k>0이고 0≤x 0을 지나는 수평선이 그래프와 A, B에서 만난다. 직선 y=-p가 그래프와 만나는 점을 C라 한다. AB=3PA이고 삼각형 OCB의 넓이는 5π/3이다.

2026학년도 9월 모의평가 수학 14번 풀이 | 탄젠트 주기와 삼각형 넓이

2025년 9월 시행 2026학년도 9모 수학 14번 손필기 해설입니다. 탄젠트 주기 kπ로 AB와 p를 정하고, 정의역에서 C 후보를 걸러 D 기준으로 삼각형 넓이를 두 조각으로 나누어 k+p=14√3/9, 정답 ③을 깔끔히 얻습니다. Mathlab.kr

정답: ③
발행: 2026년 6월 30일
수정: 2026년 6월 30일

정답

③

핵심 요약

탄젠트 그래프의 한 주기 kπ로 AB를 정해 p=√3을 얻고, D=(kπ,0)에서 삼각형 OCB를 두 조각으로 나누어 k=5√3/9를 계산한다.

문제

문제 텍스트 객관식

양수 $k$ $k$에 대하여 집합

\left\{x\mid 0\le x<\frac{3k\pi}{2},\ x\ne \frac{k\pi}{2}\right\}

에서 정의된 함수 $f(x)=\tan\frac{x}{k}$ $f(x)=\tan\frac{x}{k}$가 있다. 점 $P(0,p)\,(p>0)$ $P(0,p)\,(p>0)$을 지나며 $x$ $x$축에 평행한 직선이 함수 $y=f(x)$ $y=f(x)$의 그래프와 만나는 두 점을 A, B $(\overline{PA}<\overline{PB})$ $(\overline{PA}<\overline{PB})$라 하고, 직선 $y=-p$ $y=-p$가 함수 $y=f(x)$ $y=f(x)$의 그래프와 만나는 점을 C라 하자.

$\overline{AB}=3\overline{PA}$ $\overline{AB}=3\overline{PA}$이고 삼각형 OCB의 넓이가 $\frac{5\pi}{3}$ $\frac{5\pi}{3}$일 때, $k+p$ $k+p$의 값은? 단, O는 원점이다.

① $\frac{4\sqrt3}{3}$ $\frac{4\sqrt3}{3}$
② $\frac{13\sqrt3}{9}$ $\frac{13\sqrt3}{9}$
③ $\frac{14\sqrt3}{9}$ $\frac{14\sqrt3}{9}$
④ $\frac{5\sqrt3}{3}$ $\frac{5\sqrt3}{3}$
⑤ $\frac{16\sqrt3}{9}$ $\frac{16\sqrt3}{9}$

정답

③

풀이

풀이 전략

그래프가 $y=\tan\frac{x}{k}$ $y=\tan\frac{x}{k}$로 주어져 있으므로, 처음에는 $\frac{x}{k}$ $\frac{x}{k}$가 얼마나 움직이는지부터 보는 편이 자연스럽다.
$t=\frac{x}{k}$ $t=\frac{x}{k}$라고 두면 주어진 정의역은 $0\le t<\frac{3\pi}{2}$ $0\le t<\frac{3\pi}{2}$, $t\ne\frac{\pi}{2}$ $t\ne\frac{\pi}{2}$에 해당한다.

이 구간에서 $y=\tan t$ $y=\tan t$는 양수 값을 두 번 만든다.
그래서 $p>0$ $p>0$일 때 수평선 $y=p$ $y=p$는 그래프를 두 점 $A,B$ $A,B$에서 만난다.
탄젠트의 주기가 $\pi$ $\pi$이므로 $y=\tan\frac{x}{k}$ $y=\tan\frac{x}{k}$의 주기는 $k\pi$ $k\pi$이다.
같은 높이에서 만나는 두 점의 $x$ $x$좌표도 한 주기만큼 떨어져 있다.

