문제
2024학년도 대학수학능력시험 수학 미적분 29번 문제 조건 문제 텍스트 주관식 첫째항과 공비가 각각 0 0 0 \(0\) 이 아닌 두 등비수열 { a n } , { b n } \{a_n\}, \{b_n\} { a n } , { b n } \(\{a_n\}, \{b_n\}\) 에 대하여 두 급수 ∑ n = 1 ∞ a n \sum_{n=1}^{\infty}a_n ∑ n = 1 ∞ a n \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) , ∑ n = 1 ∞ b n \sum_{n=1}^{\infty}b_n ∑ n = 1 ∞ b n \(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\) 이 각각 수렴하고,
∑ n = 1 ∞ a n b n = ( ∑ n = 1 ∞ a n ) ( ∑ n = 1 ∞ b n ) \sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n=
\left(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\right)
\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\right) n = 1 ∑ ∞ a n b n = ( n = 1 ∑ ∞ a n ) ( n = 1 ∑ ∞ b n ) \[\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n=
\left(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\right)
\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\right)\] 3 ∑ n = 1 ∞ ∣ a 2 n ∣ = 7 ∑ n = 1 ∞ ∣ a 3 n ∣ 3\sum_{n=1}^{\infty}|a_{2n}|
=
7\sum_{n=1}^{\infty}|a_{3n}| 3 n = 1 ∑ ∞ ∣ a 2 n ∣ = 7 n = 1 ∑ ∞ ∣ a 3 n ∣ \[3\sum_{n=1}^{\infty}|a_{2n}|
=
7\sum_{n=1}^{\infty}|a_{3n}|\] 이 성립한다. ∑ n = 1 ∞ b 2 n − 1 + b 3 n + 1 b n = S \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_{2n-1}+b_{3n+1}}{b_n}=S n = 1 ∑ ∞ b n b 2 n − 1 + b 3 n + 1 = S \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_{2n-1}+b_{3n+1}}{b_n}=S\) 일 때, 120 S 120S 120 S \(120S\) 의 값을 구하시오. [4점]
정답
162
풀이
등비수열은 첫째항과 공비를 먼저 적어 보자
등비수열 두 개가 나오고, 조건도 모두 무한급수로 주어져 있다.
a n = A r n − 1 , b n = B q n − 1 a_n=A r^{n-1},\qquad b_n=B q^{n-1} a n = A r n − 1 , b n = B q n − 1 \[a_n=A r^{n-1},\qquad b_n=B q^{n-1}\] 라고 두자.0 0 0 \(0\) 이 아니므로 A , B , r , q ≠ 0 A,B,r,q\ne0 A , B , r , q = 0 \(A,B,r,q\ne0\) 이다.∑ a n \sum a_n ∑ a n \(\sum a_n\) , ∑ b n \sum b_n ∑ b n \(\sum b_n\) 이 각각 수렴하므로 ∣ r ∣ < 1 |r|<1 ∣ r ∣ < 1 \(|r|<1\) , ∣ q ∣ < 1 |q|<1 ∣ q ∣ < 1 \(|q|<1\) 이다.
계산에 들어가기 전에 두 조건의 역할을 나누어 보면 좋다.a n a_n a n \(a_n\) 과 b n b_n b n \(b_n\) 이 함께 들어 있으므로 r , q r,q r , q \(r,q\) 사이의 관계를 만든다.a n a_n a n \(a_n\) 만 들어 있으므로 r r r \(r\) 의 크기를 먼저 정한다.r , q r,q r , q \(r,q\) 의 관계식을 뽑고, 그 다음 ∣ r ∣ |r| ∣ r ∣ \(|r|\) 을 정한 뒤 부호를 확인하면 된다.
두 급수의 곱 조건에서 공비 관계를 뽑아보자
첫 번째 조건은 등비급수의 합을 각각 적으면 공비의 식으로 바뀐다.∣ r ∣ < 1 |r|<1 ∣ r ∣ < 1 \(|r|<1\) , ∣ q ∣ < 1 |q|<1 ∣ q ∣ < 1 \(|q|<1\) 이므로 ∣ r q ∣ < 1 |rq|<1 ∣ r q ∣ < 1 \(|rq|<1\) 이고,
∑ n = 1 ∞ a n b n = A B ∑ n = 1 ∞ ( r q ) n − 1 = A B 1 − r q \sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n
=AB\sum_{n=1}^{\infty}(rq)^{n-1}
=\frac{AB}{1-rq} n = 1 ∑ ∞ a n b n = A B n = 1 ∑ ∞ ( r q ) n − 1 = 1 − r q A B \[\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n
=AB\sum_{n=1}^{\infty}(rq)^{n-1}
=\frac{AB}{1-rq}\] 이다.
