사각형 ABCD는 한 원에 내접하고 AB:CD=1:3이다 BC<AD이고 직선 AB와 직선 CD의 교점은 P이다 PB:PC:BC=7:5:√14이고 AD=4√13이다 각 BPC를 θ라 할 때 코사인법칙으로 cosθ=6/7이다 빈칸 (가), (나), (다)에 들어갈 값을 p, q, r라 한다

2026학년도 9월 모의평가 수학 20번 풀이 | 두 할선과 닮음비, 사인법칙

2025년 9월 시행 2026학년도 9모 수학 20번 손필기 해설입니다. 두 할선의 점 순서로 PA, PD를 세우고 내접사각형 닮음에서 l=3k와 닮음비 1:2를 얻은 뒤 BC<AD 방향과 사인법칙으로 R=7, 정답 12를 얻습니다. Mathlab.kr

정답: 12
발행: 2026년 6월 30일
수정: 2026년 6월 30일

정답

핵심 요약

두 할선의 점 순서로 PA와 PD를 표현하고, 내접사각형에서 생기는 닮음으로 l=3k와 닮음비 1:2를 얻은 뒤 사인법칙으로 R=7을 구한다.

문제

문제 텍스트 주관식

그림과 같이 사각형 $ABCD$ $ABCD$가 한 원에 내접하고 $\overline{AB}:\overline{CD}=1:3$ $\overline{AB}:\overline{CD}=1:3$, $\overline{BC}<\overline{AD}$ $\overline{BC}<\overline{AD}$일 때, 직선 $AB$ $AB$와 직선 $CD$ $CD$가 만나는 점을 $P$ $P$라 하자.

다음은 $\overline{PB}:\overline{PC}:\overline{BC}=7:5:\sqrt{14}$ $\overline{PB}:\overline{PC}:\overline{BC}=7:5:\sqrt{14}$, $\overline{AD}=4\sqrt{13}$ $\overline{AD}=4\sqrt{13}$일 때, 삼각형 $BPC$ $BPC$의 외접원의 반지름의 길이를 구하는 과정이다.

$\angle BPC=\theta$ $\angle BPC=\theta$라 할 때, $\overline{PB}:\overline{PC}:\overline{BC}=7:5:\sqrt{14}$ $\overline{PB}:\overline{PC}:\overline{BC}=7:5:\sqrt{14}$이므로 삼각형 $BPC$ $BPC$에서 코사인법칙에 의하여 $\cos\theta=\frac67$ $\cos\theta=\frac67$이다.

$\overline{PB}:\overline{PC}=7:5$ $\overline{PB}:\overline{PC}=7:5$에서 $\overline{PB}=7k$ $\overline{PB}=7k$, $\overline{PC}=5k$ $\overline{PC}=5k$, $\overline{AB}:\overline{CD}=1:3$ $\overline{AB}:\overline{CD}=1:3$에서 $\overline{AB}=l$ $\overline{AB}=l$, $\overline{CD}=3l$ $\overline{CD}=3l$이라 하자. 원의 성질에 의하여 삼각형 $BPC$ $BPC$와 삼각형 $DPA$ $DPA$가 서로 닮음이므로 $\overline{PB}:\overline{PC}=\overline{PD}:\overline{PA}$ $\overline{PB}:\overline{PC}=\overline{PD}:\overline{PA}$이고, $l=(\text{가})\times k$ $l=(\text{가})\times k$이다.

삼각형 $BPC$ $BPC$와 삼각형 $DPA$ $DPA$의 닮음비가 $1:(\text{나})$ $1:(\text{나})$이므로 $\overline{BC}=\frac{1}{(\text{나})}\times\overline{AD}$ $\overline{BC}=\frac{1}{(\text{나})}\times\overline{AD}$이다.

따라서 삼각형 $BPC$ $BPC$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$ $R$이라 할 때, 삼각형 $BPC$ $BPC$에서 사인법칙에 의하여 $R=(\text{다})$ $R=(\text{다})$이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p,q,r$ $p,q,r$이라 할 때, $p+q+r$ $p+q+r$의 값을 구하시오.

정답

풀이

풀이 전략

그림에서 먼저 보이는 것은 점 $P$ $P$에서 출발하는 두 할선이다.
한 직선에서는 $P-B-A$ $P-B-A$, 다른 직선에서는 $P-C-D$ $P-C-D$ 순서이므로 $PA$ $PA$와 $PD$ $PD$를 각각 더해지는 전체 길이로 적는다.

