모든 실수 a\(a\)에서 극한값이 존재하려면 분모가 0이 되는 자리를 먼저 확인해야 한다. f(x)=(x+3)2+3\(f(x)=(x+3)^2+3\)으로 항상 양수이므로 분모의 영점 후보는 f(x)=k(x+2)\(f(x)=k(x+2)\)의 실근으로 줄어든다. 그 실근이 분자 x2\(x^2\)의 영점 x=0\(x=0\)과 맞물리는 경우를 살피고, 실근이 없는 정수 k\(k\)와 경계값 k=6\(k=6\)을 합쳐 센다.
또 f(x)=x2+6x+12=(x+3)2+3\(f(x)=x^2+6x+12=(x+3)^2+3\)이므로 모든 실수 x\(x\)에서 f(x)>0\(f(x)>0\)이다. 따라서 첫 번째 인수 f(x)\(f(x)\)는 분모의 영점을 만들지 않고, 남는 후보는 f(x)−k(x+2)=0\(f(x)-k(x+2)=0\)에서 나온다.
아래 그림에서는 왼쪽 포물선이 x\(x\)축 위에 떠 있고, 오른쪽 박스에 실제로 남는 조건이 정리되어 있다.
f(x)>0\(f(x)>0\)을 확인해 분모 영점 후보를 f(x)=k(x+2)\(f(x)=k(x+2)\)로 줄이는 과정
그림의 노란 박스처럼 이제 살펴볼 식은 f(x)=k(x+2)\(f(x)=k(x+2)\)이다. 이 식의 실근이 분모가 0이 되는 자리다.
분모 영점과 분자 영점 맞추기
어떤 실수 r\(r\)에서 분모가 0이 된다면, a=r\(a=r\)일 때의 극한도 존재해야 한다. 이때 분자 x2\(x^2\)의 영점은 x=0\(x=0\) 하나뿐이다. 따라서 f(x)=k(x+2)\(f(x)=k(x+2)\)의 실근이 생긴다면 모든 실근이 0\(0\)에만 있어야 한다.
실근 위치에 따른 판정은 세 가지로 나뉜다. 왼쪽처럼 실근이 없으면 분모가 0이 되는 자리가 없고, 가운데처럼 0\(0\)에서만 영점이 생기면 분자도 함께 0이 된다. 오른쪽처럼 r=0\(r\ne0\)에서 영점이 생기면 분자는 0\(0\)으로 가지 않는다.
분모 영점이 없거나 x=0\(x=0\)에만 있을 때와 r=0\(r\ne0\)에 있을 때의 구분
이제 f(x)=k(x+2)\(f(x)=k(x+2)\)를 이차방정식으로 바꾸어 실근의 유무와 위치를 확인한다.
원래 극한식은 x=0\(x\ne0\)에서 f(x)x2x2=f(x)1\(\frac{x^2}{f(x)x^2}=\frac1{f(x)}\)로 정리되고, x→0\(x\to0\)에서도 극한값은 f(0)1=121\(\frac1{f(0)}=\frac1{12}\)로 존재한다. 따라서 k=6\(k=6\)은 포함된다.
왼쪽 경계값 k=−2\(k=-2\)에서는 f(x)+2(x+2)=(x+4)2\(f(x)+2(x+2)=(x+4)^2\)이므로 영점이 x=−4\(x=-4\)에 생긴다. 이 지점에서는 분자 x2\(x^2\)가 0이 아니어서 제외된다.
가능한 정수 k\(k\)는 −1,0,1,2,3,4,5,6\(-1,0,1,2,3,4,5,6\)이고 총 8\(8\)개이다. 정답은 ④이다.
이 문항에서 어려웠던 지점
판별식 D<0\(D<0\)에서 얻은 열린구간만 세면 −1\(-1\)부터 5\(5\)까지의 7개가 나온다. 그런데 분모가 0이 되는 자리가 생겨도 분자 x2\(x^2\)와 같은 자리에서 함께 사라지면 극한값이 존재할 수 있다.
그래서 경계값을 한 번 더 확인해야 한다. k=6\(k=6\)은 f(x)−6(x+2)=x2\(f(x)-6(x+2)=x^2\)가 되어 영점이 x=0\(x=0\)에만 생기고, k=−2\(k=-2\)는 f(x)+2(x+2)=(x+4)2\(f(x)+2(x+2)=(x+4)^2\)가 되어 영점이 x=−4\(x=-4\)에 생긴다. 이 차이가 최종 개수 8\(8\)을 만든다.
