가운데 식 2xf(2x)−f(0)\(\frac{f(2x)-f(0)}{2x}\)를 먼저 정리하면 상수항이 사라지고, 조건은 a,b\(a,b\)가 들어 있는 직선 하나의 위치 조건으로 바뀐다. 그 직선이 두 그래프 사이에 있어야 하므로, 아래쪽 경계의 x=0\(x=0\) 근처와 위쪽 경계의 두 최저점을 먼저 확인한다. 이 경계들이 서로 맞물리면서 직선이 y=−4\(y=-4\)로 고정된다.
가운데 식에서 직선 하나를 꺼내보자
최고차항의 계수가 1\(1\)이므로 f(x)=x3+ax2+bx+c\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)로 둔다. 그러면 f′(x)=3x2+2ax+b\(f'(x)=3x^2+2ax+b\)이고, 평균변화율 모양은 다음과 같이 정리된다.
이제 미지수 a,b\(a,b\)가 들어 있는 부분은 직선 y=2ax+b\(y=2ax+b\) 하나로 모였다.
평균변화율을 정리하면 미지수는 직선 y=2ax+b\(y=2ax+b\)에만 남는다.
그림처럼 이 부등식은 모든 0\(0\)이 아닌 x\(x\)에서 직선 y=2ax+b\(y=2ax+b\)가 아래 그래프 y=−3x2−4\(y=-3x^2-4\) 위에 있고, 위 그래프 y=x4−4x2\(y=x^4-4x^2\) 아래에 있어야 한다는 뜻이다.
두 그래프의 경계값을 먼저 보자
아래 그래프 y=−3x2−4\(y=-3x^2-4\)는 x=0\(x=0\)에서 가장 높은 값 −4\(-4\)를 갖는 아래로 열린 포물선이다. 문제에서는 x=0\(x=0\)을 제외했지만, 0\(0\)에 아주 가까운 값들은 계속 조건에 들어간다. 그 근처에서 아래 그래프의 높이는 −4\(-4\)에 가까워진다.
따라서 직선 y=2ax+b\(y=2ax+b\)의 y\(y\)절편이 −4\(-4\)보다 낮으면, x=0\(x=0\) 근처에서 직선이 아래 그래프보다 아래로 내려간다. 조건을 만족하려면 적어도 b≥−4\(b\ge -4\)이어야 한다.
이번에는 위쪽 제한을 본다. 오른쪽 그래프 y=x4−4x2\(y=x^4-4x^2\)는 x2\(x^2\)만으로 모양이 정해진다. t=x2\(t=x^2\)로 보면 x4−4x2=t2−4t=(t−2)2−4\(x^4-4x^2=t^2-4t=(t-2)^2-4\)이므로 가장 낮은 높이는 −4\(-4\)이고, 그때 x2=2\(x^2=2\)이다. 즉 위쪽 그래프는 x=2\(x=\sqrt2\)와 x=−2\(x=-\sqrt2\)에서 높이 −4\(-4\)를 갖는다.
아래 경계의 x=0\(x=0\) 근처와 위 경계의 두 최저점이 모두 높이 −4\(-4\)를 가리킨다.
왼쪽 부등식은 25x2−4≤4x2−4\(\frac52x^2-4\le 4x^2-4\), 즉 0≤23x2\(0\le \frac32x^2\)로 확인된다. 오른쪽 부등식은 4x2−4≤x4\(4x^2-4\le x^4\), 즉 0≤(x2−2)2\(0\le (x^2-2)^2\)로 확인된다. 두 식 모두 모든 0\(0\)이 아닌 실수 x\(x\)에서 성립한다.
따라서 정답은 296\(\boxed{296}\)이다.
이 문항에서 어려웠던 지점
이 문항에서 당황스러운 부분은 삼차함수 조건처럼 보이는 부등식이 실제로는 직선 하나의 위치 조건으로 바뀐다는 점이다. 2xf(2x)−f(0)\(\frac{f(2x)-f(0)}{2x}\)를 정리하면 상수항이 사라지고, 부등식은 −3x2−4≤2ax+b≤x4−4x2\(-3x^2-4\le 2ax+b\le x^4-4x^2\)가 된다.
그 다음 관찰은 두 그래프의 경계값을 보는 것이다. 아래 그래프는 x=0\(x=0\) 근처에서 높이 −4\(-4\)에 가까워져 b≥−4\(b\ge -4\)를 만들고, 위 그래프는 x=±2\(x=\pm\sqrt2\)에서 높이 −4\(-4\)가 되어 b≤−4−22∣a∣\(b\le -4-2\sqrt2|a|\)를 만든다. 두 조건이 동시에 걸리면서 직선이 y=−4\(y=-4\)로 고정되는 구조가 드러난다.