( ∑ n = 1 ∞ a n ) ( ∑ n = 1 ∞ b n ) = A 1 − r ⋅ B 1 − q \left(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\right)\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\right)
=\frac{A}{1-r}\cdot\frac{B}{1-q} ( n = 1 ∑ ∞ a n ) ( n = 1 ∑ ∞ b n ) = 1 − r A ⋅ 1 − q B \[\left(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\right)\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\right)
=\frac{A}{1-r}\cdot\frac{B}{1-q}\] 이다.A B ≠ 0 AB\ne0 A B = 0 \(AB\ne0\) 이므로 첫 번째 조건은
1 1 − r q = 1 ( 1 − r ) ( 1 − q ) \frac{1}{1-rq}=\frac{1}{(1-r)(1-q)} 1 − r q 1 = ( 1 − r ) ( 1 − q ) 1 \[\frac{1}{1-rq}=\frac{1}{(1-r)(1-q)}\] 가 된다.0 0 0 \(0\) 이 아니므로 정리할 수 있고,
( 1 − r ) ( 1 − q ) = 1 − r q , r + q = 2 r q (1-r)(1-q)=1-rq,\qquad r+q=2rq ( 1 − r ) ( 1 − q ) = 1 − r q , r + q = 2 r q \[(1-r)(1-q)=1-rq,\qquad r+q=2rq\] 를 얻는다.
이 식은 나중에 q q q \(q\) 를 구하는 식이기도 하지만, 먼저 r r r \(r\) 의 후보를 걸러 주는 식이기도 하다.r = 1 2 r=\frac12 r = 2 1 \(r=\frac12\) 이면 1 2 + q = q \frac12+q=q 2 1 + q = q \(\frac12+q=q\) 가 되어 불가능하므로, r = 1 2 r=\frac12 r = 2 1 \(r=\frac12\) 가 후보로 나오면 제외해야 한다.
절댓값 조건에서는 ∣ r ∣ |r| ∣ r ∣ \(|r|\) 로 크기를 먼저 잡아보자
두 번째 조건은 a n a_n a n \(a_n\) 만 포함한다.A A A \(A\) 의 부호와 r r r \(r\) 의 부호는 항의 크기 계산에서 사라진다.k k k \(k\) 에 대해
∣ a k ∣ = ∣ A r k − 1 ∣ = ∣ A ∣ ∣ r ∣ k − 1 |a_k|=|A r^{k-1}|=|A||r|^{k-1} ∣ a k ∣ = ∣ A r k − 1 ∣ = ∣ A ∣∣ r ∣ k − 1 \[|a_k|=|A r^{k-1}|=|A||r|^{k-1}\] 이다.A A A \(A\) 가 양수인지 음수인지, r r r \(r\) 이 양수인지 음수인지 나누어 보아도 절댓값을 씌운 항은 같은 크기 식으로 모인다.
x = ∣ r ∣ x=|r| x = ∣ r ∣ \[x=|r|\] 라고 두어 한 번에 계산한다.0 < x < 1 0<x<1 0 < x < 1 \(0<x<1\) 이다.
이제 2 n 2n 2 n \(2n\) 번째 항과 3 n 3n 3 n \(3n\) 번째 항의 크기를 적으면
∣ a 2 n ∣ = ∣ A ∣ x 2 n − 1 , ∣ a 3 n ∣ = ∣ A ∣ x 3 n − 1 |a_{2n}|=|A|x^{2n-1},\qquad |a_{3n}|=|A|x^{3n-1} ∣ a 2 n ∣ = ∣ A ∣ x 2 n − 1 , ∣ a 3 n ∣ = ∣ A ∣ x 3 n − 1 \[|a_{2n}|=|A|x^{2n-1},\qquad |a_{3n}|=|A|x^{3n-1}\] 이다.
