A, B는 곡선 y=log₂x 위의 서로 다른 두 점이다 A에서 직선 y=x에 내린 수선의 발이 P이다 Q는 B를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점이다 직선 AP의 y절편에서 직선 BQ의 y절편을 뺀 값은 13/2이다 직선 AB의 기울기는 6/7이다 사각형 APQB의 넓이가 q/p일 때 p+q를 구한다

2026학년도 9월 모의평가 수학 22번 풀이 | 로그함수와 대칭축 높이

2025년 9월 시행 2026학년도 9모 수학 22번 손필기 해설입니다. 로그 그래프와 y=x 대칭 구조에서 AP와 BQ의 y절편 차이, AB 기울기를 묶어 A, B 좌표를 찾고 사각형 넓이 65/8로 최종 정답 73을 정확히 얻습니다. Mathlab.kr

정답: 73
발행: 2026년 6월 30일
수정: 2026년 6월 30일

정답

핵심 요약

AP와 BQ의 y절편 차이를 두 변화량의 합으로, AB의 기울기를 그 비로 정리해 A=(4,2), B=(1/2,-1)을 구하고 사다리꼴 넓이 65/8에서 73을 얻는다.

문제

문제 텍스트 주관식

곡선 $y=\log_2 x$ $y=\log_2 x$ 위에 서로 다른 두 점 $A$ $A$, $B$ $B$가 있다. 점 $A$ $A$에서 직선 $y=x$ $y=x$에 내린 수선의 발을 $P$ $P$라 하고, 점 $B$ $B$를 직선 $y=x$ $y=x$에 대하여 대칭이동한 점을 $Q$ $Q$라 할 때, 네 점 $A$ $A$, $B$ $B$, $P$ $P$, $Q$ $Q$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) (직선 $AP$ $AP$의 $y$ $y$절편) $-$ $-$ (직선 $BQ$ $BQ$의 $y$ $y$절편) $=\frac{13}{2}$ $=\frac{13}{2}$

(나) 직선 $AB$ $AB$의 기울기는 $\frac67$ $\frac67$이다.

사각형 $APQB$ $APQB$의 넓이가 $\frac{q}{p}$ $\frac{q}{p}$일 때, $p+q$ $p+q$의 값을 구하시오. 단, $p$ $p$와 $q$ $q$는 서로소인 자연수이다.

정답

풀이

풀이 전략

두 점을 $A=(a,\log_2 a)$ $A=(a,\log_2 a)$, $B=(b,\log_2 b)$ $B=(b,\log_2 b)$로 두고, 수선과 대칭이 모두 직선 $y=x$ $y=x$를 기준으로 생긴다는 점부터 정리한다.
조건 (가)는 $AP$ $AP$, $BQ$ $BQ$의 $y$ $y$절편 차이이고, 조건 (나)는 직선 $AB$ $AB$의 기울기이므로 두 조건이 같은 두 변화량 $a-b$ $a-b$, $\log_2 a-\log_2 b$ $\log_2 a-\log_2 b$로 모인다.
좌표가 정해진 뒤에는 $AP\parallel BQ$ $AP\parallel BQ$를 이용해 $APQB$ $APQB$를 사다리꼴로 보고 넓이를 구한다.

수선과 대칭에서 절편식을 만든다

점 $A$ $A$, $B$ $B$는 모두 곡선 $y=\log_2 x$ $y=\log_2 x$ 위에 있으므로 $A=(a,\log_2 a)$ $A=(a,\log_2 a)$, $B=(b,\log_2 b)$ $B=(b,\log_2 b)$로 둔다.
점 $(x_0,y_0)$ $(x_0,y_0)$을 지나고 $y=x$ $y=x$에 수직인 직선은 기울기가 $-1$ $-1$이어서 $y=-x+(x_0+y_0)$ $y=-x+(x_0+y_0)$ 꼴이고, 이 직선의 $y$ $y$절편은 $x_0+y_0$ $x_0+y_0$이다.

