흰 공 4개와 검은 공 4개를 세 학생 A, B, C에게 남김없이 나눈다 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않고, 공을 받지 못하는 학생이 있을 수 있다 학생 A가 받는 공의 개수는 0 이상 2 이하이다 학생 B가 받는 공의 개수는 2 이상이다

2025학년도 9월 모의평가 수학 확률과 통계 30번 풀이 | 색별 배분과 제외 경우 [250930p]

문제

문제 텍스트 주관식

흰 공 4개와 검은 공 4개를 세 명의 학생 $A, B, C$ $A, B, C$에게 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. 단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않고, 공을 받지 못하는 학생이 있을 수 있다. [4점]

(가) 학생 $A$ $A$가 받는 공의 개수는 0 이상 2 이하이다.

(나) 학생 $B$ $B$가 받는 공의 개수는 2 이상이다.

정답

풀이

풀이 전략

세 학생에게 공을 나누지만, 처음부터 세 학생을 동시에 세면 경우가 커진다.
먼저 조건이 가장 작게 묶인 학생 $A$ $A$의 가능한 상태를 색별로 정리한다.
그다음 남은 공을 $B,C$ $B,C$에게 나누고, 학생 $B$ $B$가 0개 또는 1개 받는 경우만 제외한다.

$A$ $A$가 받을 수 있는 모양부터 작은 표로 써보자

같은 색 공끼리는 구별하지 않으므로 한 학생이 받은 공은 “흰 공 몇 개, 검은 공 몇 개”로 기록하면 된다.
학생 $A$ $A$가 받은 흰 공 수를 $w_A$ $w_A$, 검은 공 수를 $b_A$ $b_A$라고 두면 조건 (가)는 $w_A+b_A\le 2$ $w_A+b_A\le 2$로 읽힌다.

아래 그림처럼 $A$ $A$가 받는 총개수를 0개, 1개, 2개로 나누어 쓰면 가능한 상태가 바로 보인다.

A가 받을 수 있는 흰 공과 검은 공 개수 순서쌍 6가지 정리 — 학생 A가 받을 수 있는 색별 개수를 총개수 0, 1, 2로 나누어 정리한 그림

따라서 $A$ $A$가 받을 수 있는 모양은 $(0,0)$ $(0,0)$, $(1,0)$ $(1,0)$, $(0,1)$ $(0,1)$, $(2,0)$ $(2,0)$, $(1,1)$ $(1,1)$, $(0,2)$ $(0,2)$의 6가지이다.
여기서 순서쌍은 $(A\text{가 받은 흰 공 수}, A\text{가 받은 검은 공 수})$ $(A\text{가 받은 흰 공 수}, A\text{가 받은 검은 공 수})$이다.

이렇게 $A$ $A$를 먼저 정하면 남은 공은 $B,C$ $B,C$ 두 학생에게만 나누면 된다.
두 학생에게 나눌 때는 각 색에서 $B$ $B$가 몇 개를 받는지만 정하면 $C$ $C$가 받는 개수도 자동으로 정해진다.

남은 공에서 $B$ $B$가 받을 개수만 움직여보자

$A$ $A$가 흰 공 $w$ $w$개, 검은 공 $b$ $b$개를 받았다고 하자.
남은 흰 공은 $4-w$ $4-w$개, 남은 검은 공은 $4-b$ $4-b$개이다.

흰 공 $4-w$ $4-w$개를 $B,C$ $B,C$에게 나누는 장면을 보면, $B$ $B$가 받을 흰 공 수는 $0,1,\dots,4-w$ $0,1,\dots,4-w$로 움직인다.
따라서 흰 공 배분은 $5-w$ $5-w$가지이다.
같은 방식으로 검은 공 배분은 $5-b$ $5-b$가지이다.

그래서 $A=(w,b)$ $A=(w,b)$로 고정했을 때 남은 공을 $B,C$ $B,C$에게 나누는 전체 경우의 수는 $(5-w)(5-b)$ $(5-w)(5-b)$이다.
여기에는 아직 학생 $B$ $B$가 2개 이상 받아야 한다는 조건이 들어가지 않았다.

