k는 양수이고 f(x)=(k-|x|)e^(-x)이다. F는 실수 전체에서 미분가능하고 모든 실수 x에 대해 F'(x)=f(x)이다. 모든 실수 x에 대해 F(x)≥f(x)를 만족하는 함수 F들 중 F(0)의 최솟값을 g(k)라 한다. g(1/4)+g(3/2)=pe+q이고 p, q는 유리수이다. 구해야 하는 값은 100(p+q)이다.

2025학년도 9월 모의평가 수학 미적분 30번 풀이 | 세로 이동과 차이 함수 최솟값 [250930c]

문제

문제 텍스트 주관식

양수 $k$ $k$에 대하여 함수 $f(x)$ $f(x)$를 $f(x)=(k-|x|)e^{-x}$ $f(x)=(k-|x|)e^{-x}$라 하자.

실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 $F(x)$ $F(x)$에 대하여 $F(0)$ $F(0)$의 최솟값을 $g(k)$ $g(k)$라 하자.

모든 실수 $x$ $x$에 대하여 $F'(x)=f(x)$ $F'(x)=f(x)$이고 $F(x)\ge f(x)$ $F(x)\ge f(x)$이다.

$g\left(\frac14\right)+g\left(\frac32\right)=pe+q$ $g\left(\frac14\right)+g\left(\frac32\right)=pe+q$일 때, $100(p+q)$ $100(p+q)$의 값을 구하시오.

단, $\lim_{x\to\infty}xe^{-x}=0$ $\lim_{x\to\infty}xe^{-x}=0$이고, $p$ $p$와 $q$ $q$는 유리수이다. [4점]

정답

풀이

풀이 전략

조건 $F'(x)=f(x)$ $F'(x)=f(x)$는 $F$ $F$의 기울기 변화가 이미 정해져 있다는 뜻이다.
그러면 여러 $F$ $F$는 한 부정적분에 상수 $C$ $C$를 더한 세로 이동 가족으로 볼 수 있다.
$F(0)$ $F(0)$의 최솟값은 이 상수 $C$ $C$를 어디까지 올려야 전 구간에서 $F(x)\ge f(x)$ $F(x)\ge f(x)$가 되는지 찾는 값이다.

절댓값 때문에 $x=0$ $x=0$을 기준으로 오른쪽과 왼쪽의 식이 갈린다.
차이 함수 $h(x)=F(x)-f(x)$ $h(x)=F(x)-f(x)$를 만들고, $h(x)\ge0$ $h(x)\ge0$이 유지되도록 하는 $C$ $C$의 하한을 두 구간에서 각각 확인한다.

F 후보들이 상수 C만 다른 세로 이동 가족이고 h_C가 0 아래로 내려가지 않도록 C를 올리는 구조 — $F'(x)=f(x)$ $F'(x)=f(x)$에서 세로 이동 가족과 차이 함수 조건으로 넘어가는 구조

구간별 식과 차이 함수 세우기

먼저 절댓값을 풀면

f(x)= \begin{cases} (k-x)e^{-x} & (x\ge0),\\ (k+x)e^{-x} & (x<0) \end{cases}

이다.

$F'(x)=f(x)$ $F'(x)=f(x)$를 만족하는 $F$ $F$를 구하려면 각 조각을 부분적분으로 적분한다.
$x\ge0$ $x\ge0$에서는 $u=k-x$ $u=k-x$, $dv=e^{-x}dx$ $dv=e^{-x}dx$로 두면 $du=-dx$ $du=-dx$, $v=-e^{-x}$ $v=-e^{-x}$이므로

\int(k-x)e^{-x}\,dx =-(k-x)e^{-x}-\int e^{-x}\,dx =-(k-x)e^{-x}+e^{-x}+C =(x+1-k)e^{-x}+C

이다.
$x<0$ $x<0$에서는 $u=k+x$ $u=k+x$, $dv=e^{-x}dx$ $dv=e^{-x}dx$로 두면 $du=dx$ $du=dx$, $v=-e^{-x}$ $v=-e^{-x}$이므로

\int(k+x)e^{-x}\,dx =-(k+x)e^{-x}+\int e^{-x}\,dx =-(k+x)e^{-x}-e^{-x}+C =-(x+k+1)e^{-x}+C

