빨강 1장, 파랑 1장, 노랑 3장, 보라 3장을 세 학생에게 남김없이 나누어 준다 같은 색 카드끼리는 서로 구별하지 않는다 A와 B는 각각 1장 이상의 카드를 받고, C는 카드를 받지 못할 수 있다 A가 받는 카드 색의 가짓수는 3 이하이다

2026학년도 9월 모의평가 수학 확률과 통계 28번 풀이 | 색깔별 분배와 포함배제

2025년 9월 시행 2026학년도 9모 수학 확률과 통계 28번 손필기 해설입니다. 색깔별 분배표로 전체 900가지를 세고 포함배제와 여사건으로 A, B가 비는 경우와 A가 네 색을 받는 경우를 보정해 최종 정답 ②를 정확히 얻습니다. Mathlab.kr

정답: ②
발행: 2026년 6월 29일
수정: 2026년 6월 30일

정답

②

핵심 요약

색깔별 분배표로 전체 900가지를 만들고, A=0과 B=0을 포함배제로 제거한다. 이후 A가 네 색을 받는 36가지에서 B=0인 9가지를 빼 조건 위반분 27가지를 제외한다.

문제

문제 텍스트 객관식

빨간색 카드 1장, 파란색 카드 1장, 노란색 카드 3장, 보라색 카드 3장이 있다. 이 8장의 카드를 세 학생 $A$ $A$, $B$ $B$, $C$ $C$에게 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수는? 단, 같은 색 카드끼리는 서로 구별하지 않는다.

(가) 두 학생 $A$ $A$, $B$ $B$는 각각 1장 이상의 카드를 받고, 학생 $C$ $C$는 카드를 받지 못할 수 있다.

(나) 학생 $A$ $A$가 받는 카드의 색의 가짓수는 3 이하이다.

① $730$ $730$
② $746$ $746$
③ $762$ $762$
④ $778$ $778$
⑤ $794$ $794$

정답

②

풀이

풀이 전략

같은 색 카드끼리는 구별하지 않으므로, 먼저 색깔별로 몇 장씩 나뉘는지를 표로 잡는다.
그 다음 조건 (가)는 $A=0$ $A=0$, $B=0$ $B=0$을 빼는 포함배제로 처리하고, 조건 (나)는 $A$ $A$가 네 색을 모두 받는 여사건을 세어 제외한다.
마지막에는 $A$ $A$가 네 색을 받는 경우 안에 조건 (가)에서 이미 빠진 $B=0$ $B=0$ 장면이 섞였는지 확인한다.

색깔별로 작은 분배표를 먼저 떠올려보자

문제에서 먼저 잡을 말은 같은 색 카드끼리는 서로 구별하지 않는다이다.
그러면 빨간 카드 한 장의 이름, 노란 카드 세 장의 이름을 따로 붙여 세는 장면이 아니라, 각 색의 카드가 $A,B,C$ $A,B,C$에게 몇 장씩 가는지를 보는 장면으로 바뀐다.

아래 표처럼 한 색씩 떼어 보면 빨간색과 파란색은 각각 $3$ $3$가지이고, 노란색과 보라색은 각각 같은 색 3장을 세 학생에게 나누는 중복조합이다.

색깔별 카드 분배를 표로 정리해 전체 900가지를 계산하는 흐름 — 같은 색 카드 조건을 색깔별 분배표와 전체 900가지 계산으로 정리한 그림

노란색 카드가 $A,B,C$ $A,B,C$에게 각각 $a,b,c$ $a,b,c$장 간다고 하면 $a+b+c=3$ $a+b+c=3$이고, $a,b,c$ $a,b,c$는 음이 아닌 정수이다.
따라서 노란색의 분배 수는 ${}_3H_3=\binom{5}{2}=10$ ${}_3H_3=\binom{5}{2}=10$이고, 보라색도 같은 방식으로 $10$ $10$가지이다.

아직 조건 (가), (나)를 넣지 않은 전체 분배 수는 $3\cdot3\cdot10\cdot10=900$ $3\cdot3\cdot10\cdot10=900$이다.
이 값은 이후 조건을 빼고 남길 기준 표본공간이다.

$A,B$ $A,B$가 비어 있는 장면부터 확인해보자

조건 (가)는 $A,B$ $A,B$가 각각 1장 이상의 카드를 받아야 한다고 말한다.
$C$ $C$는 카드를 받지 못할 수도 있으므로, $C$ $C$가 빈 장면은 그대로 둔다. 전체 $900$ $900$가지에서 $A$ $A$가 빈 장면과 $B$ $B$가 빈 장면만 구분하면 된다.

조건 (가)에서 A가 빈 경우와 B가 빈 경우를 포함배제로 제거하는 흐름 — 조건 (가)에서 A=0, B=0만 빼고 겹친 1가지를 더하는 포함배제 흐름

$A$ $A$가 카드를 하나도 받지 않는 장면에서는 모든 카드가 $B,C$ $B,C$ 두 학생에게만 나뉜다.
빨간색과 파란색은 각각 $2$ $2$가지씩이고, 노란색 3장과 보라색 3장은 각각 $4$ $4$가지씩이다.
따라서 $A$ $A$가 빈 경우는 $2^2\cdot4^2=64$ $2^2\cdot4^2=64$가지이다.
같은 이유로 $B$ $B$가 빈 경우도 $64$ $64$가지이다.

