a는 양수이다 f(x)는 -1≤x<6에서 -x²+6x, x≥6에서 a log₄(x-5)이다 t≥0에서 [t-1,t+1]의 f(x) 최댓값을 g(t)라 한다 구간 [0,∞)에서 g(t)의 최솟값이 5가 되어야 한다 구하는 값은 조건을 만족시키는 양수 a의 최솟값이다

2024학년도 수능 수학 21번 풀이 | 구간 최댓값과 로그 경계 [241121]

문제

문제 텍스트 주관식

양수 $a$ $a$에 대하여 $x\ge -1$ $x\ge -1$에서 정의된 함수 $f(x)$ $f(x)$는

f(x)= \begin{cases} -x^2+6x & (-1\le x<6)\\ a\log_4(x-5) & (x\ge 6) \end{cases}

이다. $t\ge0$ $t\ge0$인 실수 $t$ $t$에 대하여 닫힌구간 $[t-1,t+1]$ $[t-1,t+1]$에서의 $f(x)$ $f(x)$의 최댓값을 $g(t)$ $g(t)$라 하자. 구간 $[0,\infty)$ $[0,\infty)$에서 함수 $g(t)$ $g(t)$의 최솟값이 $5$ $5$가 되도록 하는 양수 $a$ $a$의 최솟값을 구하시오. [4점]

정답

풀이

움직이는 구간을 왼쪽 끝으로 다시 잡아보자

구간 $[t-1,t+1]$ $[t-1,t+1]$은 길이가 $2$ $2$로 고정되어 있고, $t$ $t$가 변하면서 좌우로 움직인다.
가운데 $t$ $t$보다 왼쪽 끝을 기준으로 보면 구간의 위치를 비교하기 쉽다.

u=t-1

로 두면 $t\ge0$ $t\ge0$에서 $u\ge-1$ $u\ge-1$이고, 문제의 구간은 $[u,u+2]$ $[u,u+2]$가 된다.
이제 $g(t)$ $g(t)$는 이 길이 $2$ $2$짜리 구간 안에서 $f(x)$ $f(x)$가 갖는 최댓값이다.

문제는 $g(t)$ $g(t)$의 최솟값이 $5$ $5$가 되게 하는 $a$ $a$의 최솟값을 묻는다.
그러므로 먼저 $f(x)$ $f(x)$가 $5$ $5$보다 큰 곳과 정확히 $5$ $5$인 곳을 표시해야 한다.
그래야 어떤 위치의 구간에서 최댓값이 $5$ $5$보다 작아질 수 있는지 보인다.

이차함수에서 $5$ $5$를 넘는 구간을 먼저 표시해보자

$-1\le x<6$ $-1\le x<6$에서는

f(x)=-x^2+6x=9-(x-3)^2

이다.
이차함수의 꼭짓점은 $x=3$ $x=3$이고, $f(x)=5$ $f(x)=5$가 되는 점은

-x^2+6x=5,\qquad x^2-6x+5=0

에서 $x=1,5$ $x=1,5$이다.
따라서 이차함수 부분에서는

f(x)>5 \quad\Longleftrightarrow\quad 1<x<5

이다.

여기서 $g(t)$ $g(t)$가 구간 안의 최댓값이라는 점을 써야 한다.
구간 $[u,u+2]$ $[u,u+2]$ 안에 $f(x)>5$ $f(x)>5$인 점이 하나라도 들어오면 그 구간의 최댓값은 바로 $5$ $5$보다 커진다.
반대로 $g(t)<5$ $g(t)<5$가 되려면 구간 안의 모든 함수값이 $5$ $5$보다 작아야 한다.
그래서 구간이 $(1,5)$ $(1,5)$를 만나는지부터 확인하는 것이다.

아래 그래프에서 검은 포물선은 회색 점선 $y=5$ $y=5$를 $(1,5)$ $(1,5)$, $(5,5)$ $(5,5)$에서 통과하고, 그 사이 $1<x<5$ $1<x<5$만 파란 음영으로 표시되어 있다.
x축 아래의 파란 $[u,u+2]$ $[u,u+2]$ 브레이스가 이 음영을 만나면 최댓값은 $5$ $5$보다 커진다.

포물선 y=-x²+6x에서 y=5보다 큰 열린구간 1<x<5와 길이 2 구간이 표시된 그래프 — 포물선이 $y=5$ $y=5$보다 위에 있는 곳은 열린구간 $1<x<5$ $1<x<5$뿐이다.

