식 f(x)=g(x)−tang(x)\(f(x)=g(x)-\tan g(x)\)에서 먼저 볼 대상은 g(x)\(g(x)\)가 들어가는 탄젠트의 정의역이다. tan\(\tan\)은 t=2π+kπ\(t=\frac{\pi}{2}+k\pi\)에서 끊어지므로, 미분가능한 g\(g\)는 이 값을 지나갈 수 없다. 그 다음 sing(π)=0\(\sin g(\pi)=0\)으로 g(π)\(g(\pi)\)를 nπ\(n\pi\)로 두고, 합성함수 미분과 삼차함수 조건을 연결해 f\(f\)를 확정한다.
g(x)\(g(x)\)가 지날 수 없는 값을 먼저 표시해보자
식 f(x)=g(x)−tang(x)\(f(x)=g(x)-\tan g(x)\)에서 걸리는 부분은 tang(x)\(\tan g(x)\)이다.g(x)\(g(x)\)가 어떤 값을 갖는지 전부 알 수는 없지만, tan\(\tan\)이 정의되지 않는 값은 먼저 표시할 수 있다.
3π/2는 tan이 끊어지는 값이므로 g(x)는 한쪽 가지 안에서 접근한다.
그림에서 보이듯 tant\(\tan t\)는 t=2π+kπ\(t=\frac{\pi}{2}+k\pi\)에서 정의되지 않는다. 그런데 g\(g\)는 모든 실수에서 미분가능하므로 연속이고, 원래 식도 모든 실수 x\(x\)에서 성립한다. 따라서 g(x)\(g(x)\)는 2π+kπ\(\frac{\pi}{2}+k\pi\) 꼴의 값을 지나갈 수 없다.
조건에는 limx→∞g(x)=23π\(\lim_{x\to\infty}g(x)=\frac{3\pi}{2}\)가 있다. 23π\(\frac{3\pi}{2}\)도 tan\(\tan\)이 끊어지는 값이다. 그러므로 x\(x\)가 커질 때 g(x)\(g(x)\)는 23π\(\frac{3\pi}{2}\)를 향해 가되, 한쪽 가지 안에서만 움직여야 한다.
이제 H(t)=t−tant\(H(t)=t-\tan t\)라고 두면 원래 식은 f(x)=H(g(x))\(f(x)=H(g(x))\)이다. 가지 안에서 H′(t)=1−sec2t=−tan2t\(H'(t)=1-\sec^2t=-\tan^2t\)이므로 H\(H\)는 각 가지에서 감소한다. 또 t=nπ\(t=n\pi\)이면 tant=0\(\tan t=0\)이라서 H(nπ)=nπ\(H(n\pi)=n\pi\)이고 H′(nπ)=0\(H'(n\pi)=0\)이다.
sing(π)=0\(\sin g(\pi)=0\)이 만드는 값을 nπ\(n\pi\)로 놓아보자
조건 sing(π)=0\(\sin g(\pi)=0\)은g(π)\(g(\pi)\)가 π\(\pi\)의 정수배라는 뜻이다. 따라서 어떤 정수 n\(n\)에 대하여 g(π)=nπ\(g(\pi)=n\pi\)라고 둘 수 있다. 이 값은 원래 식과 미분식에서 동시에 정보를 준다.
sin g(π)=0에서 g(π)=nπ를 두면 f′(π)=0과 삼차함수 형태가 이어진다.
g(π)=nπ\(g(\pi)=n\pi\)를 원래 식에 넣으면 tang(π)=0\(\tan g(\pi)=0\)이므로 f(π)=g(π)=nπ\(f(\pi)=g(\pi)=n\pi\)이다. 또한 f(x)=H(g(x))\(f(x)=H(g(x))\)를 미분하면 f′(x)=H′(g(x))g′(x)=−tan2(g(x))g′(x)\(f'(x)=H'(g(x))g'(x)=-\tan^2(g(x))g'(x)\)이고, g(π)=nπ\(g(\pi)=n\pi\)에서 tang(π)=0\(\tan g(\pi)=0\)이므로 f′(π)=0\(f'(\pi)=0\)이다.