아래 그림에서는 $AP$ $AP$와 $BQ$ $BQ$가 둘 다 $y=x$ $y=x$에 수직인 사선으로 표시되어 있다.
오른쪽 절편 박스를 따라 읽으면 $AP$ $AP$의 $y$ $y$절편은 $a+\log_2 a$ $a+\log_2 a$, $BQ$ $BQ$의 $y$ $y$절편은 $b+\log_2 b$ $b+\log_2 b$이다.

AP와 BQ가 y=x에 수직이고 두 y절편 차이가 조건 가의 식으로 바뀌는 그림 — 수선 AP와 대칭 선분 BQ가 모두 y=x에 수직이어서 절편 차이가 조건 (가)의 식이 되는 구조

조건 (가)는 절편 차이를 주므로 $(a+\log_2 a)-(b+\log_2 b)=\frac{13}{2}$ $(a+\log_2 a)-(b+\log_2 b)=\frac{13}{2}$이다.
정리하면 두 변화량의 합이 나온다.

(a-b)+(\log_2 a-\log_2 b)=\frac{13}{2}

또 $x$ $x$와 $\log_2 x$ $\log_2 x$는 $x>0$ $x>0$에서 모두 증가하므로 $x+\log_2 x$ $x+\log_2 x$도 증가한다.
절편 차이가 양수이므로 $a+\log_2 a>b+\log_2 b$ $a+\log_2 a>b+\log_2 b$이고, 따라서 $a-b>0$ $a-b>0$이다.

기울기 조건을 같은 변화량으로 맞춘다

조건 (나)에 두 점의 좌표를 넣으면 직선 $AB$ $AB$의 기울기는 $\frac{\log_2 b-\log_2 a}{b-a}=\frac67$ $\frac{\log_2 b-\log_2 a}{b-a}=\frac67$이다.
앞에서 $a-b>0$ $a-b>0$을 얻었으므로 분자와 분모의 방향을 맞춰 $\frac{\log_2 a-\log_2 b}{a-b}=\frac67$ $\frac{\log_2 a-\log_2 b}{a-b}=\frac67$로 쓸 수 있다.

조건 (가)와 조건 (나)에 같은 두 변화량이 들어가므로 $u=a-b$ $u=a-b$, $v=\log_2 a-\log_2 b$ $v=\log_2 a-\log_2 b$로 둔다.
그러면 $u+v=\frac{13}{2}$ $u+v=\frac{13}{2}$, $\frac vu=\frac67$ $\frac vu=\frac67$이다.
아래 이미지는 이 연립 관계에서 $u$ $u$, $v$ $v$를 얻고 다시 $a$ $a$, $b$ $b$로 돌아가는 흐름을 압축한다.

u=a-b와 v=log₂a-log₂b의 합과 비로 A와 B의 좌표를 확정하는 계산 — 조건 (가), (나)를 u, v의 합과 비로 바꾸어 좌표를 확정하는 계산

그림의 가운데 조건 박스에서 $v=\frac67u$ $v=\frac67u$이고, 이를 $u+v=\frac{13}{2}$ $u+v=\frac{13}{2}$에 넣으면 $u=\frac72$ $u=\frac72$, $v=3$ $v=3$이다.
따라서 $a-b=\frac72$ $a-b=\frac72$, $\log_2 a-\log_2 b=3$ $\log_2 a-\log_2 b=3$이다.

로그 차이는 비의 로그로 바뀌므로 $\log_2\frac ab=3$ $\log_2\frac ab=3$이고 $\frac ab=8$ $\frac ab=8$이다.
즉 $a=8b$ $a=8b$이다.
여기에 $a-b=\frac72$ $a-b=\frac72$를 넣으면 $7b=\frac72$ $7b=\frac72$이므로 $b=\frac12$ $b=\frac12$, $a=4$ $a=4$이다.
따라서 $A=(4,2)$ $A=(4,2)$, $B=\left(\frac12,-1\right)$ $B=\left(\frac12,-1\right)$이다.

대칭축 위에서 사다리꼴의 높이를 잡는다

$AP$ $AP$와 $BQ$ $BQ$는 모두 $y=x$ $y=x$에 수직이므로 서로 평행하다.
따라서 $APQB$ $APQB$는 $AP$ $AP$와 $BQ$ $BQ$를 평행한 두 변으로 보는 사다리꼴이다.

