A={2,3,4}, B={2,3}이므로 교집합 후보는 2와 3뿐이다 기록한 수가 1이라는 것은 교집합이 {2} 또는 {3}인 경우이다 15360번 반복했을 때 기록값 1인 횟수가 5880 이상일 확률을 구한다 표준정규분포표는 P(0≤Z≤z) 값을 제공한다

2026학년도 9월 모의평가 수학 확률과 통계 29번 풀이 | 이항분포와 정규근사

2025년 9월 시행 2026학년도 9모 수학 확률과 통계 29번 손필기 해설입니다. 교집합 원소 수를 공통 원소 2,3으로 줄여 기록값 1의 확률 3/8을 구하고, 이항분포 정규근사와 표준화 z=2의 오른쪽 꼬리 확률로 정답 23을 얻습니다. Mathlab.kr

정답: 23
발행: 2026년 6월 30일
수정: 2026년 6월 30일

정답

핵심 요약

공통 원소 2,3 중 정확히 하나만 교집합에 들어갈 확률을 3/8로 구하고, X~B(15360, 3/8)을 정규근사해 z=2, k=0.023을 얻는다.

문제

문제 텍스트 주관식

두 집합 $A=\{2,3,4\}$ $A=\{2,3,4\}$, $B=\{2,3\}$ $B=\{2,3\}$에 대하여 다음 시행을 한다.

집합 $A$ $A$의 모든 부분집합 8개 중에서 임의로 한 개를 선택하고, 집합 $B$ $B$의 모든 부분집합 4개 중에서 임의로 한 개를 선택한다. 선택한 두 집합의 교집합의 원소의 개수를 기록한다.

이 시행을 15360번 반복하여 기록한 수가 1인 횟수가 5880 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 값이 $k$ $k$일 때, $1000\times k$ $1000\times k$의 값을 구하시오.

표준정규분포표는 다음과 같다.

$z$ $z$	$P(0\le Z\le z)$ $P(0\le Z\le z)$
1.0	0.341
1.5	0.433
2.0	0.477
2.5	0.494
3.0	0.499

정답

$23$ $23$

풀이

풀이 전략

먼저 교집합에 들어올 수 있는 원소를 공통 원소 $2,3$ $2,3$으로 좁힌다.
그다음 한 번의 시행에서 기록값이 $1$ $1$이 될 확률을 구하고, 15360번 반복한 횟수를 이항분포로 놓아 정규근사한다.

교집합이 어떤 모습이면 기록값이 1인지부터 보자

문제에서 기록하는 값은 선택한 두 부분집합의 교집합의 원소 개수이다.
따라서 먼저 교집합에 들어올 수 있는 원소를 좁혀 본다.

A=\{2,3,4\},\qquad B=\{2,3\}

두 집합에 공통으로 들어 있는 원소는 $2,3$ $2,3$뿐이다.
원소 $4$ $4$는 $A$ $A$에만 있으므로, $A$ $A$에서 고른 부분집합에 들어가더라도 교집합의 원소 수를 바꾸지 않는다.

기록한 수가 $1$ $1$이라는 것은 교집합이 정확히 한 원소를 가진다는 뜻이다.
가능한 모습은 $\{2\}$ $\{2\}$ 또는 $\{3\}$ $\{3\}$뿐이다.
다음 그림처럼 전체 부분집합 쌍을 펼치기 전에, 공통 원소 $2,3$ $2,3$ 각각이 교집합에 들어가는지를 보면 된다.

공통 원소 2와 3만 교집합의 기록값을 결정하고 기록값 1의 확률을 3/8로 구하는 흐름 — 공통 원소 $2,3$ $2,3$만 기록값을 결정하고, 기록값 $1$ $1$의 확률이 $\frac38$ $\frac38$로 정리되는 흐름

공통 원소 하나가 들어가는 확률부터 구해보자

원소 $2$ $2$가 교집합에 들어가려면 두 선택이 동시에 일어나야 한다.
$A$ $A$에서 고른 부분집합에 $2$ $2$가 들어가고, $B$ $B$에서 고른 부분집합에도 $2$ $2$가 들어가야 한다.

부분집합을 임의로 하나 고르면 특정 원소가 포함될 확률은 $\frac12$ $\frac12$이다.
두 부분집합 선택은 서로 독립이므로 $P(2\text{가 교집합에 들어감})=\frac12\cdot\frac12=\frac14$ $P(2\text{가 교집합에 들어감})=\frac12\cdot\frac12=\frac14$이다.
같은 이유로 $3$ $3$이 교집합에 들어갈 확률도 $\frac14$ $\frac14$이다.

