a,b는 자연수이다 f(x)=2x³-6x+1 for x≤2, f(x)=a(x-2)(x-b)+9 for x>2이다 g(t)는 y=f(x)와 y=t가 만나는 점의 개수이다 g(k)+lim(t→k-)g(t)+lim(t→k+)g(t)=9를 만족시키는 실수 k의 개수가 1이다 구하는 값은 가능한 순서쌍 (a,b)에 대한 a+b의 최댓값이다

2024학년도 수능 수학 14번 풀이 | 교점 개수와 최솟값 경계 [241114]

문제

문제 텍스트 객관식

두 자연수 $a,b$ $a,b$에 대하여 함수 $f(x)$ $f(x)$는

f(x)= \begin{cases} 2x^3-6x+1 & (x\le 2)\\ a(x-2)(x-b)+9 & (x>2) \end{cases}

이다. 실수 $t$ $t$에 대하여 함수 $y=f(x)$ $y=f(x)$의 그래프와 직선 $y=t$ $y=t$가 만나는 점의 개수를 $g(t)$ $g(t)$라 하자.

g(k)+\lim_{t\to k^-}g(t)+\lim_{t\to k^+}g(t)=9

를 만족시키는 실수 $k$ $k$의 개수가 $1$ $1$이 되도록 하는 두 자연수 $a,b$ $a,b$의 순서쌍 $(a,b)$ $(a,b)$에 대하여 $a+b$ $a+b$의 최댓값은? [4점]

① $51$ $51$
② $52$ $52$
③ $53$ $53$
④ $54$ $54$
⑤ $55$ $55$

정답

①

풀이

수평선을 움직이며 교점 개수가 바뀌는 높이를 찍어 보자

$g(t)$ $g(t)$는 그래프 $y=f(x)$ $y=f(x)$와 수평선 $y=t$ $y=t$의 교점 개수이다.
그래서 처음에는 $t$ $t$를 위아래로 움직이면서 교점 개수가 바뀌는 높이를 찾는 것이 좋다.
교점 개수는 극값의 높이, 끊어진 점의 높이, 열린 끝점의 높이를 지날 때 바뀐다.

먼저 왼쪽 조각을 본다.
$x\le 2$ $x\le 2$에서 $h(x)=2x^3-6x+1$ $h(x)=2x^3-6x+1$이라 하면

h'(x)=6x^2-6=6(x-1)(x+1)

이다.
따라서 $x=-1$ $x=-1$에서 극대, $x=1$ $x=1$에서 극소를 갖고, $h(-1)=5,\ h(1)=-3,\ h(2)=5$ $h(-1)=5,\ h(1)=-3,\ h(2)=5$이다.

왼쪽 조각만 놓고 수평선과의 교점 개수를 세면 다음과 같다.

\begin{array}{c|ccccc} t & (-\infty,-3) & -3 & (-3,5) & 5 & (5,\infty)\\ \hline \text{교점 개수} & 1 & 2 & 3 & 2 & 0 \end{array}

여기서 가장 먼저 보이는 구간은 $-3<t<5$ $-3<t<5$이다.
왼쪽 조각만으로도 교점이 이미 $3$ $3$개이다.
아래 그래프에서도 파란 수평선 $y=t$ $y=t$이 검은 삼차함수와 세 파란 점에서 만난다.

-3과 5 사이의 수평선이 왼쪽 삼차함수와 세 번 만나는 그래프 — $-3<t<5$ $-3<t<5$에서는 왼쪽 조각만으로 수평선과의 교점이 $3$ $3$개 생긴다.

$g(t)=3$ $g(t)=3$인 열린구간이 생기면 조건을 만족하는 $k$ $k$가 많아진다

문제의 조건은

g(k)+\lim_{t\to k^-}g(t)+\lim_{t\to k^+}g(t)=9

이다.
만약 어떤 열린구간 전체에서 $g(t)=3$ $g(t)=3$으로 일정하면, 그 구간 안의 모든 $k$ $k$에 대해

g(k)=\lim_{t\to k^-}g(t)=\lim_{t\to k^+}g(t)=3

이므로 조건식의 왼쪽은 $3+3+3=9$ $3+3+3=9$가 된다.
그러면 조건을 만족하는 $k$ $k$가 하나가 아니라 열린구간 전체에 생긴다.

