2024학년도 수능 수학 미적분 30번은 정적분으로 정의된 h의 극값 조건을 접선과 곡선의 차의 부호 변화로 해석하고, 그 미분을 f'(x)-f'(a)로 바꾸어 도함수 그래프의 극값 위치를 찾는 풀이이다. 절댓값 때문에 생기는 π, 2π의 뾰족한 극값까지 세어 정답 125를 얻는다.
여기서 g(x)\(g(x)\)는 곡선 y=f(x)\(y=f(x)\) 위의 점 (a,f(a))\((a,f(a))\)에서 그은 접선이다. 그래서 g(a)=f(a)\(g(a)=f(a)\)이고, 어떤 양수 a\(a\)를 잡아도 h′(a)=f(a)−g(a)=0\(h'(a)=f(a)-g(a)=0\)이다.
따라서 a\(a\)를 고르는 기준은 x=a\(x=a\)를 지나면서 h′(x)\(h'(x)\)의 부호가 바뀌는지로 넘어간다. h′(a)=0\(h'(a)=0\)은 이미 접선 조건에서 확보된 값이다. h′(x)=f(x)−g(x)\(h'(x)=f(x)-g(x)\)이므로, 접선과 원래 곡선 사이의 차가 a\(a\)의 왼쪽과 오른쪽에서 어떤 부호를 갖는지 봐야 한다.
이 차를 qa(x)=f(x)−g(x)\(q_a(x)=f(x)-g(x)\)라고 두면 h′(x)=qa(x)\(h'(x)=q_a(x)\)이고 qa(a)=0\(q_a(a)=0\)이다. 이제 목표는 qa(x)\(q_a(x)\)가 a\(a\)의 좌우에서 서로 다른 부호를 갖는 a\(a\)를 찾는 것이다.
접선과 곡선의 차를 미분해서 f′\(f'\)의 그래프로 옮겨보자
처음에는 f′(x)=∣sinx∣cosx\(f'(x)=|\sin x|\cos x\)를 구간별로 적분해 f(x)\(f(x)\)를 직접 쓰고 싶어진다. 실제로 0<x<π\(0<x<\pi\)에서는 f(x)=C+21sin2x\(f(x)=C+\frac12\sin^2x\) 꼴이고, π<x<2π\(\pi<x<2\pi\)에서는 f(x)=C−21sin2x\(f(x)=C-\frac12\sin^2x\) 꼴이다. 그런데 이렇게 쓰면 구간마다 상수를 맞추고, a\(a\)가 kπ\(k\pi\)에 걸리는 경우도 따로 보게 된다.
위에서 만든 qa\(q_a\)를 미분하면 구간별 상수는 모두 사라진다. F(x)=f′(x)=∣sinx∣cosx\(F(x)=f'(x)=|\sin x|\cos x\)라고 두면
이 식은 qa\(q_a\)의 부호를 F\(F\)의 그래프 높이 비교로 바꾸어 준다. 만약 F(a)\(F(a)\)가 주변에서 가장 큰 값이라면, a\(a\) 근처에서 F(t)−F(a)\(F(t)-F(a)\)는 음수이다. 오른쪽 x>a\(x>a\)에서는 음수를 그대로 적분하므로 qa(x)<0\(q_a(x)<0\)이다. 왼쪽 x<a\(x<a\)에서는 적분 방향이 a\(a\)에서 x\(x\)로 거꾸로 가므로 부호가 한 번 뒤집혀 qa(x)>0\(q_a(x)>0\)이다. 따라서 h′(x)=qa(x)\(h'(x)=q_a(x)\)는 왼쪽에서 양수, 오른쪽에서 음수이고, h\(h\)는 x=a\(x=a\)에서 극대가 된다.
반대로 F(a)\(F(a)\)가 주변에서 가장 작은 값이라면 F(t)−F(a)>0\(F(t)-F(a)>0\)이다. 이때는 왼쪽에서 qa(x)<0\(q_a(x)<0\), 오른쪽에서 qa(x)>0\(q_a(x)>0\)이 되어 h\(h\)는 x=a\(x=a\)에서 극소가 된다.
일반적인 증가 지점도 확인해 두자. F(a)\(F(a)\)를 기준으로 왼쪽 값은 작고 오른쪽 값은 큰 지점에서는 왼쪽의 F(t)−F(a)\(F(t)-F(a)\)가 음수, 오른쪽의 F(t)−F(a)\(F(t)-F(a)\)가 양수이다. 왼쪽 적분에서는 방향 때문에 부호가 뒤집혀 양수가 되고, 오른쪽 적분도 양수이므로 h′\(h'\)의 부호 변화가 없다. 감소 지점도 양쪽 부호가 모두 음수가 된다.
