f(0)=0이고 f는 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수이다 g(x)=∫_0^x {|f(t)|-|t|} dt이다 방정식 g′(x)=0의 서로 다른 실근은 4개이다 g는 x=2, x=6에서 극값을 갖는다 f(6)×g(2)<0일 때 f(8)을 구한다

2026학년도 9월 모의평가 수학 15번 풀이 | 절댓값 도함수와 교점 개수

2025년 9월 시행 2026학년도 9모 수학 15번 손필기 해설입니다. g′(x)=0을 q(x)=±1의 교점 개수로 바꾸고, 자동근 x=0과 새 교점을 분리해 네 배치를 부호 조건으로 걸러 최종 f(8)=40, 정답 ⑤를 얻습니다. Mathlab.kr

정답: ⑤
발행: 2026년 6월 30일
수정: 2026년 6월 30일

정답

⑤

핵심 요약

g′(x)=0을 q(x)=±1의 교점 개수로 바꾸고, q(2), q(6)의 네 배치를 부호 조건으로 걸러 q(x)=1+(1/4)x(x-6)를 얻어 f(8)=40을 계산한다.

문제

문제 텍스트 객관식

최고차항의 계수가 양수이고 $f(0)=0$ $f(0)=0$인 삼차함수 $f(x)$ $f(x)$에 대하여 함수

g(x)=\int_0^x\{\lvert f(t)\rvert-\lvert t\rvert\}\,dt

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 $g'(x)=0$ $g'(x)=0$의 서로 다른 실근의 개수는 $4$ $4$이다.

(나) 함수 $g(x)$ $g(x)$는 $x=2$ $x=2$, $x=6$ $x=6$에서 극값을 갖는다.

f(6)\times g(2)<0

일 때, $f(8)$ $f(8)$의 값은?

① $16$ $16$
② $22$ $22$
③ $28$ $28$
④ $34$ $34$
⑤ $40$ $40$

정답

⑤

풀이

풀이 전략

적분으로 정의된 함수의 극값 조건은 먼저 $g'(x)$ $g'(x)$에서 본다.
여기서는 $g'(x)=0$ $g'(x)=0$이 $|f(x)|=|x|$ $|f(x)|=|x|$라는 말이므로, 삼차함수 $y=f(x)$ $y=f(x)$와 두 직선 $y=x$ $y=x$, $y=-x$ $y=-x$의 교점 개수를 세는 문제로 바뀐다.
$f(0)=0$ $f(0)=0$을 이용해 $f(x)=xq(x)$ $f(x)=xq(x)$로 놓으면, 자동근 $x=0$ $x=0$과 남은 조건 $q(x)=\pm1$ $q(x)=\pm1$이 분리된다.

먼저 이 전환을 그림으로 잡아 두면 이후 케이스 분류가 훨씬 덜 흔들린다.

g'(x)=0 조건을 y=f(x)와 y=±x의 교점, q(x)=±1의 교점으로 바꾸는 구조 — $g'(x)=0$ $g'(x)=0$의 근을 자동근 $x=0$ $x=0$과 $q(x)=\pm1$ $q(x)=\pm1$의 교점으로 나누어 보는 첫 전환

절댓값 조건을 교점으로 바꿔보자

미분하면 $g'(x)=|f(x)|-|x|$ $g'(x)=|f(x)|-|x|$이다.
따라서 $g'(x)=0$ $g'(x)=0$은 $|f(x)|=|x|$ $|f(x)|=|x|$인 지점을 묻고, 이는 $y=f(x)$ $y=f(x)$가 $y=x$ $y=x$ 또는 $y=-x$ $y=-x$와 만나는 $x$ $x$좌표를 세는 말이다.

$f(0)=0$ $f(0)=0$이므로 $f(x)=xq(x)$ $f(x)=xq(x)$로 놓는다.
이때 $q(x)$ $q(x)$는 최고차항의 계수가 양수인 이차함수이고, $g'$ $g'$는 다음과 같이 정리된다.

g'(x)=|x|\{|q(x)|-1\}

그러므로 $g'(x)=0$ $g'(x)=0$의 근은 자동으로 생기는 $x=0$ $x=0$과, $q(x)=1$ $q(x)=1$ 또는 $q(x)=-1$ $q(x)=-1$인 지점에서 나온다.

