실수 전체에서 연속인 함수 f(x)는 항상 0 이상이다 x<0에서 f(x)=-4xe^(4x²)이다 모든 양수 t에 대해 f(x)=t의 서로 다른 실근은 2개이다 두 실근 g(t), h(t)는 모든 양수 t에 대해 2g(t)+h(t)=k를 만족한다 ∫₀⁷ f(x) dx=e⁴-1이다 구하는 값은 f(9)/f(8)이다

2024학년도 수능 수학 미적분 28번 풀이 | 실근 위치와 정적분 [241128c]

문제

문제 텍스트 객관식

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ $f(x)$가 모든 실수 $x$ $x$에 대하여 $f(x)\ge0$ $f(x)\ge0$이고, $x<0$ $x<0$일 때

f(x)=-4xe^{4x^2}

이다. 모든 양수 $t$ $t$에 대하여 $x$ $x$에 대한 방정식 $f(x)=t$ $f(x)=t$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$ $2$이고, 이 방정식의 두 실근 중 작은 값을 $g(t)$ $g(t)$, 큰 값을 $h(t)$ $h(t)$라 하자.

두 함수 $g(t), h(t)$ $g(t), h(t)$는 모든 양수 $t$ $t$에 대하여

2g(t)+h(t)=k\quad(k\text{는 상수})

를 만족시킨다.

\int_0^7 f(x)\,dx=e^4-1

일 때, $\dfrac{f(9)}{f(8)}$ $\dfrac{f(9)}{f(8)}$의 값은? [4점]

① $\dfrac{3}{2}e^5$ $\dfrac{3}{2}e^5$
② $\dfrac{4}{3}e^7$ $\dfrac{4}{3}e^7$
③ $\dfrac{5}{4}e^9$ $\dfrac{5}{4}e^9$
④ $\dfrac{6}{5}e^{11}$ $\dfrac{6}{5}e^{11}$
⑤ $\dfrac{7}{6}e^{13}$ $\dfrac{7}{6}e^{13}$

정답

②

풀이

수평선 $y=t$ $y=t$가 왼쪽에서 한 번만 만나는지 보자

문제에서 공식이 직접 주어진 구간은 $x<0$ $x<0$이다.
먼저 그쪽 그래프에 수평선 $y=t$ $y=t$를 그어 보면, 양수 $t$ $t$마다 왼쪽에서 근이 하나 생기는지부터 확인해야 한다.
그래야 작은 근 $g(t)$ $g(t)$를 실제로 잡을 수 있다.

$x<0$ $x<0$에서 $f(x)=-4xe^{4x^2}$ $f(x)=-4xe^{4x^2}$이고, $f'(x)=-4(1+8x^2)e^{4x^2}<0$ $f'(x)=-4(1+8x^2)e^{4x^2}<0$이다.
따라서 음수 구간에서 $f(x)$ $f(x)$는 감소한다.
또

\lim_{x\to-\infty}(-4xe^{4x^2})=\infty,\qquad \lim_{x\to0-}(-4xe^{4x^2})=0

이다.

그러므로 $t>0$ $t>0$인 수평선은 음수 구간의 그래프와 정확히 한 번 만난다.
이 근이 두 근 중 작은 근이므로 $g(t)$ $g(t)$이다.

또 $x\to0-$ $x\to0-$일 때 $-4xe^{4x^2}\to0$ $-4xe^{4x^2}\to0$이고 $f$ $f$는 실수 전체에서 연속이므로 $f(0)=0$ $f(0)=0$이다.
양수 높이 $t$ $t$에 대한 근은 $x=0$ $x=0$에 놓일 수 없다.

왼쪽 근을 $-a$ $-a$로 두고 오른쪽 근을 찍어보자

음수인 근을 $g(t)=-a$ $g(t)=-a$라고 두자.
여기서 $a>0$ $a>0$이다.
그러면 그 수평선의 높이는 $t=f(-a)=4ae^{4a^2}$ $t=f(-a)=4ae^{4a^2}$이다.