탄젠트 그래프에서 수평선 y=p와 두 교점 A, B 사이의 한 주기 길이를 표시한 그림 — 같은 높이의 두 교점이 한 주기 kπ만큼 떨어지는 구조와 PA=kπ/3을 읽는 그림

따라서 $\overline{AB}=k\pi$ $\overline{AB}=k\pi$이다.
이 길이는 $x$ $x$축 위에서 원점 다음으로 그래프가 다시 $x$ $x$축을 만나는 점 $D=(k\pi,0)$ $D=(k\pi,0)$까지의 거리 $\overline{OD}$ $\overline{OD}$와 같다.

Step 1. 길이 조건으로 A의 위치를 잡아보자

문제에서 $\overline{AB}=3\overline{PA}$ $\overline{AB}=3\overline{PA}$라고 했다.
방금 $\overline{AB}=k\pi$ $\overline{AB}=k\pi$임을 보았으므로 $\overline{PA}=\frac{k\pi}{3}$ $\overline{PA}=\frac{k\pi}{3}$이다.

또 $\overline{PA}<\overline{PB}$ $\overline{PA}<\overline{PB}$이므로 $A$ $A$는 두 교점 중 $P$ $P$에 가까운 왼쪽 교점이다.
$P=(0,p)$ $P=(0,p)$이고 $A$ $A$도 수평선 $y=p$ $y=p$ 위에 있으므로, $A$ $A$는 $P$ $P$에서 오른쪽으로 $\frac{k\pi}{3}$ $\frac{k\pi}{3}$만큼 간 점이다.
따라서 $A=\left(\frac{k\pi}{3},p\right)$ $A=\left(\frac{k\pi}{3},p\right)$이다.

이제 $A$ $A$가 그래프 위의 점이라는 조건을 쓴다.
$x=\frac{k\pi}{3}$ $x=\frac{k\pi}{3}$을 $y=\tan\frac{x}{k}$ $y=\tan\frac{x}{k}$에 넣으면 다음과 같다.

p=\tan\left(\frac{1}{k}\cdot\frac{k\pi}{3}\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3

길이 조건을 쓰면 $A$ $A$의 $x$ $x$좌표가 정해지고, 그 점이 그래프 위에 있다는 조건에서 수평선의 높이 $p$ $p$가 나온다.

Step 2. B, C, D를 같은 그림 위에 놓아보자

이제 $p=\sqrt3$ $p=\sqrt3$이다.
앞에서 $A$ $A$가 $x=\frac{k\pi}{3}$ $x=\frac{k\pi}{3}$에 있었고, $B$ $B$는 $A$ $A$에서 한 주기 $k\pi$ $k\pi$만큼 오른쪽에 있으므로 $B=\left(\frac{4k\pi}{3},\sqrt3\right)$ $B=\left(\frac{4k\pi}{3},\sqrt3\right)$이다.

점 $C$ $C$는 직선 $y=-p$ $y=-p$, 즉 $y=-\sqrt3$ $y=-\sqrt3$과 그래프의 교점이다.
$\tan t=-\sqrt3$ $\tan t=-\sqrt3$이고 $0\le t<\frac{3\pi}{2}$ $0\le t<\frac{3\pi}{2}$인 값을 찾으면 $t=\frac{2\pi}{3}$ $t=\frac{2\pi}{3}$이다.
따라서 $C=\left(\frac{2k\pi}{3},-\sqrt3\right)$ $C=\left(\frac{2k\pi}{3},-\sqrt3\right)$이다.

이때 $D=(k\pi,0)$ $D=(k\pi,0)$를 함께 보면 배치가 깔끔해진다.
$C$ $C$의 $x$ $x$좌표는 $\frac{2k\pi}{3}$ $\frac{2k\pi}{3}$, $B$ $B$의 $x$ $x$좌표는 $\frac{4k\pi}{3}$ $\frac{4k\pi}{3}$이고 그 가운데가 $k\pi$ $k\pi$이다.
$y$ $y$좌표도 $-\sqrt3$ $-\sqrt3$와 $\sqrt3$ $\sqrt3$의 가운데가 $0$ $0$이다.
따라서 $D$ $D$는 선분 $CB$ $CB$ 위의 점이다.

