32}{243}=\frac{112}{243}이다.

그러므로 구하는 조건부확률은 다음과 같다.

112243122243=112122=5661\frac{\frac{112}{243}}{\frac{122}{243}} =\frac{112}{122} =\frac{56}{61}

정답은 ⑤이다.

남긴 값과 제외한 값을 원래 조건에 넣어보자

계산이 끝난 뒤에는 n=1,3,5n=1,3,5가 각각 어떤 상황이었는지 다시 확인하면 조건부확률의 분모와 분자가 흔들리지 않는다.

nnB=10−nB=10-nA+C=5+nA+C=5+n판단
119966BB는 홀수이나 A+C≥8A+C\ge 8은 불만족
337788두 조건 모두 만족
55551010두 조건 모두 만족

따라서 조건부공간 n=1,3,5n=1,3,5에서 n=3,5n=3,5만 분자로 잡은 계산이 원래 조건과 맞다.

이 문항에서 어려웠던 지점

반복 시행 확률 문제에서는 먼저 한 시행의 변화량을 표로 줄이면 좋다.
이 문항에서는 주사위 눈이 여섯 개이지만, 상자에 공이 들어가는 방식은 두 종류이다.
그중 A+CA+C를 묻고 있으므로 CC가 늘어나는 경우, 즉 33의 배수가 아닌 횟수를 세면 조건이 바로 짧아진다.

또 하나의 갈림길은 조건부확률의 기준 공간이다.
“상자 BB가 홀수일 때”라는 말이 먼저 붙어 있으므로, n=0,1,2,3,4,5n=0,1,2,3,4,5 전체를 분모로 두지 않고 n=1,3,5n=1,3,5만 남긴다.
그다음 A+C≥8A+C\ge 8이 되는 n=3,5n=3,5를 분자로 잡는다.

비슷한 유형에서는 문제에서 묻는 합이나 조건이 어느 상자의 개수와 바로 연결되는지 먼저 본다.
그 개수를 한 번의 시행 표에서 찾고, 그 횟수를 변수로 두면 조건부확률의 분모와 분자가 자연스럽게 갈린다.

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