따라서 이 문제에서 먼저 막아야 하는 것은 $g(t)=3$ $g(t)=3$인 열린구간이다.
왼쪽 조각이 $-3<t<5$ $-3<t<5$에서 이미 교점 $3$ $3$개를 만들고 있으므로, 오른쪽 조각이 이 구간의 일부에서라도 교점을 전혀 만들지 않는지 확인해야 한다.

오른쪽 포물선의 열린 끝점과 최솟값을 보자

오른쪽 조각을 $q(x)=a(x-2)(x-b)+9\ (x>2)$ $q(x)=a(x-2)(x-b)+9\ (x>2)$라 두자.
여기서 $x=2$ $x=2$는 정의역에 포함되지 않는다.
식으로는 $q(2)=9$ $q(2)=9$처럼 보이지만, 실제 그래프 위의 점은 아니다.

먼저 $b\le 2$ $b\le 2$이면 $x>2$ $x>2$에서 $(x-2)(x-b)>0$ $(x-2)(x-b)>0$이므로 $q(x)>9$ $q(x)>9$이다.
그러면 $-3<t<5$ $-3<t<5$에서 오른쪽 교점이 없고, 왼쪽 교점 $3$ $3$개만 남는다.
이 경우 조건을 만족하는 $k$ $k$가 열린구간 전체에 생기므로 불가능하다.
따라서 $b>2$ $b>2$이다.

$b>2$ $b>2$이면 오른쪽 조각은 $x=2$ $x=2$와 $x=b$ $x=b$에서 높이 $9$ $9$를 갖는 모양이다.
다만 $x=2$ $x=2$는 열린 점이고, $x=b$ $x=b$는 정의역에 포함되는 점이다.
두 높이 $9$ $9$ 사이에서 포물선은 아래로 내려갔다가 다시 올라오므로 꼭짓점의 높이를 확인해야 한다.

꼭짓점은 두 값 $2,b$ $2,b$의 가운데에 있으므로 $x=\frac{b+2}{2}$ $x=\frac{b+2}{2}$이고, 이때의 최솟값을 $m$ $m$이라 하면

m=q\left(\frac{b+2}{2}\right) =9-a\left(\frac{b-2}{2}\right)^2 =9-\frac{a(b-2)^2}{4}

이다.

오른쪽 조각의 수평선 교점 개수는 이 $m$ $m$의 위치로 정해진다.

\begin{array}{c|cccc} t & (-\infty,m) & m & (m,9) & [9,\infty)\\ \hline \text{오른쪽 교점 개수} & 0 & 1 & 2 & 1 \end{array}

$t=9$ $t=9$에서 교점이 $1$ $1$개인 점이 중요하다.
$x=b$ $x=b$는 정의역 $x>2$ $x>2$에 들어가지만, $x=2$ $x=2$는 들어가지 않기 때문이다.

$m>-3$ $m>-3$과 $m<-3$ $m<-3$을 지우면 $m=-3$ $m=-3$만 남는다

이제 $g(t)=3$ $g(t)=3$인 열린구간이 생기지 않도록 $m$ $m$의 위치를 좁힌다.

만약 $m>-3$ $m>-3$이면 $-3<t<\min(m,5)$ $-3<t<\min(m,5)$에서 오른쪽 교점은 아직 없다.
이 구간은 항상 비어 있지 않다.
$m>5$ $m>5$이면 $-3<t<5$ $-3<t<5$가 남고, $-3<m\le 5$ $-3<m\le 5$이면 $-3<t<m$ $-3<t<m$이 남기 때문이다.
그 구간에서는 왼쪽 조각만 교점 $3$ $3$개를 만들므로 $g(t)=3$ $g(t)=3$인 열린구간이 생긴다.
따라서 $m>-3$ $m>-3$은 불가능하다.

아래 그래프에서는 파란 높이 띠가 오른쪽 포물선의 꼭짓점 $m$ $m$ 아래에 남아 있고, 그 띠 안에는 오른쪽 교점이 없다.

m이 -3보다 클 때 파란 높이 띠에서 오른쪽 포물선과 교점이 없는 그래프 — $m>-3$ $m>-3$이면 $-3<t<\min(m,5)$ $-3<t<\min(m,5)$에서 오른쪽 교점이 없어 왼쪽 교점 $3$ $3$개만 남는다.