$C$ $C$를 찾을 때는 범위를 한 번 확인해야 한다.
$\tan t=-\sqrt3$ $\tan t=-\sqrt3$의 다음 값 $t=\frac{5\pi}{3}$ $t=\frac{5\pi}{3}$도 떠올릴 수 있지만, 주어진 범위는 $t<\frac{3\pi}{2}$ $t<\frac{3\pi}{2}$이므로 이 값은 들어오지 않는다.

점 C, D, B가 한 직선 위에 있고 삼각형 OCB가 OCD와 ODB로 나뉘는 그림 — D를 기준으로 삼각형 OCB를 OCD와 ODB 두 조각으로 나누어 넓이를 읽는 그림

Step 3. D를 기준으로 넓이를 두 조각으로 나눠보자

삼각형 $OCB$ $OCB$에서 $D$ $D$가 선분 $CB$ $CB$ 위에 있으므로, 넓이는 두 삼각형 $ODB$ $ODB$, $OCD$ $OCD$의 넓이를 더하면 된다.

두 삼각형은 모두 $x$ $x$축 위의 선분 $OD$ $OD$를 밑변으로 볼 수 있다.
$\overline{OD}=k\pi$ $\overline{OD}=k\pi$이고, $B$ $B$와 $C$ $C$에서 $x$ $x$축까지의 높이는 각각 $\sqrt3$ $\sqrt3$이다.
따라서 계산하면 아래와 같다.

\begin{aligned} [OCB] &=[ODB]+[OCD]\\ &=\frac12\cdot k\pi\cdot\sqrt3+\frac12\cdot k\pi\cdot\sqrt3\\ &=k\pi\sqrt3 \end{aligned}

문제에서 이 넓이가 $\frac{5\pi}{3}$ $\frac{5\pi}{3}$이라고 했으므로 $k\pi\sqrt3=\frac{5\pi}{3}$ $k\pi\sqrt3=\frac{5\pi}{3}$이다.
따라서 $k=\frac{5}{3\sqrt3}=\frac{5\sqrt3}{9}$ $k=\frac{5}{3\sqrt3}=\frac{5\sqrt3}{9}$이다.

마지막으로 $p=\sqrt3$ $p=\sqrt3$이므로 다음과 같다.

k+p=\frac{5\sqrt3}{9}+\sqrt3=\frac{14\sqrt3}{9}

정답은 ③이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

처음에 $\frac{x}{k}$ $\frac{x}{k}$를 기준으로 보면, 탄젠트 그래프의 주기 $\pi$ $\pi$가 실제 $x$ $x$축에서는 $k\pi$ $k\pi$로 늘어난다는 점이 보인다.
이 관찰이 $A,B$ $A,B$ 사이의 길이를 바로 $k\pi$ $k\pi$로 정리해 준다.

그 다음에는 $D=(k\pi,0)$ $D=(k\pi,0)$를 같이 표시하는 것이 좋다.
$D$ $D$는 $\overline{AB}$ $\overline{AB}$의 길이를 읽을 때도 쓰이고, $p=\sqrt3$ $p=\sqrt3$을 얻은 뒤에는 선분 $CB$ $CB$ 위에 놓여 넓이를 두 조각으로 나누는 기준점이 된다.

마지막으로 $C$ $C$의 위치를 정할 때 정의역의 오른쪽 끝을 확인해야 한다.
$t=\frac{5\pi}{3}$ $t=\frac{5\pi}{3}$은 $\frac{3\pi}{2}$ $\frac{3\pi}{2}$보다 크므로 제외되고, 실제로 쓰는 점은 $t=\frac{2\pi}{3}$ $t=\frac{2\pi}{3}$에서 나온다.
이 경계 확인까지 해야 넓이 조건이 원래 그래프 위의 점들과 정확히 맞는다.

학습 기록

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