AB=3, BC=√13, AD·CD=9이다 ∠BAC=π/3이다 삼각형 ABC의 넓이를 S1, 삼각형 ACD의 넓이를 S2라 한다 삼각형 ACD의 외접원의 반지름을 R이라 한다 S2=5/6 S1이다 구하는 값은 R/sin∠ADC이다

2024학년도 수능 수학 13번 풀이 | 삼각형 넓이와 사인법칙 [241113]

문제

문제 텍스트 객관식

그림과 같이

\overline{AB}=3,\quad \overline{BC}=\sqrt{13},\quad \overline{AD}\times\overline{CD}=9,\quad \angle BAC=\frac{\pi}{3}

인 사각형 $ABCD$ $ABCD$가 있다. 삼각형 $ABC$ $ABC$의 넓이를 $S_1$ $S_1$, 삼각형 $ACD$ $ACD$의 넓이를 $S_2$ $S_2$라 하고, 삼각형 $ACD$ $ACD$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$ $R$이라 하자.

S_2=\frac{5}{6}S_1

일 때, $\dfrac{R}{\sin(\angle ADC)}$ $\dfrac{R}{\sin(\angle ADC)}$의 값은? [4점]

① $\dfrac{54}{25}$ $\dfrac{54}{25}$
② $\dfrac{117}{50}$ $\dfrac{117}{50}$
③ $\dfrac{63}{25}$ $\dfrac{63}{25}$
④ $\dfrac{27}{10}$ $\dfrac{27}{10}$
⑤ $\dfrac{72}{25}$ $\dfrac{72}{25}$

정답

①

풀이

$ABC$ $ABC$에서 먼저 $AC$ $AC$와 넓이를 정해보자

그림을 보면 사각형 $ABCD$ $ABCD$ 안에 삼각형 $ABC$ $ABC$와 $ACD$ $ACD$가 붙어 있다.
처음 손을 댈 곳은 삼각형 $ABC$ $ABC$이다.
이쪽에는 $\overline{AB}=3$ $\overline{AB}=3$, $\overline{BC}=\sqrt{13}$ $\overline{BC}=\sqrt{13}$, $\angle BAC=\dfrac{\pi}{3}$ $\angle BAC=\dfrac{\pi}{3}$가 모여 있으므로 $\overline{AC}$ $\overline{AC}$를 먼저 정할 수 있다.

$\overline{AC}=x$ $\overline{AC}=x$라 두고 삼각형 $ABC$ $ABC$에 코사인법칙을 쓰면

(\sqrt{13})^2=3^2+x^2-2\cdot3\cdot x\cos\frac{\pi}{3}

이다.
정리하면

13=9+x^2-3x,\qquad x^2-3x-4=0

이고, $(x-4)(x+1)=0$ $(x-4)(x+1)=0$이다.
길이는 양수이므로 $\overline{AC}=4$ $\overline{AC}=4$이다.

이제 삼각형 $ABC$ $ABC$의 넓이는 두 변 $\overline{AB}$ $\overline{AB}$, $\overline{AC}$ $\overline{AC}$와 그 끼인각 $\angle BAC$ $\angle BAC$로 계산된다.

S_1=\frac12\cdot3\cdot4\cdot\sin\frac{\pi}{3} =6\cdot\frac{\sqrt3}{2} =3\sqrt3

문제에서 $S_2=\dfrac56S_1$ $S_2=\dfrac56S_1$이므로

S_2=\frac56\cdot3\sqrt3=\frac{5\sqrt3}{2}

이다.

$AD\cdot CD$ $AD\cdot CD$가 들어갈 넓이식을 찾아보자

이제 삼각형 $ACD$ $ACD$로 넘어간다.
여기서 $\overline{AD}$ $\overline{AD}$, $\overline{CD}$ $\overline{CD}$를 각각 $u$ $u$, $v$ $v$처럼 놓으면 우선 $uv=9$ $uv=9$만 보이고, 두 길이를 따로 정할 식은 바로 보이지 않는다.
그런데 삼각형의 넓이 공식에는 두 변의 곱과 그 끼인각의 사인이 한 덩어리로 들어간다.

아래 그림에서 파란 두 변 $AD,CD$ $AD,CD$와 빨간 각 $\theta$ $\theta$가 오른쪽 식 박스의 $AD\cdot CD$ $AD\cdot CD$, $\sin\theta$ $\sin\theta$ 자리로 이어진다.

