카드 1은 흰 공 1개를 상자 B에 넣는다 카드 2 또는 3은 흰 공 1개와 검은 공 1개를 상자 B에 넣는다 카드 4는 흰 공 2개와 검은 공 1개를 상자 B에 넣는다 시행을 4번 반복한 뒤 상자 B의 전체 공 수가 8개인 상황을 조건으로 둔다 구하는 값은 그 조건 아래에서 검은 공 수가 2개일 확률이다

2024학년도 수능 수학 확률과 통계 28번 풀이 | 카드 효과 묶기와 조건부확률 [241128p]

문제

문제 텍스트 객관식

하나의 주머니와 두 상자 A, B가 있다. 주머니에는 숫자 $1,2,3,4$ $1,2,3,4$가 하나씩 적힌 4장의 카드가 들어 있고, 상자 A에는 흰 공과 검은 공이 각각 8개 이상 들어 있고, 상자 B는 비어 있다. 이 주머니와 두 상자 A, B를 사용하여 다음 시행을 한다.

주머니에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내어 카드에 적힌 수를 확인한 후 다시 주머니에 넣는다.

확인한 수가 1이면 상자 A에 있는 흰 공 1개를 상자 B에 넣고, 확인한 수가 2 또는 3이면 상자 A에 있는 흰 공 1개와 검은 공 1개를 상자 B에 넣고, 확인한 수가 4이면 상자 A에 있는 흰 공 2개와 검은 공 1개를 상자 B에 넣는다.

이 시행을 4번 반복한 후 상자 B에 들어 있는 공의 개수가 8일 때, 상자 B에 들어 있는 검은 공의 개수가 2일 확률은? [4점]

① $\dfrac{3}{70}$ $\dfrac{3}{70}$
② $\dfrac{2}{35}$ $\dfrac{2}{35}$
③ $\dfrac{1}{14}$ $\dfrac{1}{14}$
④ $\dfrac{3}{35}$ $\dfrac{3}{35}$
⑤ $\dfrac{1}{10}$ $\dfrac{1}{10}$

정답

④

풀이

한 번 시행에서 들어가는 공의 수를 표로 적어보자

이 문제는 네 번의 시행을 모두 나열하기 전에, 한 번 시행이 상자 B에 어떤 흔적을 남기는지부터 보면 정리된다.
문제에서 묻는 것은 “전체 공 수가 8개가 된 상황” 안에서 “검은 공이 2개인 상황”의 비율이다.
따라서 카드의 숫자 자체보다, 그 카드가 만드는 전체 공 수와 검은 공 수가 더 중요하다.

아래 그림에서는 카드 2와 3이 파란 묶음으로 표시되어 있고, 세 열 아래의 $T,K$ $T,K$ 값이 카드별 전체 공 수와 검은 공 수를 보여 준다.
특히 가운데 열은 $T=2, K=1$ $T=2, K=1$로 같으므로 같은 횟수 기호 $c$ $c$로 셀 수 있다.

카드 1, 카드 2와 3 묶음, 카드 4의 전체 공 수와 검은 공 수 효과를 대응시킨 그림 — 카드 $2$ $2$와 카드 $3$ $3$은 효과가 같으므로 계산 중에는 하나의 묶음으로 둔다.

한 번 시행의 결과를 표로 쓰면 다음과 같다.

\begin{array}{c|c|c|c} \text{카드} & 1 & 2\text{ 또는 }3 & 4 \\ \hline \text{전체 공 수} & 1 & 2 & 3 \\ \text{검은 공 수} & 0 & 1 & 1 \\ \text{카드 선택 수} & 1 & 2 & 1 \end{array}

여기서 카드 $2$ $2$와 카드 $3$ $3$은 상자 B에 넣는 공의 구성이 같다.
둘 다 흰 공 $1$ $1$개와 검은 공 $1$ $1$개를 넣으므로, 전체 공 수와 검은 공 수를 따질 때는 같은 종류로 묶어도 된다.
다만 실제 카드열을 셀 때는 카드 $2$ $2$와 카드 $3$ $3$ 중 무엇이 나왔는지를 다시 세어야 하므로, 나중에 그 선택 수를 곱해 주어야 한다.

