입력별 가능한 f(x)를 표로 정리한 뒤 감소 수열 전체를 중복조합으로 126가지 세고, 양끝에서 허용값을 어기는 9가지씩을 제외해 108을 얻는다.
문제
2025학년도 6월 모의평가 수학 확률과 통계 30번 문제 조건문제 텍스트주관식
집합 X={−2,−1,0,1,2}\(X=\{-2,-1,0,1,2\}\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 f:X→X\(f:X\to X\)의 개수를 구하시오. [4점]
(가) X\(X\)의 모든 원소 x\(x\)에 대하여 x+f(x)∈X\(x+f(x)\in X\)이다.
(나) x=−2,−1,0,1\(x=-2,-1,0,1\)일 때 f(x)≥f(x+1)\(f(x)\ge f(x+1)\)이다.
정답
108
풀이
풀이 전략
함수 f:X→X\(f:X\to X\)의 개수를 묻고 있으므로, 함수 하나는 다섯 값 f(−2),f(−1),f(0),f(1),f(2)\(f(-2), f(-1), f(0), f(1), f(2)\)가 정해지면 결정된다. 처음에는 각 입력에서 어떤 값을 넣을 수 있는지부터 적어 본다.
조건 (가)는 각 x\(x\)에 대해 x+f(x)∈X\(x+f(x)\in X\)가 되어야 한다는 말이다. f(x)\(f(x)\)도 X\(X\)의 원소이고, 더한 값 x+f(x)\(x+f(x)\)도 −2\(-2\)부터 2\(2\) 사이에 남아야 한다.
입력별 허용값 정리
각 x\(x\)에서 가능한 f(x)\(f(x)\)를 정리하면 다음과 같다.
x\(x\)
가능한 f(x)\(f(x)\)
−2\(-2\)
{0,1,2}\(\{0,1,2\}\)
−1\(-1\)
{−1,0,1,2}\(\{-1,0,1,2\}\)
0\(0\)
{−2,−1,0,1,2}\(\{-2,-1,0,1,2\}\)
1\(1\)
{−2,−1,0,1}\(\{-2,-1,0,1\}\)
2\(2\)
{−2,−1,0}\(\{-2,-1,0\}\)
각 입력별 후보는 같은 X\(X\) 안에서도 서로 다른 허용 칸으로 나타난다.
조건 (가)는 입력 x에 따라 가능한 f(x)의 범위를 계단형으로 제한한다.
표와 그림을 함께 보면 왼쪽 입력에서는 큰 값들이 허용되고, 오른쪽 입력으로 갈수록 허용되는 값이 한 칸씩 아래로 내려간다. 여기에 조건 (나)의 감소 조건이 붙으므로, 다섯 함숫값을 한 줄로 놓고 보는 흐름이 자연스럽다.
이고, 동시에 a1≥a2≥a3≥a4≥a5\(a_1\ge a_2\ge a_3\ge a_4\ge a_5\)를 만족해야 한다.
감소 조건만 먼저 보면 다섯 칸에는 −2,−1,0,1,2\(-2,-1,0,1,2\) 중에서 중복을 허용해 다섯 개를 고른 뒤, 큰 값부터 작은 값까지 놓는 모습이다. 고른 값의 개수만 정해지면 감소 순서는 자동으로 정해진다. 그래서 감소 수열 전체를 먼저 세고, 표에서 허용되지 않는 장면을 뺀다.
감소 순서가 자동으로 정해지는 장면은 값의 종류와 각 값이 몇 번 쓰였는지만 보면 된다. 그 정보가 정해지는 순간 한 줄 수열은 하나로 정렬된다.
감소 조건만 보면 값의 중복 선택이 곧 하나의 감소 수열을 정한다.
감소 수열 전체 세기
그림에서 본 구조를 식으로 세면, a1≥a2≥a3≥a4≥a5\(a_1\ge a_2\ge a_3\ge a_4\ge a_5\)이고 각 ai\(a_i\)가 −2,−1,0,1,2\(-2,-1,0,1,2\) 중 하나인 경우를 먼저 세는 문제가 된다.
이는 다섯 종류의 값 −2,−1,0,1,2\(-2,-1,0,1,2\) 중에서 중복을 허용해 다섯 개를 고르는 경우와 같다. 어떤 값들이 몇 개씩 골라졌는지만 정하면, 감소 순서로 놓인 수열은 하나로 정해진다.
따라서 감소 조건만 만족하는 수열의 개수는 5H5=(59)=126\({}_5H_5=\binom{9}{5}=126\)이다.
이제 이 126\(126\)개 중에서 앞의 허용값 표를 어기는 경우를 빼면 된다. 표를 보면 가운데 a3\(a_3\)은 모든 값이 허용된다. 빠질 수 있는 곳은 왼쪽 끝의 두 칸 a1,a2\(a_1,a_2\)와 오른쪽 끝의 두 칸 a4,a5\(a_4,a_5\)이다.
