a>√2인 실수 a에 대해 f(x)=-x³+ax²+2x이다 O(0,0)에서의 접선이 곡선과 다시 만나는 O가 아닌 점을 A라 한다 A에서의 접선이 x축과 만나는 점을 B라 한다 점 A는 선분 OB를 지름으로 하는 원 위에 있다 구하는 값은 OA×AB이다

2024학년도 수능 수학 20번 풀이 | 접선의 방정식과 지름 원의 직각 [241120]

문제

문제 텍스트 주관식

$a>\sqrt{2}$ $a>\sqrt{2}$인 실수 $a$ $a$에 대하여 함수 $f(x)$ $f(x)$를

f(x)=-x^3+ax^2+2x

라 하자. 곡선 $y=f(x)$ $y=f(x)$ 위의 점 $O(0,0)$ $O(0,0)$에서의 접선이 곡선 $y=f(x)$ $y=f(x)$와 만나는 점 중 $O$ $O$가 아닌 점을 $A$ $A$라 하고, 곡선 $y=f(x)$ $y=f(x)$ 위의 점 $A$ $A$에서의 접선이 $x$ $x$축과 만나는 점을 $B$ $B$라 하자. 점 $A$ $A$가 선분 $OB$ $OB$를 지름으로 하는 원 위의 점일 때, $\overline{OA}\times \overline{AB}$ $\overline{OA}\times \overline{AB}$의 값을 구하시오. [4점]

정답

풀이

접선이 만든 점부터 차례로 찍어보자

문제에는 접선이 두 번 나온다.
처음 접선은 $O$ $O$에서 그리고, 그 접선이 곡선과 다시 만나는 점이 $A$ $A$이다.
그래서 처음에는 전체 3차함수의 개형보다 $O$ $O$에서의 접선 하나를 정확히 잡는 것이 빠르다.

함수는

f(x)=-x^3+ax^2+2x

이므로

f'(x)=-3x^2+2ax+2

이다.
$O(0,0)$ $O(0,0)$에서의 접선 기울기는 $f'(0)=2$ $f'(0)=2$이므로 접선은 $y=2x$ $y=2x$이다.

이 직선이 곡선과 다시 만나는 점을 찾기 위해 $f(x)=2x$ $f(x)=2x$를 대입하면

-x^3+ax^2+2x=2x

이고, 정리하면

x^2(a-x)=0

이다.
여기서 $x=0$ $x=0$은 이미 주어진 점 $O$ $O$에 해당한다.
$A$ $A$는 $O$ $O$가 아닌 교점이므로 $x=a$ $x=a$이고,

A=(a,2a)

이다.

지름을 보는 원은 직각으로 바꿔보자

남은 조건은 $A$ $A$가 선분 $OB$ $OB$를 지름으로 하는 원 위에 있다는 말이다.
지름이 주어진 원에서는 원의 중심과 반지름을 먼저 잡기보다, 지름을 보는 원주각을 먼저 떠올리는 편이 자연스럽다.
선분 $OB$ $OB$가 지름이고 $A$ $A$가 그 원 위에 있으므로

\angle OAB=90^\circ

이다.
즉 $OA$ $OA$와 $AB$ $AB$는 서로 수직이다.

아래 그림에서 회색 원은 $O$ $O$와 $B$ $B$를 지름 양끝으로 지나고, $A$ $A$에는 검은 $OA$ $OA$와 파란 접선 $AB$ $AB$ 사이의 빨간 직각 표시가 붙어 있다.
$OB$ $OB$ 아래의 지름 OB 브레이스와 두 기울기 라벨을 함께 보면, 원 조건이 수직 조건으로 이어지는 장면이 보인다.

지름 OB인 원 위의 점 A에서 OA와 접선 AB가 직각이고 두 선분의 기울기가 표시된 그림 — 지름 $OB$ $OB$를 보는 점 $A$ $A$에서는 $OA$ $OA$와 접선 $AB$ $AB$가 서로 수직이 된다.