이제 $x=2,6$ $x=2,6$에서 $g$ $g$가 극값을 갖는다는 조건을 넣는다.
$2,6$ $2,6$은 $0$ $0$이 아니므로, 이 두 점에서는 $|x|$ $|x|$ 인자가 아니라 $|q(x)|-1=0$ $|q(x)|-1=0$에서 근이 나온다.
따라서 두 값은 다음 조건을 만족한다.

q(2),q(6)\in\{1,-1\}

또 극값이 되려면 $g'$ $g'$의 부호가 바뀌어야 하므로, $q$ $q$가 해당 수평선에 접하기만 하는 경우는 제외해야 한다.

같은 수평선 위에 있는 두 경우를 먼저 걸러보자

$q(2)$ $q(2)$와 $q(6)$ $q(6)$이 같은 값을 갖는 경우부터 본다.
두 점이 모두 $y=1$ $y=1$ 위에 있거나 모두 $y=-1$ $y=-1$ 위에 있으면, 근 개수 조건을 맞춘 뒤에도 부호 조건 $f(6)g(2)<0$ $f(6)g(2)<0$을 통과하는지 확인해야 한다.

q(2)와 q(6)이 같은 수평선 위에 있는 두 케이스의 부호 조건 탈락 — 같은 수평선 배치 두 경우는 근 개수 조건을 맞춰도 $f(6)g(2)>0$ $f(6)g(2)>0$이 되어 탈락한다.

먼저 $q(2)=q(6)=1$ $q(2)=q(6)=1$이면 $q(x)=a(x-2)(x-6)+1\ (a>0)$ $q(x)=a(x-2)(x-6)+1\ (a>0)$이다.
이미 $q(x)=1$ $q(x)=1$의 해가 $2,6$ $2,6$이므로 $g'(x)=0$ $g'(x)=0$의 근에는 $0,2,6$ $0,2,6$이 들어간다.
전체 근이 네 개가 되려면 $q(x)=-1$ $q(x)=-1$에서 새 교점이 한 개만 생겨야 하므로, 꼭짓점이 $y=-1$ $y=-1$ 위에 있어야 한다.
꼭짓점은 $x=4$ $x=4$이고 $q(4)=1-4a$ $q(4)=1-4a$이므로 $a=\frac{1}{2}$ $a=\frac{1}{2}$이다.

따라서 $q(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2-1$ $q(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2-1$이다.
이 경우 $q(6)=1$ $q(6)=1$이라서 $f(6)>0$ $f(6)>0$이고, $0<x<2$ $0<x<2$에서는 $q(x)>1$ $q(x)>1$이므로 $g'(x)>0$ $g'(x)>0$이다.
$g(0)=0$ $g(0)=0$이고 $g(2)=\int_0^2g'(x)\,dx$ $g(2)=\int_0^2g'(x)\,dx$이므로 $g(2)>0$ $g(2)>0$이다.
결국 $f(6)g(2)>0$ $f(6)g(2)>0$이 되어 조건과 맞지 않는다.

다음으로 $q(2)=q(6)=-1$ $q(2)=q(6)=-1$이면 $q(x)=a(x-2)(x-6)-1\ (a>0)$ $q(x)=a(x-2)(x-6)-1\ (a>0)$이다.
이미 $q(x)=-1$ $q(x)=-1$의 해가 $2,6$ $2,6$이므로, $q(x)=1$ $q(x)=1$에서 생기는 두 해 중 하나가 자동근 $x=0$ $x=0$과 겹쳐야 전체 근이 네 개가 된다.
따라서 $q(0)=1$ $q(0)=1$이고, $12a-1=1$ $12a-1=1$에서 $a=\frac{1}{6}$ $a=\frac{1}{6}$이다.

