첫째항이 양수이고 공비가 유리수인 등비수열이다 등비급수는 수렴하므로 공비 r은 -1<r<1이다 정수인 항은 정확히 3개이고, 이 세 항의 곱은 216이다 처음 두 항은 a₁+a₂<10을 만족한다

2026학년도 9월 모의평가 수학 미적분 29번 풀이 | 등비수열의 정수 항과 등비급수 [260929c]

문제

문제 텍스트 주관식

첫째항이 양수이고 공비가 유리수인 등비수열 $\{a_n\}$ $\{a_n\}$에 대하여 급수 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$이 수렴하고, 수열 $\{a_n\}$ $\{a_n\}$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $a_1+a_2<10$ $a_1+a_2<10$

(나) 수열 $\{a_n\}$ $\{a_n\}$의 정수인 항의 개수는 $3$ $3$이고, 이 세 항의 곱은 $216$ $216$이다.

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\frac{q}{p}$ $\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\frac{q}{p}$일 때, $p+q$ $p+q$의 값을 구하시오. 단, $p$ $p$와 $q$ $q$는 서로소인 자연수이다.

정답

풀이

풀이 전략

정수인 항의 개수가 정확히 $3$ $3$개라는 조건을 먼저 수열 위에 올려 본다.
공비가 유리수이고 등비급수가 수렴하므로 정수 항들은 연속된 한 덩어리로 나타난다.
세 정수 항의 곱에서 가운데 정수 항을 확정한 뒤, 양옆 정수쌍과 조건 $a_1+a_2<10$ $a_1+a_2<10$으로 공비와 위치를 좁힌다.

정수인 항 세 개를 한 줄로 놓아보자

등비수열에서 정수인 항의 개수가 정확히 $3$ $3$개라고 했다.
공비가 유리수이고 급수가 수렴하므로 공비 $r$ $r$은 $-1<r<1$ $-1<r<1$을 만족한다.

공비를 기약분수 $r=\frac{u}{v}$ $r=\frac{u}{v}$로 생각하면, 한 번 $v$ $v$가 약분되지 않은 항 뒤로는 $v$ $v$의 거듭제곱이 계속 남는다.
그래서 정수인 항들은 중간에 끊겼다가 다시 나타나는 모양이 아니라, 연속된 한 덩어리로 나타난다.
이 문제에서는 그 덩어리의 길이가 $3$ $3$이다.

정수인 세 항이 연속 블록으로 나타나고 가운데 항이 6으로 확정되는 흐름 — 정수인 세 항을 연속 블록으로 놓으면 가운데 항이 곧바로 정해진다.

정수인 세 항을 다음과 같이 연속해서 두자.

a_m,\quad a_{m+1},\quad a_{m+2}

등비수열의 세 연속 항에서는 가운데 항의 제곱이 양옆 항의 곱과 같으므로, 세 항의 곱은 가운데 항의 세제곱이 된다.

a_m a_{m+1}a_{m+2}=a_{m+1}^3=216=6^3

따라서 가운데 정수 항은 $a_{m+1}=6$ $a_{m+1}=6$이다.

가운데가 6이면 양옆 정수쌍을 먼저 줄여보자

가운데 항이 $6$ $6$이면 양옆의 정수 항은 다음과 같다.

\frac{6}{r},\quad 6,\quad 6r

또 양옆 항의 곱은 $36$ $36$이다.

\frac{6}{r}\cdot 6r=36

여기서 $|r|<1$ $|r|<1$이므로 오른쪽 항 $6r$ $6r$의 절댓값은 $6$ $6$보다 작고, 왼쪽 항 $\frac{6}{r}$ $\frac{6}{r}$의 절댓값은 $6$ $6$보다 크다.
따라서 양옆의 정수쌍은 $36$ $36$을 만드는 약수쌍 중에서 크기 순서가 맞는 경우만 보면 된다.

가능한 꼴은

(36,1),\ (18,2),\ (12,3),\ (9,4)

또는 두 항이 모두 음수인 경우는 다음과 같다.

(-36,-1),\ (-18,-2),\ (-12,-3),\ (-9,-4)

여기서 두 번째 성분이 $6r$ $6r$이다.

앞뒤로 정수 항이 더 생기는지 확인해보자

정수인 항이 정확히 $3$ $3$개여야 하므로, 세 항의 양쪽에 정수 항이 더 붙는 경우를 걸러야 한다.

오른쪽으로 한 항 더 가면 $(6r)r=6r^2$ $(6r)r=6r^2$이다.
위 후보들에서 $6r=\pm1,\pm2,\pm3,\pm4$ $6r=\pm1,\pm2,\pm3,\pm4$이므로 $6r^2=\frac{(6r)^2}{6}$ $6r^2=\frac{(6r)^2}{6}$은 모두 정수가 아니다.
오른쪽에서는 정수 항이 더 생기지 않는다.

앞쪽으로 한 항 더 거슬러 올라가는 검사는 세 정수 항 앞에 실제 항이 있는 경우에만 적용된다.
정수 블록이 $a_1,a_2,a_3$ $a_1,a_2,a_3$인 경우는 따로 남겨 두고, 그 경우에는 조건 (가)로 걸러야 한다.

앞쪽으로 한 항 더 거슬러 올라가면 $\frac{6}{r^2}$ $\frac{6}{r^2}$이다.
$6r=d$ $6r=d$라고 쓰면 이 값은 다음과 같다.

\frac{6}{r^2}=\frac{216}{d^2}

$d=\pm1,\pm2,\pm3$ $d=\pm1,\pm2,\pm3$이면 이 값이 정수가 되어 정수 항이 네 개 이상 생긴다.
그래서 세 정수 항 앞에 항이 존재하는 경우에는 $d=\pm4$ $d=\pm4$만 남는다.