삼각형 ACD에서 AD와 CD의 곱과 끼인각 theta가 넓이식 S2=1/2(AD·CD)sin theta에 들어가는 그림 — $\overline{AD}\cdot\overline{CD}=9$ $\overline{AD}\cdot\overline{CD}=9$는 삼각형 $ACD$ $ACD$의 넓이식에 두 변의 곱으로 바로 들어간다.

$\theta=\angle ADC$ $\theta=\angle ADC$라 하면 삼각형 $ACD$ $ACD$의 넓이는

S_2=\frac12\cdot\overline{AD}\cdot\overline{CD}\cdot\sin\theta

이다.
여기에는 문제에서 준 $\overline{AD}\cdot\overline{CD}=9$ $\overline{AD}\cdot\overline{CD}=9$가 바로 들어간다.
따라서 $S_2=\dfrac92\sin\theta$ $S_2=\dfrac92\sin\theta$이다.
앞에서 $S_2=\dfrac{5\sqrt3}{2}$ $S_2=\dfrac{5\sqrt3}{2}$였으므로

\frac92\sin\theta=\frac{5\sqrt3}{2}

이고, 따라서

\sin\theta=\frac{5\sqrt3}{9}

이다.

여기서 각도 $\theta$ $\theta$ 자체를 구한 것은 아니다.
하지만 목표식에도 $\sin(\angle ADC)$ $\sin(\angle ADC)$가 들어 있으므로, 지금 얻은 사인값이 그대로 다음 계산의 재료가 된다.

$R$ $R$은 $\angle ADC$ $\angle ADC$의 맞은편 변 $AC$ $AC$와 연결해보자

외접원의 반지름 $R$ $R$이 나오면 삼각형 $ACD$ $ACD$에서 확장된 사인법칙을 쓴다.
이때 $\angle ADC$ $\angle ADC$의 맞은편 변은 $\overline{AC}$ $\overline{AC}$이다.

아래 그림에서는 빨간 $\theta$ $\theta$에서 파란 $AC=4$ $AC=4$로 점선 화살표가 내려간다.
이 대응이 사인법칙의 분자 $\overline{AC}$ $\overline{AC}$를 정한다.

삼각형 ACD의 외접원에서 angle ADC의 맞은편 변 AC=4와 반지름 R을 사인법칙으로 연결하는 그림 — $\angle ADC$ $\angle ADC$의 맞은편 변은 $\overline{AC}$ $\overline{AC}$이므로 확장된 사인법칙에서 $\dfrac{AC}{\sin\theta}=2R$ $\dfrac{AC}{\sin\theta}=2R$로 연결된다.

따라서 대응은

\frac{\overline{AC}}{\sin\angle ADC}=2R

이다.
앞에서 $\overline{AC}=4$ $\overline{AC}=4$, $\theta=\angle ADC$ $\theta=\angle ADC$였으므로

\frac{4}{\sin\theta}=2R

이고, $R=\dfrac{2}{\sin\theta}$ $R=\dfrac{2}{\sin\theta}$이다.

따라서 구하려는 값은

\frac{R}{\sin\theta} =\frac{2}{\sin^2\theta}

이다.
$\sin\theta=\dfrac{5\sqrt3}{9}$ $\sin\theta=\dfrac{5\sqrt3}{9}$를 대입하면

\frac{R}{\sin\theta} =\frac{2}{\left(\dfrac{5\sqrt3}{9}\right)^2} =\frac{2}{\dfrac{75}{81}} =\frac{54}{25}

이다.
따라서 정답은 ① $\dfrac{54}{25}$ $\dfrac{54}{25}$이다.

발상이 갈리는 부분

앞쪽 삼각형 $ABC$ $ABC$에서 $\overline{AC}$ $\overline{AC}$와 $S_1$ $S_1$이 정해지고, 넓이 조건으로 $S_2$ $S_2$가 정해진다.
그 다음에는 $\overline{AD}\cdot\overline{CD}=9$ $\overline{AD}\cdot\overline{CD}=9$가 삼각형 $ACD$ $ACD$의 넓이 공식 안에 들어간다는 점을 잡아야 한다.

또 하나 확인할 점은 $\angle ADC$ $\angle ADC$가 예각인지 둔각인지가 최종 계산을 바꾸지 않는다는 것이다.
넓이 공식도, 확장된 사인법칙도 이 문제에서는 $\sin\angle ADC$ $\sin\angle ADC$만 사용한다.
그래서 $\sin\angle ADC=\dfrac{5\sqrt3}{9}$ $\sin\angle ADC=\dfrac{5\sqrt3}{9}$를 얻은 뒤에는 그 값을 $R$ $R$과 목표식에 이어 쓰면 된다.