$B$ $B$가 0개 또는 1개 받는 모양을 먼저 빼보자

학생 $B$ $B$가 받은 공의 총개수가 2 이상이어야 하므로, 조건에서 벗어나는 모습은 $B$ $B$가 0개 또는 1개 받는 경우이다.
$B$ $B$가 받은 흰 공 수와 검은 공 수를 순서쌍으로 쓰면 $(0,0)$ $(0,0)$, $(1,0)$ $(1,0)$, $(0,1)$ $(0,1)$의 3가지이다.

B가 2개 미만 받는 제외 케이스 세 가지와 모든 A 행에서 3가지를 빼는 이유 — 학생 B가 조건을 어기는 세 가지 경우와 각 행에서 -3을 적용하는 이유

그림의 오른쪽 확인처럼 $A$ $A$는 많아야 2개만 받는다.
$w+b\le 2$ $w+b\le 2$이므로 $w\le 2$ $w\le 2$, $b\le 2$ $b\le 2$이고, 남은 흰 공과 검은 공은 각각 $4-w\ge 2$ $4-w\ge 2$, $4-b\ge 2$ $4-b\ge 2$이다.
따라서 $B$ $B$가 흰 공 1개만 받거나 검은 공 1개만 받는 모습은 어느 $A$ $A$의 행에서도 가능하다.

따라서 $A=(w,b)$ $A=(w,b)$인 한 행에서 조건 (나)를 만족하는 경우의 수는 $(5-w)(5-b)-3$ $(5-w)(5-b)-3$이다.

여섯 가지 $A$ $A$의 상태를 표로 더해보자

이제 $A$ $A$의 가능한 6가지 상태에 대해 위 식을 적용한다.
계산은 총개수별로 묶으면 더 짧게 보인다.

A의 총개수별 배분 계산과 최종 합계 93 — A의 총개수별로 (5-w)(5-b)-3을 적용해 전체 경우의 수를 합산한 표

표를 행별로 읽으면 $A$ $A$가 0개 받을 때는 $25-3=22$ $25-3=22$가지이다.
$A$ $A$가 1개 받을 때는 $(1,0)$ $(1,0)$과 $(0,1)$ $(0,1)$ 두 행에서 각각 17가지이므로 $17+17=34$ $17+17=34$가지이다.
$A$ $A$가 2개 받을 때는 $(2,0)$ $(2,0)$, $(1,1)$ $(1,1)$, $(0,2)$ $(0,2)$에서 $12+13+12=37$ $12+13+12=37$가지이다.

따라서 전체 경우의 수는 $22+34+37=93$ $22+34+37=93$이다.
정답은 $93$ $93$이다.

조건을 다시 맞춰보자

$A$ $A$의 상태는 모두 $w+b\le 2$ $w+b\le 2$인 경우만 골랐으므로 조건 (가)를 만족한다.
각 상태에서 $B$ $B$가 0개 또는 1개 받는 경우를 제외했으므로 조건 (나)도 만족한다.

문제에서 공을 받지 못하는 학생이 있을 수 있다고 했으므로 $A=(0,0)$ $A=(0,0)$인 경우나 $C$ $C$가 어떤 색 공을 받지 않는 경우도 그대로 포함된다.
같은 색 공끼리는 구별하지 않기 때문에 각 색에서 몇 개를 받는지만 세면 된다.

이 문항에서 어려웠던 지점

세 학생을 동시에 세려고 하면 경우가 커지기 쉽다.
조건을 학생별로 나누어 보면 $A$ $A$의 가능한 모양이 먼저 6가지로 작아진다.
그 6가지를 잡고 나면 남은 일은 각 색에서 $B$ $B$가 몇 개를 받는지 세는 문제로 바뀐다.

또 하나의 갈림길은 $B\ge 2$ $B\ge 2$ 조건이다.
$B$ $B$가 받은 공의 총개수를 보려면, 총개수가 0 또는 1인 가장 작은 모양이 먼저 눈에 들어온다.
그 모양을 쓰면 $(0,0),(1,0),(0,1)$ $(0,0),(1,0),(0,1)$ 세 가지이다.
이 세 가지가 모든 $A$ $A$의 행에서 가능한 이유는 $A$ $A$가 최대 2개만 받아 남은 흰 공과 검은 공이 각각 충분히 남기 때문이다.