이다.
오른쪽 구간의 적분상수를 $C$ $C$로 두면 $F$ $F$는

F(x)= \begin{cases} (x+1-k)e^{-x}+C & (x\ge0),\\ -(x+k+1)e^{-x}+C+2 & (x<0) \end{cases}

로 쓸 수 있다.
왼쪽 상수가 $C+2$ $C+2$가 되는 것은 $F$ $F$가 $x=0$ $x=0$에서 연속이어야 하기 때문이다.
실제로 두 식의 $x=0$ $x=0$에서의 값은 모두 $1-k+C$ $1-k+C$이므로 $F(0)=1-k+C$ $F(0)=1-k+C$이다.

아래 정리에서는 $f$ $f$, $F$ $F$, $h=F-f$ $h=F-f$의 식을 한 번에 모아 둔다.
특히 마지막 줄의 $F(0)=1-k+C$ $F(0)=1-k+C$가 이후 계산의 기준이다.

f와 F를 x=0 기준으로 나누고 F(0)=1-k+C와 h(x)=F(x)-f(x)를 정리한 계산표 — 절댓값 구간 분리와 $F(0)=1-k+C$ $F(0)=1-k+C$, $h(x)=F(x)-f(x)$ $h(x)=F(x)-f(x)$ 설정

따라서 차이 함수는

h(x)= \begin{cases} (2x+1-2k)e^{-x}+C & (x\ge0),\\ C+2-(2x+2k+1)e^{-x} & (x<0) \end{cases}

이고, 문제의 부등식 조건은 모든 실수 $x$ $x$에서 $h(x)\ge0$ $h(x)\ge0$이라는 조건으로 바뀐다.

오른쪽 구간에서 아래쪽을 확인하기

$x\ge0$ $x\ge0$에서는 $h(x)=(2x+1-2k)e^{-x}+C$ $h(x)=(2x+1-2k)e^{-x}+C$이다.
미분하면

h'(x)=(-2x+2k+1)e^{-x}\quad (x>0)

이다.
$e^{-x}$ $e^{-x}$는 항상 양수이므로 부호는 $-2x+2k+1$ $-2x+2k+1$로 결정된다.
따라서 $x=k+\frac12$ $x=k+\frac12$까지 증가하고, 그 뒤로 감소한다.

아래 부호표에서 가운데 지점 $x=k+\frac12$ $x=k+\frac12$는 봉우리로 표시되어 있다.
오른쪽 구간에서 아래쪽을 확인할 위치는 시작점 $x=0$ $x=0$과 먼 끝 $x\to\infty$ $x\to\infty$이다.

x가 0 이상일 때 h'(x)의 부호가 더하기에서 빼기로 바뀌고 C의 하한이 C>=2k-1, C>=0으로 정리되는 부호표 — 오른쪽 구간에서 시작점과 무한대 쪽이 만드는 $C$ $C$의 하한

계산하면 $h(0)=C+1-2k$ $h(0)=C+1-2k$, $\lim_{x\to\infty}h(x)=C$ $\lim_{x\to\infty}h(x)=C$이다.
그러므로 오른쪽 구간에서는 $C\ge2k-1$ $C\ge2k-1$과 $C\ge0$ $C\ge0$이 필요하다.

왼쪽 구간에서 임계점 위치 나누기

$x<0$ $x<0$에서는

h(x)=C+2-(2x+2k+1)e^{-x}

이다.
이 식을 미분하면

h'(x)=(2x+2k-1)e^{-x}\quad (x<0)

이고, 부호가 바뀌는 지점은 $x=\frac12-k$ $x=\frac12-k$이다.
이 지점이 음수 구간 안에 들어오는지가 조건을 가른다.

0은 왼쪽 구간에 포함되지 않지만, $h$ $h$가 0에서 이어지므로 왼쪽에서 0에 가까워지는 경계값도 같은 조건으로 확인한다.
아래 그림에서 왼쪽 패널은 임계점이 구간 밖에 있는 경우이고, 오른쪽 패널은 임계점이 음수 구간 안에 있는 경우이다.

x가 0보다 작을 때 x=1/2-k가 구간 밖인지 안인지에 따라 C의 조건이 나뉘는 두 패널 — 왼쪽 구간에서 $x=\frac12-k$ $x=\frac12-k$의 위치가 만드는 케이스 분류

$0<k\le\frac12$ $0<k\le\frac12$이면 $\frac12-k\ge0$ $\frac12-k\ge0$이어서 낮은 지점이 왼쪽 구간 밖에 있다.
이때 왼쪽 구간에서 새로 생기는 하한은 오른쪽에서 얻은 $C\ge0$ $C\ge0$ 안에 들어간다.