이 조건이 바로 기울기 조건으로 이어진다.
$A=(a,2a)$ $A=(a,2a)$이므로 직선 $OA$ $OA$의 기울기는

\frac{2a-0}{a-0}=2

이다.
또 직선 $AB$ $AB$는 $A$ $A$에서의 접선이므로 그 기울기는 $f'(a)$ $f'(a)$이다.
따라서

f'(a)=-3a^2+2a^2+2=2-a^2

이고, $OA\perp AB$ $OA\perp AB$에서 두 기울기의 곱이 $-1$ $-1$이 되어야 한다.

2(2-a^2)=-1

이를 풀면

4-2a^2=-1,\qquad 2a^2=5

이므로

a^2=\frac52

이다.
문제에서 $a>\sqrt2$ $a>\sqrt2$이므로

a=\frac{\sqrt{10}}2

이다.

$B$ $B$는 두 번째 접선으로 찾자

이제 길이 $AB$ $AB$를 구해야 하므로 $B$ $B$의 좌표가 필요하다.
앞에서 $a$ $a$가 정해졌으니 $A$ $A$의 좌표와 $A$ $A$에서의 접선 기울기를 수치로 정리할 수 있다.

A=(a,2a)=\left(\frac{\sqrt{10}}2,\sqrt{10}\right)

이고,

f'(a)=2-a^2=2-\frac52=-\frac12

이다.
따라서 $A$ $A$에서의 접선은

y-\sqrt{10} =-\frac12\left(x-\frac{\sqrt{10}}2\right)

이다.
$B$ $B$는 이 접선이 $x$ $x$축과 만나는 점이므로 $y=0$ $y=0$을 대입한다.

0-\sqrt{10} =-\frac12\left(x-\frac{\sqrt{10}}2\right)

따라서

x-\frac{\sqrt{10}}2=2\sqrt{10}

이고,

x=\frac{5\sqrt{10}}2

이다.
즉

B=\left(\frac{5\sqrt{10}}2,0\right)

이다.

두 길이를 계산해 곱하자

이제 필요한 두 길이만 계산하면 된다.
$O=(0,0)$ $O=(0,0)$, $A=\left(\frac{\sqrt{10}}2,\sqrt{10}\right)$ $A=\left(\frac{\sqrt{10}}2,\sqrt{10}\right)$이므로

OA =\sqrt{\left(\frac{\sqrt{10}}2\right)^2+(\sqrt{10})^2} =\sqrt{\frac{10}{4}+10} =\frac{5\sqrt2}{2}

이다.

또 $A=\left(\frac{\sqrt{10}}2,\sqrt{10}\right)$ $A=\left(\frac{\sqrt{10}}2,\sqrt{10}\right)$, $B=\left(\frac{5\sqrt{10}}2,0\right)$ $B=\left(\frac{5\sqrt{10}}2,0\right)$이므로

AB =\sqrt{\left(\frac{5\sqrt{10}}2-\frac{\sqrt{10}}2\right)^2+(0-\sqrt{10})^2}

이다.
정리하면

AB =\sqrt{(2\sqrt{10})^2+(\sqrt{10})^2} =\sqrt{40+10} =5\sqrt2

이다.

따라서

\overline{OA}\times\overline{AB} =\frac{5\sqrt2}{2}\times 5\sqrt2 =25

이다.

정답은 $\boxed{25}$ $\boxed{25}$이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

계산보다 먼저 조건을 어떤 관계로 바꿀지가 중요하다.
$A$ $A$가 지름 $OB$ $OB$인 원 위에 있다는 말은 $\angle OAB=90^\circ$ $\angle OAB=90^\circ$, 즉 $OA\perp AB$ $OA\perp AB$로 바뀐다.
그리고 $AB$ $AB$가 $A$ $A$에서의 접선이라는 조건 때문에 이 수직 관계는 곧바로 기울기 곱 $2(2-a^2)=-1$ $2(2-a^2)=-1$로 이어진다.

좌표로 $B=(b,0)$ $B=(b,0)$을 두고 내적을 사용해도 같은 결론이 나온다.
다만 이 문항에서는 $OA$ $OA$의 기울기와 $AB$ $AB$의 기울기가 모두 바로 보이므로, 먼저 $a$ $a$를 정하고 그다음 $B$ $B$를 구하는 흐름이 계산을 더 짧게 만든다.