가장 왼쪽에 놓을 수 있는 구간은 $u=-1$ $u=-1$일 때의 $[-1,1]$ $[-1,1]$이다.
이 구간에서 이차함수는 증가하고, 오른쪽 끝에서 $f(1)=5$ $f(1)=5$를 갖는다.
따라서 $g(0)=5$ $g(0)=5$이고, 어떤 $a$ $a$를 택하더라도 $g(t)$ $g(t)$의 최솟값은 $5$ $5$보다 클 수 없다.

이제 목표가 분명해진다.
이미 한 구간에서 최댓값 $5$ $5$가 나오므로, 전체 최솟값을 정확히 $5$ $5$로 만들려면 다른 구간에서 $g(t)<5$ $g(t)<5$가 나오지 않게 해야 한다.

$5$ $5$보다 작은 최댓값이 나올 수 있는 위치를 좁혀보자

구간 $[u,u+2]$ $[u,u+2]$가 $(1,5)$ $(1,5)$를 만나면 $g(t)>5$ $g(t)>5$이다.
$u\ge-1$ $u\ge-1$이라는 범위와 함께 보면 $u\le5$ $u\le5$ 쪽은 빠르게 정리된다.

$u=-1$ $u=-1$이면 구간은 $[-1,1]$ $[-1,1]$이고 최댓값은 $5$ $5$이다.
$-1<u<5$ $-1<u<5$이면 $[u,u+2]$ $[u,u+2]$가 $(1,5)$ $(1,5)$를 만나므로 최댓값은 $5$ $5$보다 크다.
$u=5$ $u=5$이면 구간은 $[5,7]$ $[5,7]$이고 $x=5$ $x=5$를 포함하므로 최댓값은 적어도 $f(5)=5$ $f(5)=5$이다.

따라서 $u\le5$ $u\le5$에서는 $g(t)<5$ $g(t)<5$가 나올 수 없다.
$5$ $5$보다 작은 최댓값을 의심해야 하는 곳은 구간이 $x=5$ $x=5$의 오른쪽으로 막 넘어간 $u>5$ $u>5$뿐이다.

아래 수직선에서 회색 $[5,7]$ $[5,7]$은 $x=5$ $x=5$ 닫힌 점을 포함해 5 확보가 붙어 있고, 파란 $[u,u+2]$ $[u,u+2]$은 $5+\varepsilon$ $5+\varepsilon$ 열린 점에서 시작해 5 빠짐으로 표시되어 있다.
두 브레이스의 길이는 모두 $2$ $2$이므로, 구간이 오른쪽으로 조금 밀릴 때 사라지는 것은 $x=5$ $x=5$ 포함 여부이다.

수직선 위에서 회색 구간 [5,7]은 x=5를 포함하지만 파란 구간 [u,u+2]은 5+ε에서 시작해 x=5를 놓치는 그림 — $[5,7]$ $[5,7]$에서는 $x=5$ $x=5$가 남지만, $u>5$ $u>5$ 직후의 $[u,u+2]$ $[u,u+2]$에서는 $x=5$ $x=5$가 빠진다.

이때 이차함수 부분이 조금 남아 있더라도 $5<x<6$ $5<x<6$에서는 $-x^2+6x<5$ $-x^2+6x<5$이다.
그래서 오른쪽 구간에서 $5$ $5$ 이상을 만들어 줄 수 있는 후보는 로그함수 부분이다.

오른쪽 끝의 로그값이 $5$ $5$ 아래로 내려가지 않게 하자

$x\ge6$ $x\ge6$에서 로그함수 부분은 $a\log_4(x-5)$ $a\log_4(x-5)$이다.
$a>0$ $a>0$이고 $\log_4(x-5)$ $\log_4(x-5)$는 $x\ge6$ $x\ge6$에서 증가하므로, 구간 $[u,u+2]$ $[u,u+2]$ 안의 로그값 중 최댓값은 오른쪽 끝에서 나온다.
$u>5$ $u>5$이면 오른쪽 끝은 $x=u+2$ $x=u+2$이므로 그 값은

a\log_4((u+2)-5)=a\log_4(u-3)

이다.

오른쪽으로 넘어간 구간에서 $g(t)<5$ $g(t)<5$가 생기지 않으려면, 모든 $u>5$ $u>5$에 대해 이 오른쪽 끝값이 $5$ $5$ 이상이어야 한다.
즉 $a\log_4(u-3)\ge5$ $a\log_4(u-3)\ge5$가 $u>5$ $u>5$에서 유지되어야 한다.

