확률변수 X는 정규분포 N(1,t²)을 따른다 t는 양수이고 P(X≤5t)≥1/2를 만족한다 구하려는 값은 P(t²−t+1≤X≤t²+t+1)의 최댓값 k이다 표준정규분포표는 P(0≤Z≤z) 값을 z=0.6, 0.8, 1.0, 1.2, 1.4에서 제공한다 최종적으로 1000k를 구한다

2024학년도 수능 수학 확률과 통계 30번 풀이 | 정규분포 표준화와 구간 최댓값 [241130p]

문제

문제 텍스트 주관식

양수 $t$ $t$에 대하여 확률변수 $X$ $X$가 정규분포 $N(1,t^2)$ $N(1,t^2)$을 따른다.

P(X\le 5t)\ge \frac12

이 되도록 하는 모든 양수 $t$ $t$에 대하여

P(t^2-t+1\le X\le t^2+t+1)

의 최댓값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 값을 $k$ $k$라 하자. $1000\times k$ $1000\times k$의 값을 구하시오. [4점]

$z$ $z$	$P(0\le Z\le z)$ $P(0\le Z\le z)$
0.6	0.226
0.8	0.288
1.0	0.341
1.2	0.385
1.4	0.419

정답

673

풀이

두 확률을 먼저 같은 표준정규분포 위에 올려보자

정규분포 문항에서 평균과 표준편차가 함께 주어졌다면, 두 확률을 같은 표준정규분포 위의 구간으로 모아 보는 것이 첫 손동작이다.
여기서는 $X$ $X$가 $N(1,t^2)$ $N(1,t^2)$을 따르므로 평균은 $1$ $1$, 표준편차는 $t$ $t$이다.

따라서 $Z=\dfrac{X-1}{t}$ $Z=\dfrac{X-1}{t}$로 두면 $Z$ $Z$는 표준정규분포를 따른다.

먼저 조건 $P(X\le 5t)\ge \dfrac12$ $P(X\le 5t)\ge \dfrac12$가 $t$ $t$에 어떤 제한을 주는지 본다.
정규분포는 평균을 기준으로 좌우가 대칭이므로, 평균보다 왼쪽에 있을 확률이 $\dfrac12$ $\dfrac12$이다.
그래서 $P(X\le 5t)$ $P(X\le 5t)$가 $\dfrac12$ $\dfrac12$ 이상이 되려면 경계값 $5t$ $5t$가 평균 $1$ $1$ 이상이어야 한다.

표준화해서 쓰면 같은 판단이

P(X\le 5t) =P\left(Z\le \frac{5t-1}{t}\right) =P\left(Z\le 5-\frac1t\right)

로 나타난다.
표준정규분포에서 $P(Z\le 0)=\dfrac12$ $P(Z\le 0)=\dfrac12$이므로, 위 확률이 $\dfrac12$ $\dfrac12$ 이상이 되려면 기준값이 $0$ $0$ 이상이어야 한다.
따라서 $5-\dfrac1t\ge 0$ $5-\dfrac1t\ge 0$이다.
$t>0$ $t>0$이므로 부등호 방향은 그대로이고, $t\ge \dfrac15$ $t\ge \dfrac15$를 얻는다.

여기까지가 첫 번째 확률이 해 주는 일이다.
이 조건은 가능한 $t$ $t$의 범위를 $t\ge \dfrac15$ $t\ge \dfrac15$로 제한한다.

구하려는 확률도 표준정규분포의 구간으로 바꿔보자

이제 최댓값을 구해야 하는 확률을 같은 $Z$ $Z$로 바꾼다.
평균 $1$ $1$을 빼고 표준편차 $t$ $t$로 나누면

\begin{aligned} P(t^2-t+1\le X\le t^2+t+1) &=P\left(\frac{t^2-t+1-1}{t}\le Z\le \frac{t^2+t+1-1}{t}\right)\\ &=P(t-1\le Z\le t+1) \end{aligned}

이다.

이 식이 이 문제의 모양을 단순하게 만든다.
$t$ $t$가 바뀌어도 구간의 길이는 $(t+1)-(t-1)=2$ $(t+1)-(t-1)=2$로 항상 같다.
바뀌는 것은 구간의 중심뿐이다.
구간 $[t-1,t+1]$ $[t-1,t+1]$의 중심은 $\dfrac{(t-1)+(t+1)}2=t$ $\dfrac{(t-1)+(t+1)}2=t$이다.

따라서 문제는 이렇게 바뀐다.

$t\ge \dfrac15$ $t\ge \dfrac15$인 범위에서, 길이가 $2$ $2$인 구간 $[t-1,t+1]$ $[t-1,t+1]$을 표준정규분포 곡선 위에 놓을 때 확률이 가장 커지는 $t$ $t$를 찾는 문제이다.

아래 그래프에서 파란 음영은 $t=\dfrac15$ $t=\dfrac15$일 때의 구간 $[-0.8,1.2]$ $[-0.8,1.2]$이고, 파란 점선 $t=0.2$ $t=0.2$는 회색 점선 $0$ $0$ 바로 오른쪽에 서 있다.

표준정규분포에서 파란 음영 구간 [-0.8,1.2]과 중심선 t=0.2를 표시한 그래프 — $[-0.8,1.2]$ $[-0.8,1.2]$은 길이가 $2$ $2$인 가장 왼쪽 허용 구간이고, 중심 $t=0.2$ $t=0.2$가 $0$ $0$에 가장 가깝다.