왼쪽 두 칸의 위반 세기
왼쪽에서 조건 (가)를 어기는 모습은 a1\(a_1\)이 너무 작거나, a2\(a_2\)가 너무 작은 경우이다.
먼저 a1\(a_1\)이 허용값 {0,1,2}\(\{0,1,2\}\)에 들어가지 않는 장면을 본다. a1=−1\(a_1=-1\) 또는 a1=−2\(a_1=-2\)이면 감소 조건 때문에 다섯 값이 모두 −1,−2\(-1,-2\) 안에서만 움직인다. 이때 −1\(-1\)이 몇 개 들어가는지만 정하면 되므로 0\(0\)개부터 5\(5\)개까지 6\(6\)가지이다.
다음으로 a1\(a_1\)은 허용되지만 a2=−2\(a_2=-2\)인 장면을 본다. a2=−2\(a_2=-2\)이면 감소 조건 때문에 a2=a3=a4=a5=−2\(a_2=a_3=a_4=a_5=-2\)가 된다. 이때 a1\(a_1\)은 0,1,2\(0,1,2\) 중 하나이므로 3\(3\)가지이다.
따라서 왼쪽 두 칸 때문에 빠지는 경우는 6+3=9\(6+3=9\)가지이다.
오른쪽 두 칸의 위반 세기
오른쪽에서는 왼쪽과 반대로 값이 너무 크게 남아 있으면 표를 어긴다.
먼저 a5\(a_5\)가 허용값 {−2,−1,0}\(\{-2,-1,0\}\)에 들어가지 않는 장면을 본다. a5=1\(a_5=1\) 또는 a5=2\(a_5=2\)이면 감소 조건 때문에 다섯 값이 모두 1,2\(1,2\) 안에서만 움직인다. 이때 2\(2\)가 몇 개 들어가는지만 정하면 되므로 0\(0\)개부터 5\(5\)개까지 6\(6\)가지이다.
다음으로 a5\(a_5\)는 허용되지만 a4=2\(a_4=2\)인 장면을 본다. a4=2\(a_4=2\)이면 감소 조건 때문에 a1=a2=a3=a4=2\(a_1=a_2=a_3=a_4=2\)가 된다. 이때 a5\(a_5\)는 −2,−1,0\(-2,-1,0\) 중 하나이므로 3\(3\)가지이다.
따라서 오른쪽 두 칸 때문에 빠지는 경우도 6+3=9\(6+3=9\)가지이다.
제외해야 할 장면은 왼쪽 끝이 너무 낮은 경우와 오른쪽 끝이 너무 높은 경우로 나뉜다.
조건 (가)를 어기는 경우는 감소 수열의 양끝에서만 생기고, 두 위반 묶음은 동시에 일어나지 않는다.
왼쪽에서 빠지는 경우는 앞쪽 값이 이미 낮게 내려간 장면이고, 오른쪽에서 빠지는 경우는 뒤쪽 값이 높게 남은 장면이다. 왼쪽 위반이 일어나면 전체가 −1\(-1\) 이하이거나 a2\(a_2\)부터 모두 −2\(-2\)이므로, 오른쪽 끝에서 a5=1,2\(a_5=1,2\) 또는 a4=2\(a_4=2\)가 되는 장면과 겹칠 수 없다. 감소 수열에서는 이 두 모습이 동시에 일어나지 않으므로 그대로 더해 빼면 된다.
답 확인
감소 조건만 만족하는 전체는 126\(126\)가지이고, 조건 (가)의 표에서 빠지는 경우는 왼쪽 9\(9\)가지, 오른쪽 9\(9\)가지이다.
따라서 구하는 함수의 개수는 126−9−9=108\(126-9-9=108\)이다.
정답은 108\(\boxed{108}\)이다.
이 문항에서 어려웠던 지점
이 문항에서 처음에 봐야 할 대상은 각 입력에서 허용되는 함숫값의 범위이다. 조건 x+f(x)∈X\(x+f(x)\in X\) 때문에 f(x)\(f(x)\)의 후보가 입력 x\(x\)마다 달라지고, 그 후보들이 조건 (나)의 감소 조건과 함께 한 줄 수열처럼 묶인다.
그 다음에는 감소 수열 전체를 먼저 넓게 잡을 수 있다. 감소 순서가 정해져 있으므로, 다섯 값을 순서대로 배열하는 시선에서 각 값이 몇 번 나오는지를 정하는 시선으로 바뀐다. 이 지점에서 중복조합이 자연스럽게 등장한다.
비슷한 함수 개수 문제에서 f(x)\(f(x)\)와 x+f(x)\(x+f(x)\)처럼 입력과 함숫값이 함께 조건에 들어가면, 먼저 입력별 허용값 표를 만든다. 단조 조건이 붙어 있으면 함숫값들을 한 줄로 놓고, 전체 단조 수열에서 표를 어기는 경계 장면을 빼는 흐름을 떠올리면 된다.
