최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)이다 f(k-1)f(k+1)<0을 만족시키는 정수 k는 존재하지 않는다 f'(-1/4)=-1/4이다 f'(1/4)<0이다 구하는 값은 f(8)이다

2024학년도 수능 수학 22번 풀이 | 두 칸 부호 조건과 정수근 배치 [241122]

문제

문제 텍스트 주관식

최고차항의 계수가 $1$ $1$인 삼차함수 $f(x)$ $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 $f(x)$ $f(x)$에 대하여

f(k-1)f(k+1)<0

을 만족시키는 정수 $k$ $k$는 존재하지 않는다.

f'\left(-\frac14\right)=-\frac14,\qquad f'\left(\frac14\right)<0

일 때, $f(8)$ $f(8)$의 값을 구하시오. [4점]

정답

483

풀이

두 칸 떨어진 정수값을 먼저 써보자

처음 손은 일반형으로 가기 쉽다.
최고차항의 계수가 $1$ $1$이므로

f(x)=x^3+ax^2+bx+c

라고 두면 $f'(x)=3x^2+2ax+b$ $f'(x)=3x^2+2ax+b$이다.
미분 조건을 대입하면

\frac{3}{16}-\frac a2+b=-\frac14

이므로 $b=\frac a2-\frac{7}{16}$ $b=\frac a2-\frac{7}{16}$이다.
또

f'\left(\frac14\right)=\frac{3}{16}+\frac a2+b=a-\frac14

이므로 $a<\frac14$ $a<\frac14$이다.

여기까지는 바로 정리된다.
하지만 정수 조건을 그대로 대입하면

f(-2)f(0)\ge0,\quad f(-1)f(1)\ge0,\quad f(0)f(2)\ge0,\ \cdots

처럼 끝없이 많은 곱 부등식이 나온다.
이 부등식들을 하나씩 처리하면 미지수 $a,c$ $a,c$가 계속 남는다.
그래서 정수 조건은 값 계산이 아니라 부호의 흐름으로 읽는다.

문제의 조건은 $f(k-1)f(k+1)<0$ $f(k-1)f(k+1)<0$인 정수 $k$ $k$가 없다는 뜻이다.
$n=k-1$ $n=k-1$로 두면

f(n)f(n+2)\ge0\qquad(n\in\mathbb Z)

이다.
즉 두 칸 떨어진 정수값끼리는 부호가 반대가 되면 안 된다.
두 칸씩 보므로 짝수 정수값끼리, 홀수 정수값끼리 따로 보게 된다.

부호가 넘어가는 네 값을 나란히 보자

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수는 아주 왼쪽에서는 음수이고 아주 오른쪽에서는 양수이다.
짝수 정수값만 따로 보아도 왼쪽 끝에서는 음수, 오른쪽 끝에서는 양수로 바뀐다.
그런데 짝수끼리는 두 칸씩 이웃해 있고, 조건 때문에 이웃한 짝수값의 부호가 바로 반대가 될 수 없다.
따라서 그 사이에는 $f$ $f$의 값이 $0$ $0$인 짝수 정수근이 하나 있어야 한다.

홀수 정수값들도 같은 이유로 홀수 정수근을 하나 가진다.
이제 이 두 정수근이 서로 얼마나 떨어질 수 있는지 본다.
짝수 정수근을 $E$ $E$, 홀수 정수근을 $O$ $O$라고 하자.
만약 $E<O$ $E<O$이고 $O\ge E+3$ $O\ge E+3$이면, $E+1$ $E+1$과 $E+2$ $E+2$가 두 정수근 사이에 놓인다.

짝수열은 이미 $E$ $E$를 지나 오른쪽으로 온 상태이므로 $f(E+2)\ge0$ $f(E+2)\ge0$이어야 하고, 홀수열은 아직 $O$ $O$를 지나기 전이므로 $f(E+1)\le0$ $f(E+1)\le0$이어야 한다.
남은 한 근을 $r$ $r$라고 두고 $f(x)=(x-E)(x-O)(x-r)$ $f(x)=(x-E)(x-O)(x-r)$로 쓰면, $E+1$ $E+1$과 $E+2$ $E+2$에서는 $(x-E)(x-O)$ $(x-E)(x-O)$가 모두 음수이다.
그래서 $f(E+1)\le0$ $f(E+1)\le0$은 $r\le E+1$ $r\le E+1$을, $f(E+2)\ge0$ $f(E+2)\ge0$은 $r\ge E+2$ $r\ge E+2$를 요구한다.
이는 동시에 성립할 수 없다.
$O<E$ $O<E$인 경우도 같은 방식이다.