그러면 $q(x)=\frac{1}{6}(x-2)(x-6)-1$ $q(x)=\frac{1}{6}(x-2)(x-6)-1$이다.
이 경우 $q(6)=-1$ $q(6)=-1$이므로 $f(6)<0$ $f(6)<0$이고, $0<x<2$ $0<x<2$에서는 $-1<q(x)<1$ $-1<q(x)<1$이므로 $g'(x)<0$ $g'(x)<0$, $g(2)<0$ $g(2)<0$이다.
이번에도 $f(6)g(2)>0$ $f(6)g(2)>0$이므로 탈락한다.

서로 다른 수평선 위에 있으면 남는 근을 세어보자

이제 $q(2)$ $q(2)$와 $q(6)$ $q(6)$이 서로 다른 수평선 위에 있는 경우를 본다.
여기서는 $2,6$ $2,6$ 말고 새로 생기는 근을 $\alpha,\beta$ $\alpha,\beta$로 표시해 위치를 세는 것이 빠르다.

q(2)와 q(6)이 서로 다른 수평선 위에 있을 때 남는 근 alpha beta의 위치와 근 개수 — 서로 다른 수평선 배치에서는 남는 근 $\alpha,\beta$ $\alpha,\beta$의 위치가 근 개수를 결정한다.

먼저 $q(2)=1,\ q(6)=-1$ $q(2)=1,\ q(6)=-1$인 경우이다.
$q(x)-1$ $q(x)-1$의 한 근은 $2$ $2$이고, $q(x)+1$ $q(x)+1$의 한 근은 $6$ $6$이다.
$q$ $q$의 최고차항 계수를 $a>0$ $a>0$이라 하고 남는 근을 각각 $\alpha,\beta$ $\alpha,\beta$로 두면 다음과 같다.

q(x)-1=a(x-2)(x-\alpha),\qquad q(x)+1=a(x-6)(x-\beta)

$q(6)=-1$ $q(6)=-1$, $q(2)=1$ $q(2)=1$을 대입하면 $\alpha=6+\frac{1}{2a}$ $\alpha=6+\frac{1}{2a}$, $\beta=2+\frac{1}{2a}$ $\beta=2+\frac{1}{2a}$이다.
즉 $\alpha>6$ $\alpha>6$, $\beta>2$ $\beta>2$이다.

$\beta=6$ $\beta=6$이면 $q(x)+1$ $q(x)+1$이 $x=6$ $x=6$에서 접하므로 $g$ $g$가 $x=6$ $x=6$에서 극값을 갖지 못한다.
그 외에는 $0,2,6,\alpha,\beta$ $0,2,6,\alpha,\beta$가 모두 근 후보로 남아 서로 다른 실근이 다섯 개가 된다.

따라서 남는 배치는 $q(2)=-1,\ q(6)=1$ $q(2)=-1,\ q(6)=1$이다.
이번에는 다음과 같이 놓는다.

q(x)+1=a(x-2)(x-\alpha),\qquad q(x)-1=a(x-6)(x-\beta)

$q(6)=1$ $q(6)=1$, $q(2)=-1$ $q(2)=-1$을 각각 대입하면 $\alpha=6-\frac{1}{2a}$ $\alpha=6-\frac{1}{2a}$, $\beta=2-\frac{1}{2a}$ $\beta=2-\frac{1}{2a}$이다.

$\alpha=2$ $\alpha=2$이면 $q(x)+1$ $q(x)+1$이 $x=2$ $x=2$에서 접하므로 $g$ $g$가 $x=2$ $x=2$에서 극값을 갖지 못한다.
이때 근 후보는 $0,2,6,\alpha,\beta$ $0,2,6,\alpha,\beta$이고, $\alpha=2$ $\alpha=2$는 접함으로 제외했으므로 네 개가 되려면 $\alpha$ $\alpha$ 또는 $\beta$ $\beta$ 중 하나가 자동근 $0$ $0$과 겹쳐야 한다.

마지막 배치에서 부호 조건까지 맞춰보자

남은 검사는 $\alpha=0$ $\alpha=0$과 $\beta=0$ $\beta=0$이다.
아래 그림에서 왼쪽은 $\alpha=0$ $\alpha=0$ 후보, 오른쪽은 $\beta=0$ $\beta=0$ 후보를 보여 준다.
오른쪽 후보는 교점이 $0,2,4,6$ $0,2,4,6$으로 정확히 네 개이고, $0<x<2$ $0<x<2$에서 $g'(x)<0$ $g'(x)<0$임이 함께 보인다.

