a,b,c,d는 모두 6 이하의 자연수이다 a≤c≤d이고 b≤c≤d이다 구하는 대상은 조건을 만족하는 순서 있는 네 수 (a,b,c,d)의 개수이다 정답은 주관식 값 196이다

2024학년도 수능 수학 확률과 통계 29번 풀이 | 공통 경계와 순서쌍 세기 [241129p]

문제

문제 텍스트 주관식

다음 조건을 만족시키는 $6$ $6$ 이하의 자연수 $a,b,c,d$ $a,b,c,d$의 모든 순서쌍 $(a,b,c,d)$ $(a,b,c,d)$의 개수를 구하시오. [4점]

a\le c\le d\text{이고 }b\le c\le d\text{이다.}

정답

196

풀이

먼저 끝값을 잡고 무엇이 반복되는지 보자

이 문제를 받으면 $d$ $d$를 하나 정해 놓고 가능한 $c$ $c$를 앞에서부터 세어 볼 수 있다.
예를 들어 $d=4$ $d=4$이면 $c=1,2,3,4$ $c=1,2,3,4$이고, 각각의 $c$ $c$에 대해 $a,b$ $a,b$는 모두 $c$ $c$ 이하의 자연수이다.

따라서 $d=4$ $d=4$일 때는 $c=1,2,3,4$ $c=1,2,3,4$에서 차례로 $1^2,2^2,3^2,4^2$ $1^2,2^2,3^2,4^2$가지가 나온다.
$d=5$ $d=5$로 가면 여기에 $5^2$ $5^2$이 하나 더 붙는다.
이렇게 보면 계산 자체는 바로 되지만, 같은 $c^2$ $c^2$이 여러 줄에서 반복해서 나타난다는 점이 먼저 보인다.

그 반복을 보면 세는 기준을 $c$ $c$ 쪽으로 옮기는 편이 자연스럽다.
$c$ $c$는 $a,b$ $a,b$의 공통 상한이고, 동시에 $d$ $d$의 하한이다.
가운데에 있는 $c$ $c$를 고정하면 나머지 세 변수가 각각 몇 가지인지 한 번에 정리된다.

$c$ $c$를 하나 고정하고 세 변수를 따로 세어 보자

조건을 한 줄씩 떼어 쓰면 다음과 같다.

a\le c,\qquad b\le c,\qquad c\le d

이제 $c$ $c$가 $1$ $1$부터 $6$ $6$까지 중 하나로 정해졌다고 하자.

먼저 $a$ $a$는 $1,2,\ldots,c$ $1,2,\ldots,c$ 중에서 고를 수 있으므로 $c$ $c$가지이다.
$b$ $b$도 똑같이 $1,2,\ldots,c$ $1,2,\ldots,c$ 중에서 고를 수 있으므로 $c$ $c$가지이다.

여기서 한 번 확인할 점은 $a$ $a$와 $b$ $b$ 사이의 관계이다.
문제는 $a\le c$ $a\le c$, $b\le c$ $b\le c$만 요구하고, $a\le b$ $a\le b$나 $b\le a$ $b\le a$를 요구하지 않는다.
그래서 $a$ $a$를 고른 뒤에도 $b$ $b$는 다시 $1$ $1$부터 $c$ $c$까지 자유롭게 고를 수 있다.
즉 $(a,b)$ $(a,b)$는 순서 있는 두 자리로 세어 $c\cdot c=c^2$ $c\cdot c=c^2$가지이다.

남은 $d$ $d$는 $c\le d\le 6$ $c\le d\le 6$을 만족해야 하므로 $c,c+1,\ldots,6$ $c,c+1,\ldots,6$ 중에서 고른다.
그 개수는 $6-c+1=7-c$ $6-c+1=7-c$가지이다.

따라서 $c$ $c$가 정해졌을 때 만들어지는 $(a,b,c,d)$ $(a,b,c,d)$의 개수는 $c^2(7-c)$ $c^2(7-c)$이다.

$c=1$ $c=1$부터 $6$ $6$까지 빠짐없이 더하자

이제 $c$ $c$의 값만 바꾸어 더하면 된다.
$c$ $c$를 고정해서 세고 있으므로 서로 다른 $c$ $c$에서 나온 경우가 겹칠 수 없다.
또한 어떤 $(a,b,c,d)$ $(a,b,c,d)$도 자신의 $c$ $c$값을 하나만 가지므로 빠지는 경우도 없다.

\begin{array}{c|c|c|c} c & (a,b)\text{의 개수} & d\text{의 개수} & \text{전체}\\ \hline 1 & 1^2 & 6 & 6\\ 2 & 2^2 & 5 & 20\\ 3 & 3^2 & 4 & 36\\ 4 & 4^2 & 3 & 48\\ 5 & 5^2 & 2 & 50\\ 6 & 6^2 & 1 & 36 \end{array}

따라서 전체 경우의 수는

\begin{aligned} \sum_{c=1}^{6}c^2(7-c) &=6+20+36+48+50+36\\ &=196 \end{aligned}

이다.
구하는 개수는 $\boxed{196}$ $\boxed{196}$이다.

다른 분류와 같은 답이 나오는 이유를 확인해보자

이 문제는 $a$ $a$와 $b$ $b$의 크기 관계로 나누어 세는 방법도 가능하다.
예를 들어 $a\le b\le c\le d$ $a\le b\le c\le d$인 경우와 $b\le a\le c\le d$ $b\le a\le c\le d$인 경우를 세면, $a=b\le c\le d$ $a=b\le c\le d$인 경우가 두 번 들어가므로 한 번 빼야 한다.

이 분류도 맞지만, 처음부터 $a,b$ $a,b$의 크기 관계를 나누면 겹치는 부분을 따로 처리해야 한다.
반대로 $c$ $c$를 고정하면 $a,b$ $a,b$를 순서 있는 두 자리로 바로 세기 때문에 겹침 조정이 생기지 않는다.
이 문제에서 $c$ $c$를 먼저 잡는 이유는 계산이 짧아서만이 아니라, 중복과 누락을 동시에 피하게 해 주기 때문이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

조건이 두 줄로 주어졌지만 실제로는 $c$ $c$가 가운데에서 세 변수의 범위를 동시에 정한다.
$a,b$ $a,b$는 $c$ $c$ 이하에서 독립적으로 움직이고, $d$ $d$는 $c$ $c$ 이상에서 움직인다.
경우의 수 문제에서 어떤 문자가 여러 조건의 공통 경계로 반복해서 나타나면, 그 문자를 먼저 고정해 보는 것이 좋은 출발점이다.