∑ n = 1 ∞ ∣ a 2 n ∣ = ∣ A ∣ ( x + x 3 + x 5 + ⋯ ) = ∣ A ∣ x 1 − x 2 \sum_{n=1}^{\infty}|a_{2n}|
=|A|(x+x^3+x^5+\cdots)
=\frac{|A|x}{1-x^2} n = 1 ∑ ∞ ∣ a 2 n ∣ = ∣ A ∣ ( x + x 3 + x 5 + ⋯ ) = 1 − x 2 ∣ A ∣ x \[\sum_{n=1}^{\infty}|a_{2n}|
=|A|(x+x^3+x^5+\cdots)
=\frac{|A|x}{1-x^2}\] 이고
∑ n = 1 ∞ ∣ a 3 n ∣ = ∣ A ∣ ( x 2 + x 5 + x 8 + ⋯ ) = ∣ A ∣ x 2 1 − x 3 \sum_{n=1}^{\infty}|a_{3n}|
=|A|(x^2+x^5+x^8+\cdots)
=\frac{|A|x^2}{1-x^3} n = 1 ∑ ∞ ∣ a 3 n ∣ = ∣ A ∣ ( x 2 + x 5 + x 8 + ⋯ ) = 1 − x 3 ∣ A ∣ x 2 \[\sum_{n=1}^{\infty}|a_{3n}|
=|A|(x^2+x^5+x^8+\cdots)
=\frac{|A|x^2}{1-x^3}\] 이다.3 ∑ ∣ a 2 n ∣ = 7 ∑ ∣ a 3 n ∣ 3\sum |a_{2n}|=7\sum |a_{3n}| 3 ∑ ∣ a 2 n ∣ = 7 ∑ ∣ a 3 n ∣ \(3\sum |a_{2n}|=7\sum |a_{3n}|\) 에 대입하면
3 ⋅ ∣ A ∣ x 1 − x 2 = 7 ⋅ ∣ A ∣ x 2 1 − x 3 3\cdot\frac{|A|x}{1-x^2}
=7\cdot\frac{|A|x^2}{1-x^3} 3 ⋅ 1 − x 2 ∣ A ∣ x = 7 ⋅ 1 − x 3 ∣ A ∣ x 2 \[3\cdot\frac{|A|x}{1-x^2}
=7\cdot\frac{|A|x^2}{1-x^3}\] 이다.∣ A ∣ x ≠ 0 |A|x\ne0 ∣ A ∣ x = 0 \(|A|x\ne0\) 이므로
3 1 − x 2 = 7 x 1 − x 3 \frac{3}{1-x^2}=\frac{7x}{1-x^3} 1 − x 2 3 = 1 − x 3 7 x \[\frac{3}{1-x^2}=\frac{7x}{1-x^3}\] 이고,
3 ( 1 − x 3 ) = 7 x ( 1 − x 2 ) 3(1-x^3)=7x(1-x^2) 3 ( 1 − x 3 ) = 7 x ( 1 − x 2 ) \[3(1-x^3)=7x(1-x^2)\] 이다.
4 x 3 − 7 x + 3 = 0 4x^3-7x+3=0 4 x 3 − 7 x + 3 = 0 \[4x^3-7x+3=0\] 이고,
4 x 3 − 7 x + 3 = ( x − 1 ) ( 2 x − 1 ) ( 2 x + 3 ) 4x^3-7x+3=(x-1)(2x-1)(2x+3) 4 x 3 − 7 x + 3 = ( x − 1 ) ( 2 x − 1 ) ( 2 x + 3 ) \[4x^3-7x+3=(x-1)(2x-1)(2x+3)\] 이다.0 < x < 1 0<x<1 0 < x < 1 \(0<x<1\) 이므로 가능한 값은 x = 1 2 x=\frac12 x = 2 1 \(x=\frac12\) 뿐이다.
∣ r ∣ = 1 2 |r|=\frac12 ∣ r ∣ = 2 1 \[|r|=\frac12\] 이다.
∣ r ∣ |r| ∣ r ∣ \(|r|\) 에서 r r r \(r\) 로 돌아와 부호를 확인해보자∣ r ∣ = 1 2 |r|=\frac12 ∣ r ∣ = 2 1 \(|r|=\frac12\) 이므로 r r r \(r\) 은 두 후보를 가진다.
r = 1 2 또는 r = − 1 2 r=\frac12\quad \text{또는}\quad r=-\frac12 r = 2 1 또는 r = − 2 1 \[r=\frac12\quad \text{또는}\quad r=-\frac12\] 이제 앞에서 얻은 관계식 r + q = 2 r q r+q=2rq r + q = 2 r q \(r+q=2rq\) 에 넣어 보아야 실제로 가능한 공비가 정해진다.r = 1 2 r=\frac12 r = 2 1 \(r=\frac12\) 이면 1 2 + q = q \frac12+q=q 2 1 + q = q \(\frac12+q=q\) 가 되어 모순이다.
r = − 1 2 r=-\frac12 r = − 2 1 \[r=-\frac12\] 이다.
− 1 2 + q = 2 ( − 1 2 ) q = − q -\frac12+q=2\left(-\frac12\right)q=-q − 2 1 + q = 2 ( − 2 1 ) q = − q \[-\frac12+q=2\left(-\frac12\right)q=-q\] 이므로 2 q = 1 2 2q=\frac12 2 q = 2 1 \(2q=\frac12\) , 즉
q = 1 4 q=\frac14 q = 4 1 \[q=\frac14\] 이다.∣ q ∣ < 1 |q|<1 ∣ q ∣ < 1 \(|q|<1\) 도 만족한다.