따라서 짝수 정수근과 홀수 정수근은 서로 이웃해야 한다.
이 장면을 어떤 정수 $t$ $t$ 주변의 네 값으로 보면, 부호가 그냥 $-,-,+,+$ $-,-,+,+$로 넘어갈 때

f(t-1)f(t+1)<0,\qquad f(t)f(t+2)<0

가 되어 조건을 바로 어긴다는 뜻이다.

아래 그림에서 수평선 위 네 tick은 $m-1,m,m+1,m+2$ $m-1,m,m+1,m+2$ 순서로 놓여 있고, 부호가 $-,-,+,+$ $-,-,+,+$로 표시되어 있다.
빨간 연결선 두 개가 정확히 두 칸씩 건너뛰며 $<0$ $<0$ 판정을 만들기 때문에, 이런 부호 변화는 조건에서 제외된다.

수직선 위 네 정수 m-1, m, m+1, m+2에서 부호가 -,-,+,+로 놓이고 두 칸 연결이 음수 곱을 만드는 그림 — 두 칸 떨어진 값의 부호가 반대가 되면 $f(n)f(n+2)\ge0$ $f(n)f(n+2)\ge0$ 조건을 어긴다.

조건을 만족하려면 부호가 넘어가는 자리에 연속한 두 정수근이 놓여야 한다.

f(t+1)=0,\qquad f(t+2)=0

한 실근만 있는 경우는 짝수열과 홀수열의 부호 변화를 동시에 막을 수 없고, 서로 다른 실근이 두 개인 경우도 중근이 이 연속한 정수근 중 하나로 들어와야 한다.

이 두 연속한 정수근의 왼쪽 값을 새로 $m$ $m$이라고 부르면, 모든 경우를

f(x)=(x-m)(x-m-1)(x-r)

꼴로 묶어 쓸 수 있다.
여기서 $m$ $m$은 정수이고, $r=m$ $r=m$ 또는 $r=m+1$ $r=m+1$이면 중근 경우까지 포함된다.

남은 근이 너무 멀리 가면 조건이 다시 깨진다

연속한 정수근 $m,\ m+1$ $m,\ m+1$은 두 칸 비교에서 부호 변화를 막아 주는 역할을 한다.
이제 남은 근 $r$ $r$이 어디까지 갈 수 있는지 본다.

만약 $r<m-1$ $r<m-1$이면, $r$ $r$을 사이에 두는 길이 $2$ $2$짜리 같은 홀짝 정수 구간을 잡을 수 있다.
한쪽 쌍이 $m$ $m$을 끝점으로 가지면 반대 홀짝 쌍을 잡으면 된다.
그러면 그 구간의 양 끝은 $m,\ m+1$ $m,\ m+1$이 아니므로 함수값이 $0$ $0$으로 막히지 않는다.
그런데 $r$ $r$은 단순근이어서 그 양쪽에서 부호가 바뀐다.
그러면 어떤 정수 $n$ $n$에 대해 $f(n)f(n+2)<0$ $f(n)f(n+2)<0$가 생긴다.

$r>m+2$ $r>m+2$인 경우도 같다.
연속한 두 정수근의 오른쪽 바깥에서 다시 부호가 바뀌면, 두 칸 떨어진 정수값 한 쌍이 그 부호 변화를 그대로 드러낸다.

따라서 남은 근은 연속한 두 정수근이 부호 변화를 막아 줄 수 있는 범위 안에 있어야 한다.

m-1\le r\le m+2

아래 그림에서는 $m,m+1$ $m,m+1$ 두 tick만 굵은 점과 $0$ $0$ 라벨로 표시되어 있고, 노란 bracket은 $m-1$ $m-1$부터 $m+2$ $m+2$까지 닫힌구간으로 이어진다.
파란 $r$ $r$ 후보점은 그 bracket 안에만 있고, 바깥 회색 영역에는 밖 → 제외 표시가 붙어 있다.

수직선 위에서 m과 m+1은 연속 정수근이고 r의 허용 범위가 m-1부터 m+2까지 노란 bracket으로 표시된 그림 — 연속한 정수근 $m,m+1$ $m,m+1$이 부호 변화를 막고, 남은 근 $r$ $r$은 $m-1\le r\le m+2$ $m-1\le r\le m+2$ 안에 있어야 한다.