카드 2와 3을 한 묶음으로 두고 횟수 식을 세워보자

카드 $1$ $1$이 나온 횟수를 $a$ $a$, 카드 $2$ $2$ 또는 $3$ $3$이 나온 횟수를 $c$ $c$, 카드 $4$ $4$가 나온 횟수를 $d$ $d$라 하자.
시행은 모두 네 번이므로 먼저 $a+c+d=4$ $a+c+d=4$이다.
이제 전체 공 수가 $8$ $8$개라는 조건을 같은 문자로 바꾼다.
카드 $1$ $1$은 전체 공을 $1$ $1$개, 카드 $2$ $2$ 또는 $3$ $3$은 $2$ $2$개, 카드 $4$ $4$는 $3$ $3$개 넣으므로 $a+2c+3d=8$ $a+2c+3d=8$이다.

두 식을 빼면 $c+2d=4$ $c+2d=4$가 남는다.
이 식은 “기본적으로 네 번의 시행에서 공이 한 개씩은 들어가는데, 카드 $2,3$ $2,3$은 한 개를 더 넣고 카드 $4$ $4$는 두 개를 더 넣는다”는 뜻으로도 볼 수 있다.
전체가 $8$ $8$개가 되려면 추가로 들어간 공의 수가 $4$ $4$개여야 하므로 $c+2d=4$ $c+2d=4$가 되는 것이다.

이제 $d$ $d$는 카드 $4$ $4$가 나온 횟수이므로 $0,1,2$ $0,1,2$까지만 확인하면 된다.
$d=3$ $d=3$이면 $c+2d\ge 6$ $c+2d\ge 6$이 되어 이미 $4$ $4$를 넘는다.
각 $d$ $d$에 대해 $c$ $c$가 정해지고, 마지막으로 $a=4-c-d$ $a=4-c-d$가 정해진다.

\begin{array}{c|c|c|c} d & c & a & \text{전체 공 수의 모양} \\ \hline 0 & 4 & 0 & 2+2+2+2 \\ 1 & 2 & 1 & 3+2+2+1 \\ 2 & 0 & 2 & 3+3+1+1 \end{array}

따라서 전체 공 수가 $8$ $8$개가 되는 구조는 위 세 가지뿐이다.
총합을 직접 나열하면 $8=2+2+2+2$ $8=2+2+2+2$, $8=3+2+2+1$ $8=3+2+2+1$, $8=3+3+1+1$ $8=3+3+1+1$로 보는 것과 같은 내용이다.
식으로 먼저 좁혀 두면 세 경우를 빠뜨리거나 같은 경우를 순서만 바꾸어 다시 세는 일을 줄일 수 있다.

묶어 둔 카드 선택 수까지 포함해 경우를 세어보자

이제 각 구조가 실제 카드열로 몇 가지인지 센다.
네 번의 시행은 순서가 있으므로, 먼저 $a,c,d$ $a,c,d$의 자리 배치를 세고, 그다음 $c$ $c$개의 자리마다 카드 $2$ $2$와 카드 $3$ $3$ 중 하나를 고르는 선택 수를 곱한다.
검은 공 수는 카드 $2$ $2$ 또는 $3$ $3$이 나온 횟수와 카드 $4$ $4$가 나온 횟수를 더한 $c+d$ $c+d$이다.

첫째, $(d,c,a)=(0,4,0)$ $(d,c,a)=(0,4,0)$이면 네 자리 모두 카드 $2$ $2$ 또는 $3$ $3$이다.
자리 배치는 이미 정해져 있고, 네 자리마다 카드 $2,3$ $2,3$ 중 하나를 고를 수 있으므로 경우의 수는 $2^4=16$ $2^4=16$이다.
이때 검은 공 수는 $c+d=4$ $c+d=4$이다.