그 다음 내접사각형에서 생기는 닮음을 이용해 $l$ $l$을 $k$ $k$로 정리하고, 작은 삼각형 $BPC$ $BPC$와 큰 삼각형 $DPA$ $DPA$의 닮음비를 얻는다.
마지막에는 실제 길이 $BC$ $BC$와 $\sin\theta$ $\sin\theta$를 사인법칙에 넣어 외접원의 반지름을 구한다.

점 $P$ $P$에서 가까운 점부터 표시하기

문제의 비를 길이로 두면 $PB=7k$ $PB=7k$, $PC=5k$ $PC=5k$, $BC=\sqrt{14}k$ $BC=\sqrt{14}k$이다.
또 $AB:CD=1:3$ $AB:CD=1:3$이므로 $AB=l$ $AB=l$, $CD=3l$ $CD=3l$로 둘 수 있다.

아래 그림에서는 수평 할선에서 $P-B-A$ $P-B-A$, 사선 할선에서 $P-C-D$ $P-C-D$ 순서를 확인한다.
그래서 $AB$ $AB$와 $CD$ $CD$는 $P$ $P$에서 시작하는 길이가 아니라 각각 $PB$ $PB$, $PC$ $PC$ 뒤에 붙는 선분이다.

점 P에서 두 할선의 점 순서와 PA, PD 길이식을 나타낸 그림 — 점 $P$ $P$에서 가까운 점과 먼 점의 순서로 $PA$ $PA$, $PD$ $PD$를 만든다.

그림의 순서가 $P-B-A$ $P-B-A$, $P-C-D$ $P-C-D$이므로 $PA=PB+AB=7k+l$ $PA=PB+AB=7k+l$, $PD=PC+CD=5k+3l$ $PD=PC+CD=5k+3l$이다.
이 두 식이 잡히면 닮음비를 맞추는 계산으로 이어진다.

닮음에서 대응변 맞추기

사각형 $ABCD$ $ABCD$가 한 원에 내접하고, 두 직선 $AB$ $AB$, $CD$ $CD$가 점 $P$ $P$에서 만난다.
그래서 $\angle BPC=\angle DPA$ $\angle BPC=\angle DPA$이다.

또 $\angle BCP$ $\angle BCP$는 $\angle BCD$ $\angle BCD$의 보각이고, 내접사각형에서 $\angle BAD$ $\angle BAD$도 $\angle BCD$ $\angle BCD$의 보각이므로 $\angle BCP=\angle DAP$ $\angle BCP=\angle DAP$이다.
따라서 $\triangle BPC\sim\triangle DPA$ $\triangle BPC\sim\triangle DPA$이다.

이때 꼭짓점 대응은 $B\leftrightarrow D$ $B\leftrightarrow D$, $P\leftrightarrow P$ $P\leftrightarrow P$, $C\leftrightarrow A$ $C\leftrightarrow A$이다.
아래 그림의 대응표와 색 표시를 보면 $PB\leftrightarrow PD$ $PB\leftrightarrow PD$, $PC\leftrightarrow PA$ $PC\leftrightarrow PA$, $BC\leftrightarrow AD$ $BC\leftrightarrow AD$가 같은 순서로 묶인다.

삼각형 BPC와 DPA의 꼭짓점 대응, 변 대응, 닮음비 계산을 정리한 그림 — 닮음 대응 $B\leftrightarrow D$ $B\leftrightarrow D$, $P\leftrightarrow P$ $P\leftrightarrow P$, $C\leftrightarrow A$ $C\leftrightarrow A$에서 변의 순서를 맞춘다.

대응변의 비에서 $PB:PC=PD:PA$ $PB:PC=PD:PA$가 성립한다.
앞에서 얻은 $PD=5k+3l$ $PD=5k+3l$, $PA=7k+l$ $PA=7k+l$을 넣으면 $7:5=(5k+3l):(7k+l)$ $7:5=(5k+3l):(7k+l)$이다.

계산하면 $7(7k+l)=5(5k+3l)$ $7(7k+l)=5(5k+3l)$이고, $49k+7l=25k+15l$ $49k+7l=25k+15l$이므로 $24k=8l$ $24k=8l$이다.
따라서 $l=3k$ $l=3k$이고, (가)는 $3$ $3$이다.

닮음비와 실제 $BC$ $BC$ 구하기

$l=3k$ $l=3k$를 다시 $PA$ $PA$, $PD$ $PD$에 넣으면 $PA=7k+3k=10k$ $PA=7k+3k=10k$, $PD=5k+9k=14k$ $PD=5k+9k=14k$이다.
따라서 $PB:PD=7k:14k=1:2$ $PB:PD=7k:14k=1:2$, $PC:PA=5k:10k=1:2$ $PC:PA=5k:10k=1:2$로 맞는다.