여기서 $u=5$ $u=5$의 구간 $[5,7]$ $[5,7]$만 보면 $x=5$ $x=5$가 포함되어 이미 최댓값 $5$ $5$가 나온다.
하지만 실제로 위험한 순간은 구간이 아주 조금 오른쪽으로 움직여 $x=5$ $x=5$를 놓친 직후이다.
그래서 $u=5$ $u=5$를 그대로 대입하는 것이 아니라 $u\to5+$ $u\to5+$의 오른쪽 경계를 본다.

앞 그림에서 $x=5$ $x=5$가 빠졌으므로 이제 오른쪽 끝 $x=u+2$ $x=u+2$의 로그값을 봐야 한다.
아래 그림의 왼쪽 작은 수직선에서는 파란 오른쪽 끝 $x=u+2$ $x=u+2$에서 $a\log_4(u-3)$ $a\log_4(u-3)$ 화살표가 올라가고, 오른쪽 그래프에서는 파란 로그 곡선이 $u=5$ $u=5$ 점선의 열린 점 $a/2$ $a/2$에 가까워진다.

오른쪽 끝 x=u+2의 로그값 a log₄(u-3)이 u→5+에서 a/2에 가까워지고 a/2≥5 조건으로 이어지는 그래프 — 오른쪽 끝 로그값 $a\log_4(u-3)$ $a\log_4(u-3)$의 열린 경계 하한은 $a/2$ $a/2$이다.

$u>5$ $u>5$이면 $u-3>2$ $u-3>2$이고,

u\to5+ \quad\text{일 때}\quad \log_4(u-3)\to\log_4 2=\frac12

이다.
실제로는 $u>5$ $u>5$라서 $\log_4(u-3)>\frac12$ $\log_4(u-3)>\frac12$이지만, $u$ $u$를 $5$ $5$에 얼마든지 가깝게 잡을 수 있다.
그래서 모든 오른쪽 구간에서 $5$ $5$ 아래로 떨어지지 않게 하려면 열린 경계의 하한을 기준으로

a\cdot\frac12\ge5

이어야 한다.
곧 $a\ge10$ $a\ge10$이다.

$a=10$ $a=10$이 실제로 되는지 확인해보자

이제 경계에서 얻은 $a=10$ $a=10$이 실제 조건을 만족하는지 확인한다.

먼저 $u=-1$ $u=-1$일 때 구간은 $[-1,1]$ $[-1,1]$이고, 이 구간에서의 최댓값은 $f(1)=5$ $f(1)=5$이다.
따라서 $a=10$ $a=10$일 때도 $\min g(t)\le5$ $\min g(t)\le5$이다.

다음으로 $g(t)<5$ $g(t)<5$가 되는 구간이 있는지 본다.
앞에서 정리했듯이 $u\le5$ $u\le5$에서는 최댓값이 이미 $5$ $5$ 이상이다.
$u>5$ $u>5$에서는 로그 부분의 오른쪽 끝값이 $10\log_4(u-3)$ $10\log_4(u-3)$이고, $u-3>2$ $u-3>2$이므로

10\log_4(u-3)>10\log_4 2=5

이다.
따라서 오른쪽으로 넘어간 구간에서도 최댓값은 $5$ $5$보다 작아질 수 없다.

결국 $a=10$ $a=10$이면 모든 구간에서 $g(t)\ge5$ $g(t)\ge5$이고, 실제로 $g(0)=5$ $g(0)=5$가 된다.
그러므로 $\min_{t\ge0}g(t)=5$ $\min_{t\ge0}g(t)=5$이다.

필요한 양수 $a$ $a$의 최솟값은

\boxed{10}

이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

이 문제는 $g(t)$ $g(t)$를 모든 $t$ $t$에 대해 식으로 나누어 구하려고 하면 구간 위치에 따라 경우가 많아 보인다.
길이 $2$ $2$짜리 구간이 $f(x)>5$ $f(x)>5$인 구간 $(1,5)$ $(1,5)$를 만나는지만 먼저 보면, $g(t)<5$ $g(t)<5$가 가능한 위치가 $u>5$ $u>5$ 하나로 줄어든다.

또 $[5,7]$ $[5,7]$에서 $f(5)=5$ $f(5)=5$가 보인다고 해서 검사가 끝나지는 않는다.
구간이 오른쪽으로 아주 조금 움직이면 $x=5$ $x=5$는 빠지고, 이때는 오른쪽 끝의 로그값이 최댓값을 $5$ $5$ 이상으로 끌어올려야 한다.
그래서 $a\log_4(u-3)$ $a\log_4(u-3)$의 $u\to5+$ $u\to5+$ 값을 기준으로 $a\ge10$ $a\ge10$을 잡는 것이 이 문항의 갈림길이다.