점 $P$ $P$는 $A=(4,2)$ $A=(4,2)$에서 $y=x$ $y=x$에 내린 수선의 발이므로 $P=(3,3)$ $P=(3,3)$이다.
점 $Q$ $Q$는 $B=\left(\frac12,-1\right)$ $B=\left(\frac12,-1\right)$의 $y=x$ $y=x$ 대칭점이므로 $Q=\left(-1,\frac12\right)$ $Q=\left(-1,\frac12\right)$이다.

사다리꼴의 높이는 두 평행한 변 사이의 거리이다.
$BQ$ $BQ$의 중점 $M$ $M$을 잡으면 $M=\left(-\frac14,-\frac14\right)$ $M=\left(-\frac14,-\frac14\right)$이고, $B$ $B$와 $Q$ $Q$가 $y=x$ $y=x$에 대하여 서로 대칭이므로 $M$ $M$은 대칭축 $y=x$ $y=x$ 위에 있다.
또한 $P$ $P$도 $y=x$ $y=x$ 위에 있으므로 $PM$ $PM$이 사다리꼴의 높이가 된다.

사다리꼴 APQB에서 P와 BQ의 중점 M을 이어 높이 PM을 잡고 넓이를 계산하는 그림 — P와 BQ의 중점 M을 이용해 PM을 사다리꼴의 높이로 잡는 도형 관계

그림의 길이 표시를 식으로 확인하면 $AP=\sqrt2$ $AP=\sqrt2$, $BQ=\frac{3\sqrt2}{2}$ $BQ=\frac{3\sqrt2}{2}$, $PM=\frac{13\sqrt2}{4}$ $PM=\frac{13\sqrt2}{4}$이다.
따라서 사다리꼴 $APQB$ $APQB$의 넓이는 다음과 같다.

\begin{aligned} \frac12(AP+BQ)PM &=\frac12\left(\sqrt2+\frac{3\sqrt2}{2}\right)\cdot\frac{13\sqrt2}{4}\\ &=\frac{65}{8} \end{aligned}

문제에서 넓이를 $\frac qp$ $\frac qp$라고 했으므로 $\frac qp=\frac{65}{8}$ $\frac qp=\frac{65}{8}$이다.
따라서 $q=65$ $q=65$, $p=8$ $p=8$이고 $p+q=73$ $p+q=73$이다.

조건에 되돌려 확인한다

구한 좌표 $A=(4,2)$ $A=(4,2)$, $B=\left(\frac12,-1\right)$ $B=\left(\frac12,-1\right)$를 원래 조건에 넣는다.
조건 (가)의 절편 차이는 $(4+2)-\left(\frac12-1\right)=6-\left(-\frac12\right)=\frac{13}{2}$ $(4+2)-\left(\frac12-1\right)=6-\left(-\frac12\right)=\frac{13}{2}$이다.
조건 (나)의 기울기는 $\frac{-1-2}{\frac12-4}=\frac{-3}{-\frac72}=\frac67$ $\frac{-1-2}{\frac12-4}=\frac{-3}{-\frac72}=\frac67$이다.

넓이는 $\frac{65}{8}$ $\frac{65}{8}$이므로 $p+q=8+65=73$ $p+q=8+65=73$이다.
따라서 정답은 $73$ $73$이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

이 문항에서 처음 당황스러운 부분은 로그함수 위의 두 점, 수선, 대칭, 넓이가 한꺼번에 나온다는 점이다.
이때 $y=x$ $y=x$가 반복해서 등장하므로 $AP$ $AP$와 $BQ$ $BQ$가 모두 $y=x$ $y=x$에 수직이라는 그림을 표시하면 조건이 정리되기 시작한다.

절편 조건은 $a+\log_2 a$ $a+\log_2 a$와 $b+\log_2 b$ $b+\log_2 b$의 차이를 주고, 기울기 조건은 같은 두 변화량 $a-b$ $a-b$, $\log_2 a-\log_2 b$ $\log_2 a-\log_2 b$의 비를 준다.
합과 비가 함께 보이면 좌표 계산에 들어가기 전에 두 변화량부터 정하면 된다.