조건 $2g(t)+h(t)=k$ $2g(t)+h(t)=k$는 같은 높이 $t$ $t$에서 왼쪽 근과 오른쪽 근의 위치가 항상 일정한 방식으로 묶인다는 뜻이다.
$g(t)=-a$ $g(t)=-a$를 대입하면 $2(-a)+h(t)=k$ $2(-a)+h(t)=k$이므로 $h(t)=k+2a$ $h(t)=k+2a$이다.

아래 그래프에서 회색 점선 $y=t$ $y=t$는 빨간 두 교점 $G$ $G$와 $H$ $H$를 같은 높이에서 지나고, x축 아래 브레이스는 왼쪽 길이 $a$ $a$와 오른쪽 길이 $2a$ $2a$를 표시한다.
이 배치가 $h(t)=k+2a$ $h(t)=k+2a$의 위치 관계이다.

수평선 y=t가 왼쪽 근 g(t)=-a와 오른쪽 근 h(t)=k+2a를 같은 높이에서 지나는 그래프 — 같은 높이 $t$ $t$에서 왼쪽 근이 $-a$ $-a$이면 오른쪽 근은 $k+2a$ $k+2a$로 정해진다.

여기서 $a$ $a$는 하나의 값만 뜻하지 않는다.
$t$ $t$가 모든 양수를 움직이면, 음수 구간의 유일한 근도 $0$ $0$에 가까운 곳부터 왼쪽 먼 곳까지 움직인다.
즉 $a$ $a$는 모든 양수 값을 지난다.
특히 $a$ $a$를 아주 작게 만들 수 있다.

큰 근 $h(t)$ $h(t)$는 음수 구간의 근과 달라야 하고 $x=0$ $x=0$에도 놓일 수 없으므로 양수 쪽에 있어야 한다.
따라서 모든 $a>0$ $a>0$에 대해 $k+2a>0$ $k+2a>0$이어야 한다.
아주 작은 $a$ $a$에서도 이 부등식이 성립해야 하므로 $k\ge0$ $k\ge0$이다.

이제 오른쪽 그래프의 식을 얻는다.
$h(t)=k+2a$ $h(t)=k+2a$라는 말은 높이가 $4ae^{4a^2}$ $4ae^{4a^2}$인 점의 오른쪽 $x$ $x$좌표가 $k+2a$ $k+2a$라는 뜻이다.
$a>0$ $a>0$ 전체가 움직이면 $x=k+2a$ $x=k+2a$는 $x>k$ $x>k$ 전체를 훑는다.

따라서 $x=k+2a$ $x=k+2a$, 즉 $a=\dfrac{x-k}{2}$ $a=\dfrac{x-k}{2}$로 바꾸면 $x>k$ $x>k$에서

f(x)=4ae^{4a^2} =2(x-k)e^{(x-k)^2}

이다.

여기서 확인한 내용은 수평선 하나하나에 대해 오른쪽 근의 위치가 $k+2a$ $k+2a$로 정해진다는 점이다.
그 점들이 $x>k$ $x>k$를 모두 채우기 때문에 양수 쪽의 식이 정해진다.

비어 있는 구간 $0\le x\le k$ $0\le x\le k$에 양수값이 있으면 근이 세 개가 된다

방금 얻은 식은 $x>k$ $x>k$에서만 정해졌다.
그래서 남은 구간은 $0\le x\le k$ $0\le x\le k$이다.
이 구간을 확인해야 하는 이유는 간단하다.
여기에 양수값이 하나라도 있으면, 같은 높이의 수평선이 이미 정해진 두 근 말고 한 번 더 만나게 된다.

아래 그림에서는 노란 $0\le x\le k$ $0\le x\le k$ 띠 안의 파란 점 $C$ $C$에 빨간 X가 겹쳐 있다.
회색 수평선 $y=t=f(c)$ $y=t=f(c)$가 왼쪽 빨간 점 $G$ $G$, 가운데 $C$ $C$, 오른쪽 빨간 점 $H$ $H$ 세 곳을 모두 지나므로 근 3개 → 제외가 된다.

0≤x≤k 구간 안의 양수값 후보 c 때문에 수평선 y=t=f(c)가 g(t), c, h(t) 세 점을 지나는 그래프 — $0\le x\le k$ $0\le x\le k$ 안에 양수값이 있으면 같은 높이의 근이 세 개가 된다.