마지막 합은 첨자와 지수 차이를 맞춰보자
이제 S S S \(S\) 는 b n b_n b n \(b_n\) 의 공비 q = 1 4 q=\frac14 q = 4 1 \(q=\frac14\) 만 알면 계산된다.b k = B q k − 1 b_k=Bq^{k-1} b k = B q k − 1 \(b_k=Bq^{k-1}\) 이므로 b 2 n − 1 b_{2n-1} b 2 n − 1 \(b_{2n-1}\) 의 지수는 2 n − 2 2n-2 2 n − 2 \(2n-2\) , b 3 n + 1 b_{3n+1} b 3 n + 1 \(b_{3n+1}\) 의 지수는 3 n 3n 3 n \(3n\) 이다.
b 2 n − 1 b n = B q 2 n − 2 B q n − 1 = q n − 1 \frac{b_{2n-1}}{b_n}
=\frac{Bq^{2n-2}}{Bq^{n-1}}
=q^{n-1} b n b 2 n − 1 = B q n − 1 B q 2 n − 2 = q n − 1 \[\frac{b_{2n-1}}{b_n}
=\frac{Bq^{2n-2}}{Bq^{n-1}}
=q^{n-1}\] 이고
b 3 n + 1 b n = B q 3 n B q n − 1 = q 2 n + 1 \frac{b_{3n+1}}{b_n}
=\frac{Bq^{3n}}{Bq^{n-1}}
=q^{2n+1} b n b 3 n + 1 = B q n − 1 B q 3 n = q 2 n + 1 \[\frac{b_{3n+1}}{b_n}
=\frac{Bq^{3n}}{Bq^{n-1}}
=q^{2n+1}\] 이다.
S = ∑ n = 1 ∞ ( q n − 1 + q 2 n + 1 ) S=\sum_{n=1}^{\infty}\left(q^{n-1}+q^{2n+1}\right) S = n = 1 ∑ ∞ ( q n − 1 + q 2 n + 1 ) \[S=\sum_{n=1}^{\infty}\left(q^{n-1}+q^{2n+1}\right)\] 이고, 두 합은 각각 첫째항이 1 1 1 \(1\) , q 3 q^3 q 3 \(q^3\) 이고 공비가 q q q \(q\) , q 2 q^2 q 2 \(q^2\) 인 등비급수이다.
S = 1 1 − q + q 3 1 − q 2 S=\frac{1}{1-q}+\frac{q^3}{1-q^2} S = 1 − q 1 + 1 − q 2 q 3 \[S=\frac{1}{1-q}+\frac{q^3}{1-q^2}\] 이다.q = 1 4 q=\frac14 q = 4 1 \(q=\frac14\) 를 대입하면
S = 1 1 − 1 4 + ( 1 4 ) 3 1 − ( 1 4 ) 2 = 4 3 + 1 60 = 27 20 S=\frac{1}{1-\frac14}
+\frac{\left(\frac14\right)^3}{1-\left(\frac14\right)^2}
=\frac43+\frac1{60}
=\frac{27}{20} S = 1 − 4 1 1 + 1 − ( 4 1 ) 2 ( 4 1 ) 3 = 3 4 + 60 1 = 20 27 \[S=\frac{1}{1-\frac14}
+\frac{\left(\frac14\right)^3}{1-\left(\frac14\right)^2}
=\frac43+\frac1{60}
=\frac{27}{20}\] 이다.
120 S = 120 ⋅ 27 20 = 162 120S=120\cdot\frac{27}{20}=162 120 S = 120 ⋅ 20 27 = 162 \[120S=120\cdot\frac{27}{20}=162\] 이다.
이 문항에서 어려웠던 지점
이 문항에서 등비급수 합 공식은 출발 도구이고, 실제 갈림길은 조건의 역할 분담에서 생긴다.a n , b n a_n,b_n a n , b n \(a_n,b_n\) 이 함께 들어 있는 조건은 r , q r,q r , q \(r,q\) 의 관계를 만들고, a n a_n a n \(a_n\) 만 들어 있는 절댓값 조건은 ∣ r ∣ |r| ∣ r ∣ \(|r|\) 을 정한다.x = ∣ r ∣ x=|r| x = ∣ r ∣ \(x=|r|\) 로 크기만 먼저 잡으면 부호 경우를 길게 벌리지 않고도 계산이 짧아진다.r = 1 2 r=\frac12 r = 2 1 \(r=\frac12\) 와 r = − 1 2 r=-\frac12 r = − 2 1 \(r=-\frac12\) 를 첫 번째 관계식에 다시 넣어 실제 가능한 부호를 거르면 된다.
문항코드: 241129c