마지막 배치에서 alpha=0은 탈락하고 beta=0이 조건을 만족해 f(8)=40이 되는 과정 — $\alpha=0$ $\alpha=0$ 후보와 $\beta=0$ $\beta=0$ 후보의 교점 개수와 부호 조건을 비교한 최종 확인

$\alpha=0$ $\alpha=0$이면 $6-\frac{1}{2a}=0$ $6-\frac{1}{2a}=0$에서 $a=\frac{1}{12}$ $a=\frac{1}{12}$이고, $q(x)+1=\frac{1}{12}x(x-2)$ $q(x)+1=\frac{1}{12}x(x-2)$이다.
따라서 $q(x)=\frac{1}{12}x(x-2)-1$ $q(x)=\frac{1}{12}x(x-2)-1$이다.
이 경우 $q(6)=1$ $q(6)=1$이므로 $f(6)>0$ $f(6)>0$이고, $0<x<2$ $0<x<2$에서는 $q(x)<-1$ $q(x)<-1$이라서 $g'(x)>0$ $g'(x)>0$, $g(2)>0$ $g(2)>0$이다.
따라서 $f(6)g(2)>0$ $f(6)g(2)>0$이 되어 탈락한다.

$\beta=0$ $\beta=0$이면 $2-\frac{1}{2a}=0$ $2-\frac{1}{2a}=0$에서 $a=\frac{1}{4}$ $a=\frac{1}{4}$이다.
따라서 다음과 같다.

q(x)-1=\frac{1}{4}x(x-6),\qquad q(x)=1+\frac{1}{4}x(x-6)

이때 $q(x)=1$ $q(x)=1$의 해는 $0,6$ $0,6$이고, $q(x)=-1$ $q(x)=-1$은 $1+\frac{1}{4}x(x-6)=-1$ $1+\frac{1}{4}x(x-6)=-1$에서 나오므로 $x^2-6x+8=0$ $x^2-6x+8=0$, 즉 $x=2,4$ $x=2,4$이다.
따라서 $g'(x)=0$ $g'(x)=0$의 서로 다른 실근은 $0,2,4,6$ $0,2,4,6$으로 정확히 네 개이다.

부호 조건도 맞다.
$0<x<2$ $0<x<2$에서는 $-1<q(x)<1$ $-1<q(x)<1$이므로 $g'(x)<0$ $g'(x)<0$이고 $g(2)<0$ $g(2)<0$이다.
한편 $q(6)=1$ $q(6)=1$이므로 $f(6)>0$ $f(6)>0$이다.
따라서 $f(6)g(2)<0$ $f(6)g(2)<0$을 만족한다.

네 배치를 한 표로 정리하기

지금까지의 경우를 한 번에 모으면, 근 개수와 부호 조건이 각각 어디서 걸렸는지 보인다.
조건을 통과하는 배치는 마지막 한 줄뿐이다.

배치 $(q(2),q(6))$ $(q(2),q(6))$	근 4개로 맞추는 법	$f(6)$ $f(6)$	$g(2)$ $g(2)$	$f(6)g(2)$ $f(6)g(2)$	판정
$(1,\,1)$ $(1,\,1)$	꼭짓점이 $y=-1$ $y=-1$에 접함 ( $a=\tfrac12$ $a=\tfrac12$)	$+$ $+$	$+$ $+$	$+$ $+$	탈락(부호)
$(-1,-1)$ $(-1,-1)$	$q(0)=1$ $q(0)=1$이 자동근과 겹침 ( $a=\tfrac16$ $a=\tfrac16$)	$-$ $-$	$-$ $-$	$+$ $+$	탈락(부호)
$(1,-1)$ $(1,-1)$	남는 근 $\alpha>6,\ \beta>2$ $\alpha>6,\ \beta>2$ → 근 5개	·	·	·	탈락(근 개수)
$(-1,1),\ \alpha=0$ $(-1,1),\ \alpha=0$	$a=\tfrac1{12}$ $a=\tfrac1{12}$	$+$ $+$	$+$ $+$	$+$ $+$	탈락(부호)
$(-1,1),\ \beta=0$ $(-1,1),\ \beta=0$	$a=\tfrac14$ $a=\tfrac14$, 근 $0,2,4,6$ $0,2,4,6$	$+$ $+$	$-$ $-$	$-$ $-$	채택