이제 구조가 결정되었다.
남은 일은 미분 조건으로 $m,r$ $m,r$을 좁히는 계산이다.

미분 조건을 근의 형태에 연결하자

앞에서 얻은

f(x)=(x-m)(x-m-1)(x-r)

을 전개하면

f(x)=x^3-(2m+1+r)x^2+\{m(m+1)+(2m+1)r\}x-m(m+1)r

이다.
따라서 일반형 $x^3+ax^2+bx+c$ $x^3+ax^2+bx+c$와 비교하여

a=-(2m+1+r),\qquad b=m(m+1)+(2m+1)r

이다.

미분 조건에서 얻은 $b=\frac a2-\frac{7}{16}$ $b=\frac a2-\frac{7}{16}$을 여기에 대입하면

m(m+1)+(2m+1)r=-\frac{2m+1+r}{2}-\frac{7}{16}

이다.
정리하면

\left(2m+\frac32\right)r=-\left(m^2+2m+\frac{15}{16}\right)

이고,

m^2+2m+\frac{15}{16}=\frac{(4m+3)(4m+5)}{16},\qquad 2m+\frac32=\frac{4m+3}{2}

이므로 $r=-\frac{4m+5}{8}$ $r=-\frac{4m+5}{8}$이다.

따라서

a=-(2m+1+r)=-\frac{12m+3}{8}

이다.

두 부등식으로 $m$ $m$을 한 값으로 좁히자

먼저 $f'(\frac14)<0$ $f'(\frac14)<0$에서 얻은 $a<\frac14$ $a<\frac14$를 쓴다.

-\frac{12m+3}{8}<\frac14

이므로 $m>-\frac{5}{12}$ $m>-\frac{5}{12}$이다.
$m$ $m$은 정수이므로 $m\ge0$ $m\ge0$이다.

다음으로 남은 근의 위치 조건 $m-1\le r\le m+2$ $m-1\le r\le m+2$를 쓴다.
$r=-\frac{4m+5}{8}$ $r=-\frac{4m+5}{8}$이므로 왼쪽 부등식에서

m-1\le -\frac{4m+5}{8}

이다.
정리하면 $12m\le3$ $12m\le3$, 즉 $m\le0$ $m\le0$이다.

따라서 $m\ge0$ $m\ge0$와 $m\le0$ $m\le0$을 동시에 만족하는 정수는 $m=0$ $m=0$뿐이다.
그러면 $r=-\frac58$ $r=-\frac58$이고

f(x)=x(x-1)\left(x+\frac58\right)

이다.

값을 구하고 조건에 다시 넣어보자

구하려는 값은 바로 계산된다.

f(8)=8\cdot7\cdot\left(8+\frac58\right) =56\cdot\frac{69}{8}=483

이다.

마지막으로 조건에 다시 넣어 확인한다.
구한 함수는

f(x)=x^3-\frac38x^2-\frac58x

이므로 $f'(x)=3x^2-\frac34x-\frac58$ $f'(x)=3x^2-\frac34x-\frac58$이다.
따라서

f'\left(-\frac14\right)=\frac{3}{16}+\frac{3}{16}-\frac58=-\frac14

이고,

f'\left(\frac14\right)=\frac{3}{16}-\frac{3}{16}-\frac58=-\frac58<0

이다.

또 근이 $-\frac58,0,1$ $-\frac58,0,1$이다.
짝수 정수값은 $0$ $0$에서, 홀수 정수값은 $1$ $1$에서 $0$ $0$을 지나 부호가 넘어간다.
부호가 바뀌는 자리에 정수근이 있으므로 두 칸 떨어진 정수값끼리 부호가 반대가 되는 경우는 없다.

따라서 정답은 $483$ $483$이다.

비슷한 유형에서 가져갈 관찰

정수 $k$ $k$가 들어간 조건이라고 해서 모든 정수값을 하나씩 대입하는 문제는 아니다.
이 문항에서는 $k-1$ $k-1$과 $k+1$ $k+1$이 두 칸 떨어져 있다는 점이 먼저 보인다.
그래서 짝수 정수값과 홀수 정수값을 따로 놓고 부호가 어디에서 바뀌는지 보는 것이 계산을 줄인다.