또 $2$ $2$의 포함 여부와 $3$ $3$의 포함 여부는 서로 다른 원소에 대한 선택으로 결정된다.
따라서 한 번의 시행에서 교집합에 들어가는 공통 원소의 개수를 $T$ $T$라 하면 $T\sim B(2,\frac14)$ $T\sim B(2,\frac14)$이다.

기록한 수가 $1$ $1$인 경우는 공통 원소 두 개 중 정확히 하나만 교집합에 들어가는 경우이다.
그래서 $P(T=1)=\binom21(\frac14)(\frac34)=\frac38$ $P(T=1)=\binom21(\frac14)(\frac34)=\frac38$이다.

여기서 $\frac14$ $\frac14$와 $\frac38$ $\frac38$의 역할을 분명히 나누어야 한다.
$\frac14$ $\frac14$는 공통 원소 하나가 교집합에 들어갈 확률이고, $\frac38$ $\frac38$은 한 번의 시행에서 기록한 수가 $1$ $1$일 확률이다.
뒤에서 반복 시행의 성공확률로 쓰는 값은 $\frac38$ $\frac38$이다.

기록값이 1인 횟수를 이항분포로 놓자

시행은 $15360$ $15360$번 반복된다.
각 시행에서 기록한 수가 $1$ $1$일 확률이 $\frac38$ $\frac38$이므로, 기록한 수가 $1$ $1$인 횟수를 $X$ $X$라 두면 $X\sim B(15360,\frac38)$ $X\sim B(15360,\frac38)$이다.

문제는 $X\ge5880$ $X\ge5880$일 확률을 표준정규분포표로 구하라고 했다.
시행 횟수가 충분히 크므로 이항분포를 정규분포로 근사하고, 평균과 표준편차를 계산한다.

E(X)=15360\cdot\frac38=5760,\qquad \sigma(X)=\sqrt{15360\cdot\frac38\cdot\frac58}=60

기준값 $5880$ $5880$은 평균 $5760$ $5760$보다 $120$ $120$만큼 크다.
표준편차가 $60$ $60$이므로, 기준값은 평균에서 오른쪽으로 표준편차 $2$ $2$개만큼 떨어진 위치이다.
다음 그림은 이 표준화 과정을 정규곡선 위에 놓은 것이다.

이항분포 X의 평균 5760과 기준값 5880을 표준화해 오른쪽 꼬리 확률 0.023을 구하는 과정 — 평균 $5760$ $5760$에서 기준값 $5880$ $5880$까지의 거리는 $2\sigma$ $2\sigma$이고, 오른쪽 꼬리 확률은 표준정규분포표로 읽는다

그림의 노란 박스처럼 표준화하면 $\frac{5880-5760}{60}=2$ $\frac{5880-5760}{60}=2$이다.
따라서 $P(X\ge5880)\approx P(Z\ge2)$ $P(X\ge5880)\approx P(Z\ge2)$로 계산한다.

표가 주는 구간에서 오른쪽 꼬리를 빼내자

주어진 표는 $P(0\le Z\le z)$ $P(0\le Z\le z)$의 값을 준다.
$z=2$ $z=2$에서 $P(0\le Z\le2)=0.477$ $P(0\le Z\le2)=0.477$이다.
표준정규분포의 오른쪽 절반 넓이는 $0.5$ $0.5$이므로 $P(Z\ge2)=0.5-0.477=0.023$ $P(Z\ge2)=0.5-0.477=0.023$이다.

문제에서 이 확률을 $k$ $k$라고 했으므로 $k=0.023$ $k=0.023$이고, 따라서 $1000k=23$ $1000k=23$이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

부분집합의 개수 $8$ $8$과 $4$ $4$가 먼저 보이기 때문에 가능한 부분집합 쌍 $32$ $32$가 눈에 들어온다.
하지만 기록값을 결정하는 것은 두 집합에 공통으로 있는 원소 $2,3$ $2,3$뿐이다.
원소 $4$ $4$는 선택되더라도 교집합에 들어갈 수 없으므로 기록값을 바꾸지 않는다.

이런 확률 문제에서는 시행의 설명이 길수록 먼저 성공 여부를 실제로 결정하는 대상을 남겨야 한다.
이 문항에서는 그 대상이 공통 원소 $2,3$ $2,3$이고, 각 원소가 교집합에 들어갈 확률이 $\frac14$ $\frac14$이다.
그다음 기록한 수가 $1$ $1$일 확률 $\frac38$ $\frac38$을 구하면, 반복 횟수는 자연스럽게 이항분포의 시행 횟수로 들어간다.

마지막 표 읽기에서는 표가 어느 구간의 확률을 주는지 확인한다.
이 표는 $P(0\le Z\le z)$ $P(0\le Z\le z)$를 주므로, 오른쪽 꼬리 확률은 $0.5$ $0.5$에서 표의 값을 빼서 읽는다.

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