표의 마지막 줄에서 $q(x)=1+\dfrac14x(x-6)$ $q(x)=1+\dfrac14x(x-6)$이고, 이때만 근이 정확히 네 개이면서 $f(6)g(2)<0$ $f(6)g(2)<0$을 만족한다.

마지막으로 $f(x)=xq(x)$ $f(x)=xq(x)$로 돌아가 계산한다.
가능한 이차함수는 $q(x)=1+\frac{1}{4}x(x-6)$ $q(x)=1+\frac{1}{4}x(x-6)$이므로 $q(8)=1+\frac{1}{4}\cdot8\cdot2=5$ $q(8)=1+\frac{1}{4}\cdot8\cdot2=5$이고, $f(8)=8q(8)=40$ $f(8)=8q(8)=40$이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

이 문항에서 가장 당황스러운 부분은 절댓값이 들어간 적분식이 근의 개수 조건으로 이어지는 장면이다.
$g'(x)=|f(x)|-|x|$ $g'(x)=|f(x)|-|x|$를 얻으면 $|f(x)|=|x|$ $|f(x)|=|x|$가 되고, 이것은 $y=f(x)$ $y=f(x)$와 $y=x$ $y=x$, $y=-x$ $y=-x$의 만남을 세는 말이다.

$f(0)=0$ $f(0)=0$을 보고 $f(x)=xq(x)$ $f(x)=xq(x)$로 바꾸면 이 만남이 $q(x)=1$ $q(x)=1$, $q(x)=-1$ $q(x)=-1$의 수평선 교점으로 정리된다.
이때 자동근 $x=0$ $x=0$을 이미 센 상태에서 새 교점을 세는 것이 근 개수 조건의 중심이다.

또 하나는 극값 조건과 근 조건을 분리해서 보는 것이다.
$g'(2)=0$ $g'(2)=0$, $g'(6)=0$ $g'(6)=0$만 확인하면 수평선에 접하는 경우가 섞인다.
극값이라는 말은 $g'$ $g'$의 부호 변화까지 포함하므로, $x=2,6$ $x=2,6$에서는 $q$ $q$가 해당 수평선을 지나가야 한다.

학습 기록

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배치 $(q(2),q(6))$ \((q(2),q(6))\)	근 4개로 맞추는 법	$f(6)$ \(f(6)\)	$g(2)$ \(g(2)\)	$f(6)g(2)$ \(f(6)g(2)\)	판정
$(1,\,1)$ \((1,\,1)\)	꼭짓점이 $y=-1$ \(y=-1\)에 접함 ( $a=\tfrac12$ \(a=\tfrac12\))	$+$ \(+\)	$+$ \(+\)	$+$ \(+\)	탈락(부호)
$(-1,-1)$ \((-1,-1)\)	$q(0)=1$ \(q(0)=1\)이 자동근과 겹침 ( $a=\tfrac16$ \(a=\tfrac16\))	$-$ \(-\)	$-$ \(-\)	$+$ \(+\)	탈락(부호)
$(1,-1)$ \((1,-1)\)	남는 근 $\alpha>6,\ \beta>2$ \(\alpha>6,\ \beta>2\) → 근 5개	·	·	·	탈락(근 개수)
$(-1,1),\ \alpha=0$ \((-1,1),\ \alpha=0\)	$a=\tfrac1{12}$ \(a=\tfrac1{12}\)	$+$ \(+\)	$+$ \(+\)	$+$ \(+\)	탈락(부호)
$(-1,1),\ \beta=0$ \((-1,1),\ \beta=0\)	$a=\tfrac14$ \(a=\tfrac14\), 근 $0,2,4,6$ \(0,2,4,6\)	$+$ \(+\)	$-$ \(-\)	$-$ \(-\)	채택