문제에는 f′′(π)=0\(f''(\pi)=0\)도 주어져 있다. 삼차함수 f\(f\)에서 x=π\(x=\pi\)일 때 일차항과 이차항이 함께 사라지는 상황이므로 f(x)=a(x−π)3+b\(f(x)=a(x-\pi)^3+b\)로 쓸 수 있다. 이제 f(0)=0\(f(0)=0\)을 넣으면 b=aπ3\(b=a\pi^3\)이고, 따라서 f(x)=a(x−π)3+aπ3\(f(x)=a(x-\pi)^3+a\pi^3\)이다.
여기에 f(π)=nπ\(f(\pi)=n\pi\)를 다시 맞추면 aπ3=nπ\(a\pi^3=n\pi\)이므로 a=π2n\(a=\frac{n}{\pi^2}\)이다. f\(f\)는 삼차함수이므로 a=0\(a\ne0\)이고, 따라서 n=0\(n\ne0\)이다.
x>π\(x>\pi\)에서 g\(g\)가 움직이는 방향을 맞춰보자
여기까지 얻은 정보는 g(π)=nπ\(g(\pi)=n\pi\)이고 a=π2n\(a=\frac{n}{\pi^2}\)라는 것이다. 이제 limx→∞g(x)=23π\(\lim_{x\to\infty}g(x)=\frac{3\pi}{2}\)와 연결하려면, x>π\(x>\pi\)에서 g\(g\)가 어느 방향으로 움직이는지 보면 된다.
확정된 형태에서 f′(x)=3a(x−π)2\(f'(x)=3a(x-\pi)^2\)이다. 또 앞에서 얻은 미분식은 f′(x)=−g′(x)tan2g(x)\(f'(x)=-g'(x)\tan^2g(x)\)이다. a=0\(a\ne0\)이므로 x=π\(x\ne\pi\)에서는 f′(x)=0\(f'(x)\ne0\)이다. 이때 tang(x)=0\(\tan g(x)=0\)이면 오른쪽이 0\(0\)이 되어 f′(x)\(f'(x)\)와 맞지 않으므로, 실제로는 tan2g(x)>0\(\tan^2g(x)>0\)으로 보고 부호를 읽을 수 있다.
따라서 a>0\(a>0\)이면 g′(x)<0\(g'(x)<0\)이고, a<0\(a<0\)이면 g′(x)>0\(g'(x)>0\)이다. 그런데 g(π)=nπ\(g(\pi)=n\pi\)에서 23π\(\frac{3\pi}{2}\)로 갈 때 tan\(\tan\)의 끊어지는 값을 지나면 안 된다. 그래서 g(π)\(g(\pi)\)는 23π\(\frac{3\pi}{2}\) 바로 왼쪽 가지의 정수배 π\(\pi\)인 π\(\pi\)이거나, 바로 오른쪽 가지의 정수배 π\(\pi\)인 2π\(2\pi\)이어야 한다.
g가 감소할 때 g(π)=2π인 경우만 3π/2+ 쪽으로 접근할 수 있다.
연속인 g\(g\)가 x=π\(x=\pi\)에서 큰 x\(x\)로 이동하는 동안 2π+kπ\(\frac{\pi}{2}+k\pi\) 꼴의 끊김값을 넘을 수 없으므로, g(π)\(g(\pi)\)도 23π\(\frac{3\pi}{2}\)에 붙어 있는 두 가지 중 하나에 있어야 한다.
그림의 두 후보처럼 n=1\(n=1\) 또는 n=2\(n=2\)만 비교하면 된다. 둘 다 a>0\(a>0\)이므로 x>π\(x>\pi\)에서 g\(g\)는 감소한다. g(π)=π\(g(\pi)=\pi\)라면 감소하면서 23π\(\frac{3\pi}{2}\)로 갈 수 없다. g(π)=2π\(g(\pi)=2\pi\)라면 2π\(2\pi\)에서 감소하여 23π\(\frac{3\pi}{2}\)를 향하는 모습이 된다.
따라서 n=2\(n=2\)이고, f(x)=π22(x−π)3+2π\(f(x)=\frac{2}{\pi^2}(x-\pi)^3+2\pi\)이다.