$k>\frac12$ $k>\frac12$이면 $\frac12-k<0$ $\frac12-k<0$이므로 이 지점이 왼쪽 구간 안에 들어온다.
이때

h\left(\frac12-k\right)=C+2-2e^{k-\frac12}

이므로 왼쪽 구간에서는 $C\ge2e^{k-\frac12}-2$ $C\ge2e^{k-\frac12}-2$가 추가된다.

두 k 값 대입하기

이제 문제에서 요구한 $k=\frac14$ $k=\frac14$, $k=\frac32$ $k=\frac32$만 대입한다.
아래 표는 각 $k$ $k$에서 최소 $C$ $C$와 $g(k)=1-k+C$ $g(k)=1-k+C$를 같이 정리한 것이다.

k=1/4와 k=3/2에서 최소 C와 g(k)를 구해 100(p+q)=25로 정리한 표 — $k=\frac14$ $k=\frac14$, $k=\frac32$ $k=\frac32$에서 최소 $C$ $C$와 $g(k)$ $g(k)$를 정리한 표

$k=\frac14$ $k=\frac14$은 $0<k\le\frac12$ $0<k\le\frac12$에 속한다.
오른쪽 구간에서 $C\ge0$ $C\ge0$, $C\ge2k-1=-\frac12$ $C\ge2k-1=-\frac12$가 나오고, 왼쪽 구간에서도 $C\ge0$ $C\ge0$이면 전 구간 조건을 만족한다.
따라서 가장 작은 $C$ $C$는 $0$ $0$이고 $g\left(\frac14\right)=1-\frac14=\frac34$ $g\left(\frac14\right)=1-\frac14=\frac34$이다.

$k=\frac32$ $k=\frac32$는 $k>\frac12$ $k>\frac12$에 속한다.
오른쪽 구간에서는 $C\ge2$ $C\ge2$가 나오고, 왼쪽 구간에서는

C\ge2e^{\frac32-\frac12}-2=2e-2

가 나온다.
$e>2$ $e>2$이므로 $2e-2>2$ $2e-2>2$이고, 가장 작은 $C$ $C$는 $2e-2$ $2e-2$이다.
따라서 $g\left(\frac32\right)=1-\frac32+(2e-2)=2e-\frac52$ $g\left(\frac32\right)=1-\frac32+(2e-2)=2e-\frac52$이다.

최종값 정리하기

두 값을 더하면

g\left(\frac14\right)+g\left(\frac32\right) =\frac34+\left(2e-\frac52\right) =2e-\frac74

이다.
문제에서 이 값을 $pe+q$ $pe+q$라고 했으므로 $p=2$ $p=2$, $q=-\frac74$ $q=-\frac74$이다.

따라서 $100(p+q)=100\left(2-\frac74\right)=25$ $100(p+q)=100\left(2-\frac74\right)=25$이고, 정답은 $\boxed{25}$ $\boxed{25}$이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

처음 걸리는 부분은 $F$ $F$가 여러 개라는 점이다.
하지만 $F'(x)$ $F'(x)$가 정해져 있으므로 여러 $F$ $F$는 같은 모양의 그래프를 위아래로 옮긴 모습으로 묶인다.
그래서 $F(0)$ $F(0)$를 찾는 일은 세로 이동 상수 $C$ $C$의 최솟값을 찾는 일과 맞물린다.

다음으로 걸리는 부분은 전 구간 부등식이다.
$F(x)\ge f(x)$ $F(x)\ge f(x)$를 차이 함수 $h(x)=F(x)-f(x)$ $h(x)=F(x)-f(x)$의 비음 조건으로 바꾸면, 각 구간에서 $h$ $h$가 낮아지는 지점만 추적하면 된다.
절댓값이 있는 함수에서는 기준점 $0$ $0$을 먼저 나누고, 임계점이 실제 구간 안에 들어오는지 확인하는 판단이 특히 중요하다.

문항코드: 250930c