따라서 찾아야 할 a\(a\)는 F(x)=∣sinx∣cosx\(F(x)=|\sin x|\cos x\)의 봉우리, 골짜리, 그리고 절댓값 때문에 생기는 뾰족한 극값 위치이다.
문제는 a6−a2\(a_6-a_2\)만 묻는다. 그래프를 그릴 때는 먼저 0\(0\)부터 2π\(2\pi\)까지를 잡는다. 이 구간은 양의 봉우리, 음의 골짜리, 그리고 π\(\pi\)와 2π\(2\pi\)에서 꺾이는 끝점을 한꺼번에 보여 준다. 그 안에서 양수 후보가 몇 개 나오는지 확인한 뒤 필요한 a2,a6\(a_2,a_6\)을 뽑으면 된다.
아래 그래프에서 검은 곡선의 파란 점 네 개는 구간 내부 봉우리와 골짜리를 표시하고, 빨간 점 세 개는 0,π,2π\(0,\pi,2\pi\)의 뾰족한 극값을 표시한다.
파란 점은 구간 내부 극값, 빨간 점은 절댓값 때문에 생기는 뾰족한 극값이다.
회색 점선 연장을 보면 0\(0\)과 2π\(2\pi\)의 양쪽 주변은 모두 x\(x\)축 위에 있고, π\(\pi\)의 양쪽 주변은 모두 x\(x\)축 아래에 있다. 그래서 0\(0\)과 2π\(2\pi\)는 뾰족한 극소, π\(\pi\)는 뾰족한 극대가 된다.
구간을 (kπ,(k+1)π)\((k\pi,(k+1)\pi)\)로 나누어 보자. x=kπ+u\(x=k\pi+u\), 0<u<π\(0<u<\pi\)라고 두면 sinu>0\(\sin u>0\)이다. 따라서 ∣sinx∣=sinu\(|\sin x|=\sin u\)이고, cosx=(−1)kcosu\(\cos x=(-1)^k\cos u\)이므로
구간 내부의 봉우리와 골짜리를 찾은 뒤에는 구간의 끝점이 남아 있다. F(kπ)=0\(F(k\pi)=0\)이라서 단순한 영점처럼 보이지만, 절댓값 때문에 양쪽 모양이 꺾인다.
x=kπ+u\(x=k\pi+u\)에서 u\(u\)가 0\(0\)에 아주 가까우면 cosu>0\(\cos u>0\)이다. 이때 F(kπ+u)=(−1)k∣sinu∣cosu\(F(k\pi+u)=(-1)^k|\sin u|\cos u\)이고, ∣sinu∣cosu\(|\sin u|\cos u\)는 u=0\(u=0\)의 양쪽에서 모두 양수이며 u=0\(u=0\)에서만 0\(0\)이다.
그래서 k\(k\)가 짝수이면 F(kπ)=0\(F(k\pi)=0\)은 주변보다 낮은 뾰족한 극소이다. k\(k\)가 홀수이면 앞에 음수가 붙어 주변보다 높은 뾰족한 극대이다. 이 판단의 기준은 F(a)\(F(a)\)가 주변 값보다 큰지 작은지이다. 그 높이 비교만으로도 앞에서 본 적분 부호가 갈리므로 kπ\(k\pi\)도 a\(a\)의 후보가 된다.
양수 a\(a\)만 세므로 0\(0\)은 제외한다. 반면 π,2π,3π,⋯\(\pi,2\pi,3\pi,\cdots\)는 모두 포함한다.
이 문항에서 먼저 보이는 h′(a)=0\(h'(a)=0\)은 모든 양수 a\(a\)에서 자동으로 성립한다. 실제로 a\(a\)를 가르는 조건은 그 주변에서 h′\(h'\)의 부호가 바뀌는지이고, 그 부호는 qa′=f′(x)−f′(a)\(q_a'=f'(x)-f'(a)\)를 통해 정리된다.
또 하나의 갈림길은 ∣sinx∣\(|\sin x|\)가 만드는 끝점이다. 구간 내부의 4π\(\frac{\pi}{4}\), 43π\(\frac{3\pi}{4}\)만 보면 π,2π\(\pi,2\pi\)를 놓친다. 절댓값이 만든 뾰족한 극값까지 함께 세는 것이 이 문제의 마지막 확인이다.