어떤 $c\in(0,k]$ $c\in(0,k]$에서 $f(c)>0$ $f(c)>0$이라고 해 보자.
$t=f(c)$ $t=f(c)$로 두면 $f(x)=t$ $f(x)=t$의 근에는 음수 근 $g(t)$ $g(t)$가 있다.
또 오른쪽 근은 $h(t)=k+2a$ $h(t)=k+2a$ 꼴이므로 $h(t)>k$ $h(t)>k$이다.
그런데 $c\le k$ $c\le k$이므로 $c$ $c$는 $h(t)$ $h(t)$와 다른 점이다.

그러면 같은 방정식 $f(x)=t$ $f(x)=t$가 음수 근, $c$ $c$, $h(t)$ $h(t)$를 모두 근으로 갖는다.
서로 다른 실근이 적어도 $3$ $3$개가 되어 문제의 조건과 맞지 않는다.

문제에서 모든 $x$ $x$에 대해 $f(x)\ge0$ $f(x)\ge0$이라고 했으므로, 이 구간에서 양수값을 가질 수 없다면 남는 가능성은 $0$ $0$뿐이다.
따라서

f(x)= \begin{cases} 0, & 0\le x\le k,\\[2mm] 2(x-k)e^{(x-k)^2}, & x>k \end{cases}

이다.

적분값으로 $7-k$ $7-k$를 찾아보자

이제 적분 조건이 $k$ $k$를 정한다.
만약 $k\ge7$ $k\ge7$이면 $0\le x\le7$ $0\le x\le7$ 전체에서 $f(x)=0$ $f(x)=0$이므로 적분값이 $0$ $0$이 된다.
그런데 주어진 값은 $e^4-1>0$ $e^4-1>0$이다.
따라서 $0\le k<7$ $0\le k<7$이다.

그러면 $0$ $0$부터 $k$ $k$까지는 넓이가 없고, $k$ $k$부터 $7$ $7$까지만 계산하면 된다.

\int_0^7 f(x)\,dx =\int_k^7 2(x-k)e^{(x-k)^2}\,dx

이다.
이 적분은 $(x-k)^2$ $(x-k)^2$를 미분하면 $2(x-k)$ $2(x-k)$가 나오는 구조이므로

\int_k^7 2(x-k)e^{(x-k)^2}\,dx =\left[e^{(x-k)^2}\right]_k^7 =e^{(7-k)^2}-1

이다.

주어진 적분값과 비교하면 $e^{(7-k)^2}-1=e^4-1$ $e^{(7-k)^2}-1=e^4-1$이므로 $(7-k)^2=4$ $(7-k)^2=4$이다.
이미 $k<7$ $k<7$이므로 $7-k=2$ $7-k=2$이고, 따라서 $k=5$ $k=5$이다.

$8,9$ $8,9$가 왼쪽의 어느 점과 같은 높이인지 보자

$k=5$ $k=5$가 정해졌으므로 오른쪽 점 $x$ $x$는 왼쪽의 $-\dfrac{x-k}{2}$ $-\dfrac{x-k}{2}$와 같은 높이에 있다.
이 대응을 쓰면 $8=5+2\cdot\dfrac32$ $8=5+2\cdot\dfrac32$이고 $9=5+2\cdot2$ $9=5+2\cdot2$이므로

f(8)=f\left(-\frac32\right)=6e^9,\qquad f(9)=f(-2)=8e^{16}

이다.
따라서

\frac{f(9)}{f(8)} =\frac{8e^{16}}{6e^9} =\frac43 e^7

이다.
정답은 ②이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

이 문항은 미분 계산보다 수평선 $y=t$ $y=t$가 만드는 두 근의 위치 관계를 읽는 데서 갈린다.
왼쪽 근을 $-a$ $-a$로 두면 오른쪽 근이 $k+2a$ $k+2a$로 고정되고, 그 점들이 $x>k$ $x>k$ 전체를 채운다.
그 다음 남은 구간 $0\le x\le k$ $0\le x\le k$에 양수값이 있으면 근이 세 개가 된다는 점까지 확인해야 함수의 모양이 완전히 정해진다.