구하려는 모양을 f′(0)\(f'(0)\)과 맞춰보자
문제에서 묻는 값은 g′(0)(g(0))2\(g'(0)(g(0))^2\)이다. 앞에서 이미 f′(x)=−tan2(g(x))g′(x)\(f'(x)=-\tan^2(g(x))g'(x)\)를 얻었으므로, x=0\(x=0\)에서 tang(0)\(\tan g(0)\)가 g(0)\(g(0)\)와 어떻게 연결되는지만 확인하면 된다.
x=0에서 tan g(0)=g(0)이 되어 목표식이 -f′(0)과 연결된다.
조건 f(0)=0\(f(0)=0\)을 원래 식에 넣으면 0=g(0)−tang(0)\(0=g(0)-\tan g(0)\)이므로 tang(0)=g(0)\(\tan g(0)=g(0)\)이다. 따라서 f′(0)=−tan2(g(0))g′(0)=−(g(0))2g′(0)\(f'(0)=-\tan^2(g(0))g'(0)=-(g(0))^2g'(0)\)이고, 곧 g′(0)(g(0))2=−f′(0)\(g'(0)(g(0))^2=-f'(0)\)이다.
이제 확정된 f\(f\)에서 f′(0)\(f'(0)\)을 계산한다. f′(x)=π26(x−π)2\(f'(x)=\frac{6}{\pi^2}(x-\pi)^2\)이므로 f′(0)=6\(f'(0)=6\)이다. 따라서 목표식은 다음과 같다.
g′(0)(g(0))2=−6\[g'(0)(g(0))^2=-6\]
정답은 ②이다.
원래 조건으로 한 번 더 맞춰보자
확정한 함수는 f(x)=π22(x−π)3+2π\(f(x)=\frac{2}{\pi^2}(x-\pi)^3+2\pi\)이다. 이 함수는 f(0)=0\(f(0)=0\)이고, f′′(x)=π212(x−π)\(f''(x)=\frac{12}{\pi^2}(x-\pi)\)이므로 f′′(π)=0\(f''(\pi)=0\)이다.
또 g(π)=2π\(g(\pi)=2\pi\)이므로 sing(π)=0\(\sin g(\pi)=0\)이다. x>π\(x>\pi\)에서 g\(g\)는 감소하고, 2π\(2\pi\)에서 출발해 23π\(\frac{3\pi}{2}\)를 향하는 가지 안에 놓인다. 이 움직임은 limx→∞g(x)=23π\(\lim_{x\to\infty}g(x)=\frac{3\pi}{2}\)와 맞다.
마지막으로 f(0)=0\(f(0)=0\)에서 tang(0)=g(0)\(\tan g(0)=g(0)\)이 나오고, 미분식에서 f′(0)=−(g(0))2g′(0)\(f'(0)=-(g(0))^2g'(0)\)이 나오므로 최종값도 원래 식과 연결된다.
이 문항에서 어려웠던 지점
이 문항에서 당황스러운 부분은 g(x)\(g(x)\) 자체를 잡기 어렵다는 데 있다. 이때 tang(x)\(\tan g(x)\)가 정의되어야 한다는 조건을 먼저 표시하면, g(x)\(g(x)\)가 2π+kπ\(\frac{\pi}{2}+k\pi\)를 지나갈 수 없다는 사실이 보인다. 특히 극한값 23π\(\frac{3\pi}{2}\)가 바로 끊어지는 지점이라는 점이 가지 선택을 만든다.
또 sing(π)=0\(\sin g(\pi)=0\)은 g(π)=nπ\(g(\pi)=n\pi\)를 만들고, 그 순간 tang(π)=0\(\tan g(\pi)=0\)이 되어 f′(π)=0\(f'(\pi)=0\)까지 함께 나온다. 이 값이 f′′(π)=0\(f''(\pi)=0\)과 결합하면서 삼차함수 f\(f\)의 모양이 a(x−π)3+b\(a(x-\pi)^3+b\)로 줄어든다.
비슷한 합성 삼각함수 문제에서는 먼저 정의되지 않는 값을 수직선에 표시하고, 특수값에서 미분식의 어떤 항이 사라지는지 확인하는 흐름을 가져가면 된다.