길이가 같은 구간은 0에 가까울수록 확률이 크다

여기서 한 번 멈추어야 한다.
$t=\dfrac15$ $t=\dfrac15$를 넣으면 표에 있는 $0.8$ $0.8$, $1.2$ $1.2$가 바로 나오지만, 표에 맞는다는 이유만으로 최댓값이라고 할 수는 없다.
왜 가능한 가장 작은 $t$ $t$를 골라야 하는지 확인해야 한다.

표준정규분포 곡선은 $0$ $0$을 중심으로 가장 높고, $0$ $0$에서 멀어질수록 낮아진다.
구간 $[t-1,t+1]$ $[t-1,t+1]$은 길이 $2$ $2$인 창이고, 그 창의 중심이 $t$ $t$이다.

이 창을 오른쪽으로 아주 조금 움직인다고 생각해 보자.
같은 폭만큼 움직일 때 빠지는 조각과 새로 들어오는 조각의 폭은 같으므로, 비교해야 할 것은 두 조각이 놓인 위치의 높이뿐이다.
아래 비교 그림에서 왼쪽 빨간 음영 $[-0.8,-0.6]$ $[-0.8,-0.6]$은 빠지는 조각이고, 오른쪽 파란 음영 $[1.2,1.4]$ $[1.2,1.4]$은 새로 들어오는 조각이다.

표준정규분포에서 오른쪽 이동 시 빨간 빠지는 조각과 파란 유입 조각을 비교한 그래프 — 같은 폭으로 비교하면 빨간 조각은 더 높은 곳에서 빠지고, 파란 조각은 더 낮은 곳에서 들어온다.

그러면 왼쪽 끝 근처의 부분은 빠지고, 오른쪽 끝 근처의 부분이 새로 들어온다.
중심이 $t>0$ $t>0$일 때 왼쪽 끝 $t-1$ $t-1$은 오른쪽 끝 $t+1$ $t+1$보다 항상 $0$ $0$에 더 가깝다.
실제로

|t-1|<|t+1|\qquad (t>0)

이다.

표준정규분포 곡선은 $0$ $0$에 가까운 곳일수록 높다.
따라서 창을 오른쪽으로 밀면, 빠져나가는 쪽은 더 높은 부분이고 새로 들어오는 쪽은 더 낮은 부분이다.
그러므로 $t>0$ $t>0$인 범위에서는 창을 오른쪽으로 밀수록 $P(t-1\le Z\le t+1)$ $P(t-1\le Z\le t+1)$이 작아진다.

이제 조건 $t\ge \dfrac15$ $t\ge \dfrac15$와 맞물린다.
가능한 $t$ $t$는 모두 양수이고, 그중 가장 작은 값이 $\dfrac15$ $\dfrac15$이다.
확률은 $t$ $t$가 커질수록 작아지므로 최댓값은 $t=\dfrac15$ $t=\dfrac15$일 때 나온다.

표에 있는 값으로 마지막 확률을 계산하자

$t=\dfrac15$ $t=\dfrac15$를 대입하면 구간은 $\left[\dfrac15-1,\dfrac15+1\right]=[-0.8,1.2]$ $\left[\dfrac15-1,\dfrac15+1\right]=[-0.8,1.2]$이다.
따라서 최댓값 $k$ $k$는 $k=P(-0.8\le Z\le 1.2)$ $k=P(-0.8\le Z\le 1.2)$이다.

문제의 표는 $P(0\le Z\le z)$ $P(0\le Z\le z)$ 형태로 주어져 있다.
표준정규분포는 $0$ $0$을 기준으로 대칭이므로

\begin{aligned} P(-0.8\le Z\le 1.2) &=P(-0.8\le Z\le 0)+P(0\le Z\le 1.2)\\ &=P(0\le Z\le 0.8)+P(0\le Z\le 1.2) \end{aligned}

이다.

표에서 $P(0\le Z\le 0.8)=0.288$ $P(0\le Z\le 0.8)=0.288$, $P(0\le Z\le 1.2)=0.385$ $P(0\le Z\le 1.2)=0.385$이므로 $k=0.288+0.385=0.673$ $k=0.288+0.385=0.673$이다.
따라서 $1000k=673$ $1000k=673$이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

계산 자체는 표준화 한 번으로 짧게 끝난다.
어려운 부분은 $P(t-1\le Z\le t+1)$ $P(t-1\le Z\le t+1)$을 보고, 이것을 길이 $2$ $2$인 구간이 표준정규분포 곡선 위에서 움직이는 장면으로 읽는 것이다.

조건 $P(X\le 5t)\ge \dfrac12$ $P(X\le 5t)\ge \dfrac12$는 $t\ge \dfrac15$ $t\ge \dfrac15$라는 하한을 만든다.
그 다음 목표 확률은 중심이 $t$ $t$인 길이 $2$ $2$의 구간 확률이 된다.
표준정규분포에서는 $0$ $0$에 가까운 곳의 밀도가 더 크므로, 양수 중심을 가진 구간은 오른쪽으로 갈수록 확률이 작아진다.
그래서 가능한 가장 작은 $t=\dfrac15$ $t=\dfrac15$가 최댓값을 주는 것이다.