둘째, $(d,c,a)=(1,2,1)$ $(d,c,a)=(1,2,1)$이면 카드 $4$ $4$가 한 번, 카드 $2$ $2$ 또는 $3$ $3$이 두 번, 카드 $1$ $1$이 한 번 나온다.
먼저 네 자리 중 이 세 종류가 놓일 자리를 정하면 $\dfrac{4!}{1!2!1!}$ $\dfrac{4!}{1!2!1!}$가지이다.
그중 $c=2$ $c=2$개의 자리에서는 카드 $2$ $2$와 카드 $3$ $3$ 중 하나를 각각 고를 수 있으므로 다시 $2^2$ $2^2$를 곱한다.
따라서 경우의 수는 $\dfrac{4!}{1!2!1!}\cdot 2^2=48$ $\dfrac{4!}{1!2!1!}\cdot 2^2=48$이다.
이때 검은 공 수는 $c+d=3$ $c+d=3$이다.

셋째, $(d,c,a)=(2,0,2)$ $(d,c,a)=(2,0,2)$이면 카드 $4$ $4$가 두 번, 카드 $1$ $1$이 두 번 나온다.
카드 $2,3$ $2,3$ 묶음이 없으므로 추가 선택 수는 없고, 자리 배치만 세면 $\dfrac{4!}{2!2!}=6$ $\dfrac{4!}{2!2!}=6$가지이다.
이때 검은 공 수는 $c+d=2$ $c+d=2$이다.

아래 그림의 오른쪽 $N$ $N$ 값 $16,48,6$ $16,48,6$이 전체 공 수가 8인 조건의 분모를 만든다.
그중 빨간 테두리의 $K=2$ $K=2$ 행, 즉 $d=2$ $d=2$인 마지막 줄만 분자에 들어간다.

전체 공 수가 8이 되는 세 경우와 각 경우의 검은 공 수 K, 카드열 수 N을 정리한 표 — 전체 공 수가 $8$ $8$인 세 경우의 카드열 수는 각각 $16,48,6$ $16,48,6$이고, $K=2$ $K=2$인 행만 분자에 들어간다.

정리하면 다음과 같다.

\begin{array}{c|c|c|c|c} d & c & a & \text{검은 공 수 }c+d & \text{카드열 수} \\ \hline 0 & 4 & 0 & 4 & 16 \\ 1 & 2 & 1 & 3 & 48 \\ 2 & 0 & 2 & 2 & 6 \end{array}

조건부확률을 카드열 개수의 비로 계산하자

전체 공 수가 $8$ $8$개인 사건을 $E$ $E$, 검은 공 수가 $2$ $2$개인 사건을 $F$ $F$라 하면 구하는 값은 $P(F\mid E)=\dfrac{P(E\cap F)}{P(E)}$ $P(F\mid E)=\dfrac{P(E\cap F)}{P(E)}$이다.
여기서 확률을 직접 곱해도 되지만, 네 번의 카드 뽑기에서 가능한 카드열은 모두 길이가 같고 각 카드열의 확률도 모두 $\left(\dfrac14\right)^4$ $\left(\dfrac14\right)^4$로 같다.

따라서 $P(E)$ $P(E)$와 $P(E\cap F)$ $P(E\cap F)$를 구할 때 공통 확률 $\left(\dfrac14\right)^4$ $\left(\dfrac14\right)^4$는 분자와 분모에서 함께 약분된다.
결국 전체 공 수가 $8$ $8$개인 카드열 수 중에서, 검은 공 수가 $2$ $2$개인 카드열 수의 비를 구하면 된다.

전체 공 수가 $8$ $8$개인 경우의 수는 $16+48+6=70$ $16+48+6=70$이다.
이 중 검은 공 수가 $2$ $2$개인 경우는 $(d,c,a)=(2,0,2)$ $(d,c,a)=(2,0,2)$인 마지막 줄뿐이므로 $6$ $6$가지이다.
그러므로 구하는 확률은 $\dfrac{6}{70}=\dfrac{3}{35}$ $\dfrac{6}{70}=\dfrac{3}{35}$이다.
따라서 정답은 $\boxed{\dfrac{3}{35}}$ $\boxed{\dfrac{3}{35}}$이다.

발상이 갈리는 부분

이 문항에서 발상이 갈리는 지점은 카드 숫자를 그대로 따라가지 않고, 카드가 만드는 결과를 먼저 보는 것이다.
카드 $2$ $2$와 $3$ $3$은 서로 다른 카드이지만 상자 B에 미치는 효과는 같다.
그래서 계산 중에는 하나로 묶고, 실제 카드열을 셀 때만 $2^c$ $2^c$를 곱해 다시 펼친다.