두 경우를 빼면 모든 카드가 $C$ $C$에게 가는 1가지가 두 번 빠진다.
이 장면을 한 번 다시 더하면 조건 (가)를 만족하는 분배 수는 $900-(64+64-1)=773$ $900-(64+64-1)=773$이다.

$A$ $A$에게 네 색이 모두 간 순간을 먼저 표시해보자

조건 (나)는 $A$ $A$가 받는 카드의 색의 가짓수가 $3$ $3$ 이하라는 뜻이다.
전체 색은 빨강, 파랑, 노랑, 보라의 네 가지뿐이므로, 조건이 깨지는 장면은 $A$ $A$가 네 가지 색을 모두 받는 경우이다.

이 장면을 분배표에 먼저 표시해 본다.
빨간색과 파란색은 각각 1장뿐이므로, $A$ $A$가 네 색을 모두 받으려면 빨간 카드와 파란 카드는 $A$ $A$에게 고정된다.
노란색과 보라색도 $A$ $A$가 적어도 1장씩 받아야 하므로, 먼저 $A$ $A$에게 노란색 1장과 보라색 1장을 표시한다.

A가 네 색을 모두 받는 36가지에서 B가 빈 9가지를 제외해 실제 위반분 27가지를 구하는 흐름 — A가 네 색을 모두 받는 36가지에서 B=0인 9가지를 제외해 실제 위반분 27가지를 찾는 흐름

그러면 남는 카드는 노란색 2장, 보라색 2장이다.
남은 노란색 2장은 다시 $A,B,C$ $A,B,C$ 세 학생에게 자유롭게 나뉘므로 ${}_3H_2=\binom{4}{2}=6$ ${}_3H_2=\binom{4}{2}=6$가지이다.
보라색도 같은 방식으로 $6$ $6$가지이다.
따라서 $A$ $A$가 네 가지 색을 모두 받는 분배는 일단 $6^2=36$ $6^2=36$가지이다.

$B$ $B$가 이미 비어 있던 장면을 따로 떼어보자

앞에서 얻은 $773$ $773$가지는 조건 (가)를 통과한 장면만 모은 것이다.
그러므로 이제 제외할 장면도 그 안에 있어야 한다.
$A$ $A$가 네 색을 모두 받는 $36$ $36$가지에서는 $A$ $A$가 비는 일은 없지만, 이 36가지는 아직 $B$ $B$가 1장 이상 받는지를 확인하지 않은 수이다.

$B=0$ $B=0$이면서 $A$ $A$가 네 색을 모두 받는 장면을 보자.
앞에서처럼 빨간색과 파란색은 $A$ $A$에게 가고, 노란색과 보라색은 $A$ $A$에게 각각 1장씩 먼저 간다.
남은 노란색 2장은 $A,C$ $A,C$ 두 학생에게 나뉘고, 보라색 2장도 $A,C$ $A,C$ 두 학생에게 나뉜다.

같은 색 2장을 두 학생에게 나누는 경우는 $0+2,1+1,2+0$ $0+2,1+1,2+0$의 $3$ $3$가지이다.
따라서 $N(A\text{가 4색},\ B=0)=3^2=9$ $N(A\text{가 4색},\ B=0)=3^2=9$이다.

조건 (가)를 통과한 장면 안에서 $A$ $A$가 네 색을 모두 받는 경우는 $36-9=27$ $36-9=27$가지이다.
이 $27$ $27$가지가 조건 (나)를 깨뜨리는 경우이다.

남은 수를 계산하고 원래 조건으로 확인하자

조건 (가)를 만족하는 경우가 $773$ $773$가지이고, 그중 조건 (나)를 어기는 경우가 $27$ $27$가지이다.
따라서 두 조건을 모두 만족하는 경우의 수는 $773-27=746$ $773-27=746$이다.

정답은 $\boxed{746}$ $\boxed{746}$이고, 선택지는 ②이다.

검산은 조건의 방향으로 돌아가 보면 된다.
$C$ $C$는 0장을 받아도 되므로 $C$ $C$가 빈 장면을 제외하지 않았다.
제한은 $A$ $A$의 색 가짓수에만 걸려 있으므로 $B,C$ $B,C$의 색 가짓수는 따로 묶지 않았다.
또 $A$ $A$가 4색을 받는 $36$ $36$가지 중 $B=0$ $B=0$인 $9$ $9$가지는 조건 (가)의 표본공간 밖에 있으므로, 실제로 제외한 수가 $27$ $27$가지인 것이 맞다.

이 문항에서 어려웠던 지점

이 문항은 첫 분배 수 $900$ $900$을 세는 계산보다, 어느 표본공간에서 무엇을 빼고 있는지 유지하는 부분이 더 흔들리기 쉽다.
조건 (가)를 적용해 $773$ $773$가지를 만든 뒤에는, 이후의 제외 대상도 $A,B$ $A,B$가 모두 1장 이상인 장면이어야 한다.

비슷한 분배 문제에서는 먼저 색이나 종류별로 나누어 작은 분배표를 만든다.
그 다음 빈 사람을 제외하는 조건과 특정 사람이 받는 종류 수 제한이 따로 주어지면, 앞에서 이미 제외한 장면이 뒤의 여사건 계산에 섞이는지 확인한다.
이 확인이 마지막 중복 제거의 기준이다.