작은 삼각형 $BPC$ $BPC$에서 큰 삼각형 $DPA$ $DPA$로 갈 때 대응변 길이는 $2$ $2$배가 된다.
그러므로 (나)는 $2$ $2$이다.

대응하는 변이 $BC\leftrightarrow AD$ $BC\leftrightarrow AD$이므로 $BC=\frac12AD=\frac12\cdot4\sqrt{13}=2\sqrt{13}$ $BC=\frac12AD=\frac12\cdot4\sqrt{13}=2\sqrt{13}$이다.
조건 $BC<AD$ $BC<AD$도 이 닮음비와 같은 방향으로 맞는다.

세 변의 비에서 $\sin\theta$ $\sin\theta$ 얻기

외접원의 반지름은 삼각형 $BPC$ $BPC$ 안에서 구한다.
사인법칙에 넣을 값은 각 $\theta=\angle BPC$ $\theta=\angle BPC$의 대변 $BC$ $BC$와 $\sin\theta$ $\sin\theta$이다.

처음 주어진 세 변의 비에서 $PB=7k$ $PB=7k$, $PC=5k$ $PC=5k$, $BC=\sqrt{14}k$ $BC=\sqrt{14}k$이므로 코사인법칙을 적용하면 다음과 같다.

\cos\theta =\frac{(7k)^2+(5k)^2-(\sqrt{14}k)^2}{2\cdot7k\cdot5k} =\frac{49+25-14}{70} =\frac67

따라서 $\sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac67\right)^2}=\frac{\sqrt{13}}7$ $\sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac67\right)^2}=\frac{\sqrt{13}}7$이다.

아래 그림은 세 변의 비에서 $\sin\theta$ $\sin\theta$를 얻고, 앞에서 구한 실제 길이 $BC=2\sqrt{13}$ $BC=2\sqrt{13}$을 사인법칙에 연결하는 계산을 한 번에 정리한다.

삼각형 BPC에서 코사인법칙과 사인법칙으로 외접원 반지름을 구하는 계산 그림 — $BC$ $BC$가 $\theta$ $\theta$의 대변이므로 $BC$ $BC$와 $\sin\theta$ $\sin\theta$를 사인법칙에 넣는다.

사인법칙으로 반지름 계산하기

삼각형 $BPC$ $BPC$에서 변 $BC$ $BC$는 각 $\theta$ $\theta$의 대변이다.
사인법칙에 의해 $\frac{BC}{\sin\theta}=2R$ $\frac{BC}{\sin\theta}=2R$이므로 $R=\frac{BC}{2\sin\theta}$ $R=\frac{BC}{2\sin\theta}$이다.

앞에서 얻은 $BC=2\sqrt{13}$ $BC=2\sqrt{13}$, $\sin\theta=\frac{\sqrt{13}}7$ $\sin\theta=\frac{\sqrt{13}}7$을 넣으면 $R=\frac{2\sqrt{13}}{2\cdot\frac{\sqrt{13}}7}=7$ $R=\frac{2\sqrt{13}}{2\cdot\frac{\sqrt{13}}7}=7$이다.
따라서 (다)는 $7$ $7$이다.

결국 $p=3$ $p=3$, $q=2$ $q=2$, $r=7$ $r=7$이므로 $p+q+r=3+2+7=12$ $p+q+r=3+2+7=12$이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

이 문항에서 가장 당황스러운 순간은 $AB:CD=1:3$ $AB:CD=1:3$을 받은 뒤 $PA$ $PA$, $PD$ $PD$를 어떻게 적을지 정하는 부분이다.
$AB$ $AB$, $CD$ $CD$는 점 $P$ $P$에서 출발한 전체 길이가 아니라, 그림에서 $PB$ $PB$, $PC$ $PC$ 뒤에 붙는 선분이다.
그래서 $PA=7k+l$ $PA=7k+l$, $PD=5k+3l$ $PD=5k+3l$이 된다.

원과 두 할선이 함께 나오면, 먼저 $P$ $P$에서 가까운 점과 먼 점을 그림에 표시하는 습관이 중요하다.
그 표시가 끝나면 원의 성질로 얻은 닮음에서 대응변을 맞추고, 닮음비가 실제 길이 조건 $BC<AD$ $BC<AD$와 같은 방향인지 확인하면 계산이 짧아진다.