양옆 정수쌍과 앞쪽 추가 정수 항 검사를 통해 d가 플러스마이너스 4로 좁혀지는 표 — 양옆 정수쌍을 약수쌍으로 줄이고, 앞쪽에 정수 항이 더 생기는 후보를 거른다.

한편 세 정수 항이 처음 세 항일 수도 있다.
그때는 가운데 항이 $a_2=6$ $a_2=6$이고 첫째항은 $\frac{6}{r}$ $\frac{6}{r}$이다.
첫째항이 양수이려면 양의 약수쌍만 가능하다.
그런데 가능한 첫째항은 $9,12,18,36$ $9,12,18,36$이고, 어느 경우에도 $a_1+a_2>10$ $a_1+a_2>10$이다.
따라서 세 정수 항이 처음 세 항인 경우는 조건 (가)에 맞지 않는다.

결국 정수 블록이 처음 세 항인 경우는 사라지고, 세 정수 항 앞에 항이 적어도 하나 있는 경우만 남는다.
이 경우 양옆 정수쌍은 $(9,4)$ $(9,4)$ 또는 $(-9,-4)$ $(-9,-4)$만 남는다.
즉 공비는 $r=\frac{2}{3}$ $r=\frac{2}{3}$ 또는 $r=-\frac{2}{3}$ $r=-\frac{2}{3}$이다.

처음 두 항의 합을 놓고 부호를 결정해보자

조건 (가)는 $a_1+a_2<10$ $a_1+a_2<10$이다. 세 정수 항 앞에 항이 적어도 하나 있는 경우만 남았으므로, 가장 이른 위치에서는 가운데 정수 항 $6$ $6$이 $a_3$ $a_3$에 온다.

먼저 $r=\frac{2}{3}$ $r=\frac{2}{3}$이면 세 정수 항은 $9,6,4$ $9,6,4$이다.
이때 $a_2=9$ $a_2=9$, $a_3=6$ $a_3=6$이고, $a_1=\frac{27}{2}$ $a_1=\frac{27}{2}$이다.
그러면 $a_1+a_2=\frac{27}{2}+9=\frac{45}{2}$ $a_1+a_2=\frac{27}{2}+9=\frac{45}{2}$로 $10$ $10$보다 크다.

양의 공비에서는 가운데 $6$ $6$이 더 뒤로 갈수록 $a_1$ $a_1$과 $a_2$ $a_2$가 모두 더 커지므로, 가장 이른 경우가 실패하면 뒤의 위치도 모두 실패한다.

이제 $r=-\frac{2}{3}$ $r=-\frac{2}{3}$이면 세 정수 항은 $-9,6,-4$ $-9,6,-4$이다.
가운데 정수 항 $6$ $6$을 $a_3$ $a_3$에 놓으면 다음과 같다.

a_2=-9,\qquad a_3=6,\qquad a_4=-4

첫째항은 다음과 같다.

a_1=\frac{a_3}{r^2}=\frac{6}{\left(-\frac{2}{3}\right)^2}=\frac{27}{2}

따라서 $a_1+a_2=\frac{27}{2}-9=\frac{9}{2}<10$ $a_1+a_2=\frac{27}{2}-9=\frac{9}{2}<10$이다.

양의 공비와 음의 공비를 비교해 조건 a1 더하기 a2가 10보다 작은 경우를 고르는 표 — 조건 $a_1+a_2<10$ $a_1+a_2<10$은 공비의 부호와 가운데 항 $6$ $6$의 위치를 함께 좁힌다.

중앙의 $6$ $6$이 더 뒤에 놓일 가능성도 확인한다.
공비가 음수이고 첫째항이 양수이므로 $6$ $6$은 홀수 번째 항에 와야 한다.
다음 위치는 $a_5=6$ $a_5=6$인데, 이때 합은 다음과 같다.

a_1+a_2 =6\left(\frac{3}{2}\right)^4-6\left(\frac{3}{2}\right)^3 =\frac{81}{8}>10

그다음 홀수 위치들은 같은 합에 $\left(\frac{3}{2}\right)^2$ $\left(\frac{3}{2}\right)^2$이 더 곱해지는 꼴이라 더 커진다.
따라서 가능한 수열은 $a_3=6$ $a_3=6$, $r=-\frac{2}{3}$ $r=-\frac{2}{3}$인 경우 하나이다.

등비급수의 합으로 답을 구해보자

이제 수열의 첫째항과 공비가 정해졌다.

a_1=\frac{27}{2},\qquad r=-\frac{2}{3}

등비급수의 합은 다음과 같다.

\sum_{n=1}^{\infty}a_n =\frac{a_1}{1-r} =\frac{\frac{27}{2}}{1+\frac{2}{3}} =\frac{81}{10}

문제에서 이 값을 $\frac{q}{p}$ $\frac{q}{p}$라고 했으므로 $p=10$ $p=10$, $q=81$ $q=81$이다.
따라서 $p+q=91$ $p+q=91$이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

정수인 항의 개수가 주어졌을 때, 공비 후보를 처음부터 넓게 잡으면 계산이 길어진다.
먼저 정수인 항들이 연속해서 나타난다는 점을 보고, 세 정수 항의 가운데가 $6$ $6$이라는 사실을 얻는 것이 출발점이다.

그다음에는 양옆 항의 곱이 $36$ $36$이라는 점을 이용해 정수쌍을 작게 줄인다.
마지막 조건 $a_1+a_2<10$ $a_1+a_2<10$은 양의 공비와 음의 공비를 가르고, 가운데 항 $6$ $6$이 놓일 수 있는 위치까지 좁혀 준다.

문항코드: 260929c