반대로 $m<-3$ $m<-3$이면 $m<t<-3$ $m<t<-3$에서 오른쪽 조각은 최솟값보다 위, 높이 $9$ $9$보다 아래에 있으므로 교점 $2$ $2$개를 만든다.
왼쪽 조각은 $t<-3$ $t<-3$에서 교점 $1$ $1$개를 만든다.
따라서 이 구간에서도 $g(t)=1+2=3$ $g(t)=1+2=3$이 되어 열린구간 전체가 조건을 만족하게 된다.
이 경우도 불가능하다.

아래 그래프의 파란 수평선 $t=-4$ $t=-4$ 위에는 왼쪽 파란 점 $1$ $1$개와 오른쪽 파란 점 $2$ $2$개가 함께 놓여 있다.

m이 -3보다 작을 때 m과 -3 사이 수평선이 왼쪽 1개 오른쪽 2개의 교점을 만드는 그래프 — $m<-3$ $m<-3$이면 $m<t<-3$ $m<t<-3$에서 왼쪽 $1$ $1$개와 오른쪽 $2$ $2$개가 합쳐져 다시 $g(t)=3$ $g(t)=3$이 된다.

결국 가능한 위치는 경계 하나뿐이다.

m=-3

따라서

9-\frac{a(b-2)^2}{4}=-3

이고, 정리하면

a(b-2)^2=48

이다.

정말 $k$ $k$가 하나만 나오는지 끝까지 확인하자

$m=-3$ $m=-3$이면 오른쪽 조각의 교점 개수는 $t=-3$ $t=-3$에서 $1$ $1$개, $-3<t<9$ $-3<t<9$에서 $2$ $2$개, $t\ge 9$ $t\ge 9$에서 $1$ $1$개이다.
왼쪽 조각과 합치면 $g(t)$ $g(t)$는 다음과 같이 정리된다.

\begin{array}{c|ccccccc} t & (-\infty,-3) & -3 & (-3,5) & 5 & (5,9) & 9 & (9,\infty)\\ \hline g(t) & 1 & 3 & 5 & 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}

열린구간에서는 $g(t)$ $g(t)$가 각각 $1,5,2,1$ $1,5,2,1$로 일정하다.
이 값들 중 $3$ $3$이 없으므로 열린구간 전체가 조건을 만족하는 일은 없다.
그래서 이제 교점 개수가 바뀌는 높이인 $k=-3,5,9$ $k=-3,5,9$만 확인하면 된다.

$k=-3$ $k=-3$에서는

g(-3)=3,\qquad \lim_{t\to -3^-}g(t)=1,\qquad \lim_{t\to -3^+}g(t)=5

이므로 합이 $3+1+5=9$ $3+1+5=9$이다.

$k=5$ $k=5$에서는

g(5)=4,\qquad \lim_{t\to 5^-}g(t)=5,\qquad \lim_{t\to 5^+}g(t)=2

이므로 합이 $11$ $11$이다.

$k=9$ $k=9$에서는

g(9)=1,\qquad \lim_{t\to 9^-}g(t)=2,\qquad \lim_{t\to 9^+}g(t)=1

이므로 합이 $4$ $4$이다.
따라서 조건을 만족하는 $k$ $k$는 $-3$ $-3$ 하나이다.

자연수 조건으로 $a+b$ $a+b$의 최댓값을 고르자

남은 식은 $a(b-2)^2=48$ $a(b-2)^2=48$이다.
$b>2$ $b>2$이므로 $n=b-2$ $n=b-2$를 양의 정수로 두면 $an^2=48$ $an^2=48$이다.

$48=2^4\cdot 3$ $48=2^4\cdot 3$이므로 $n^2$ $n^2$으로 가능한 값은 $1,4,16$ $1,4,16$이다.
따라서 $n=1,2,4$ $n=1,2,4$이고,

\begin{array}{c|ccc} n & 1 & 2 & 4\\ \hline b & 3 & 4 & 6\\ a & 48 & 12 & 3\\ a+b & 51 & 16 & 9 \end{array}

이다.
$a+b$ $a+b$의 최댓값은 $51$ $51$이므로 정답은 ①이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

이 문제는 미분 계산보다 조건 해석이 더 까다롭다.
$g(k)$ $g(k)$와 좌우극한의 합이 $9$ $9$라는 식을 보고, 먼저 $g(t)=3$ $g(t)=3$인 열린구간이 생기면 안 된다는 사실을 잡아야 한다.
그 다음에는 오른쪽 포물선의 최솟값 $m$ $m$이 $-3$ $-3$보다 위에 있어도, 아래에 있어도 각각 $g(t)=3$ $g(t)=3$인 구간이 생긴다는 점을 확인한다.