2025학년도 6월 모의평가 수학 미적분 28번 풀이 | 가장 왼쪽 해와 역함수 미분

문제

정답

④

풀이

풀이 전략

$g(t)$\(g(t)\)는 $f(x)=t$\(f(x)=t\)의 해 중 가장 왼쪽 해를 고르는 함수이다.
수평선 $y=t$\(y=t\)를 움직이며 왼쪽 직선 조각이 만드는 높이와 오른쪽 곡선 조각의 증가·감소를 함께 보면, $g(t)$\(g(t)\)가 끊어지는 높이가 $4e^a$\(4e^a\)로 정해진다.
이후 $f(a+2)$\(f(a+2)\)와 $f(a+6)$\(f(a+6)\)이 어느 조각의 역함수로 들어가는지 확인하고, 선택된 해에서 원래 함수의 기울기를 뒤집어 두 미분계수의 비를 계산한다.

수평선으로 가장 왼쪽 해 보기

$g(t)$\(g(t)\)는 $f(x)=t$\(f(x)=t\)를 만족시키는 $x$\(x\) 중 최솟값을 고르는 함수이다.
수평선 $y=t$\(y=t\)를 그었을 때, 그래프와 만나는 점들 중 가장 왼쪽 교점의 $x$\(x\)좌표를 고르는 상황으로 보면 된다.

문제의 식은 $x<a$\(x<a\)와 $x\ge a$\(x\ge a\)에서 서로 다른 모양을 가진다.
왼쪽 조각은 직선이고, 오른쪽 조각은 한 번 내려갔다가 올라가는 곡선이다.
가장 왼쪽 해를 고르는 문제이므로, 왼쪽 조각이 어떤 높이까지 해를 만들어 주는지부터 확인한다.

$x<a$\(x<a\)에서 $f(x)=e^{2a}(x-a)+4e^a$\(f(x)=e^{2a}(x-a)+4e^a\)이다.
기울기 $e^{2a}$\(e^{2a}\)가 양수인 직선이므로 증가하고, $x\to-\infty$\(x\to-\infty\)이면 $f(x)\to-\infty$\(f(x)\to-\infty\), $x\to a-$\(x\to a-\)이면 $f(x)\to4e^a$\(f(x)\to4e^a\)이다.
따라서 왼쪽 조각이 만드는 값의 범위는 $(-\infty,4e^a)$\((-\infty,4e^a)\)이다.

이 관찰 하나로 $t<4e^a$\(t<4e^a\)일 때의 $g(t)$\(g(t)\)가 정해진다.
이때는 왼쪽 조각에서 이미 $f(x)=t$\(f(x)=t\)의 해가 생기고, 그 해가 $a$\(a\)보다 왼쪽에 있으므로 가장 작은 해가 된다.

오른쪽 조각의 증가와 감소 확인

오른쪽 조각은 $x\ge a$\(x\ge a\)에서 $f(x)=(x-a-2)^2e^x$\(f(x)=(x-a-2)^2e^x\)이다.
$x-a$\(x-a\)가 반복해서 보이므로 $u=x-a$\(u=x-a\)로 두면 $u\ge0$\(u\ge0\)이고 $f(x)=e^a(u-2)^2e^u$\(f(x)=e^a(u-2)^2e^u\)이다.

수평선을 움직일 때 교점 위치가 어떻게 바뀌는지 알려면 이 조각의 증가·감소를 보면 된다.

따라서 $0<u<2$\(0<u<2\)에서는 감소하고, $u>2$\(u>2\)에서는 증가한다.
즉 오른쪽 조각은 $x=a$\(x=a\)에서 $4e^a$\(4e^a\)를 지나고, $x=a+2$\(x=a+2\)에서 $0$\(0\)까지 내려간 뒤 다시 올라간다.

이제 수평선 $y=t$\(y=t\)를 움직여 보면 세 구간이 자연스럽게 나뉜다.

• $t<4e^a$\(t<4e^a\)이면 왼쪽 직선 조각의 해가 가장 왼쪽 해가 된다.
• $t=4e^a$\(t=4e^a\)이면 $x=a$\(x=a\)가 해이고, 이 값이 가장 왼쪽 해이다.
• $t>4e^a$\(t>4e^a\)이면 왼쪽 직선 조각에는 해가 없고, 오른쪽 증가 조각에서 생기는 해가 선택된다.

따라서 $g(t)$\(g(t)\)가 고르는 그래프 조각은 높이 $4e^a$\(4e^a\)를 기준으로 바뀐다.

수평선의 높이가 $4e^a$\(4e^a\)보다 낮을 때와 높을 때를 나누어 보면, 가장 왼쪽 교점이 서로 다른 조각에서 선택된다.

불연속 높이를 12와 맞추기

이제 경계 높이 $t=4e^a$\(t=4e^a\) 근처에서 $g(t)$\(g(t)\)의 움직임을 조금 더 자세히 본다.
$t<4e^a$\(t<4e^a\)일 때는 왼쪽 직선 조각의 해가 선택되고, $t$\(t\)가 $4e^a$\(4e^a\)에 가까워지면 그 해는 $a$\(a\)에 가까워진다.
실제로 $t=4e^a$\(t=4e^a\)에서는 $x=a$\(x=a\)가 해이므로 $g(4e^a)=a$\(g(4e^a)=a\)이다.

그런데 $t$\(t\)가 $4e^a$\(4e^a\)를 넘으면 왼쪽 직선 조각에서 해가 사라진다.
오른쪽 조각의 감소 구간은 $0$\(0\)부터 $4e^a$\(4e^a\)까지의 높이만 만들기 때문에, $t>4e^a$\(t>4e^a\)에서는 $x>a+2$\(x>a+2\)의 증가 구간에서만 해가 나온다.
그러면 가장 왼쪽 해가 오른쪽 조각의 증가 부분에서 잡힌다.
수평선이 $4e^a$\(4e^a\)를 넘는 순간 $g(t)$\(g(t)\)의 값이 $a$\(a\)에서 오른쪽 조각의 증가 부분으로 건너뛰므로 이 높이에서 불연속이 생긴다.

문제에서 불연속이 $t=12$\(t=12\)에서만 일어난다고 했으므로 $4e^a=12$\(4e^a=12\)이다.
따라서 $e^a=3$\(e^a=3\)이다.

경계 높이에서 선택되는 교점은 $x=a$\(x=a\)에서 오른쪽 증가 조각으로 건너뛴다.

그림에서 함께 확인해야 할 점은 오른쪽 조각의 최솟값이 $0$\(0\)이어도 새 불연속이 생기지 않는다는 것이다.
$0<4e^a$\(0<4e^a\)이므로 $t=0$\(t=0\)에서는 왼쪽 직선 조각에도 해가 있다.
$g(0)$\(g(0)\)은 그 왼쪽 해를 고르기 때문에 $x=a+2$\(x=a+2\)에서 생기는 오른쪽 꼭짓점은 $g(0)$\(g(0)\)의 선택값이 아니다.
그래서 $t=0$\(t=0\)은 불연속점으로 추가되지 않는다.

두 입력값이 들어가는 조각 표시

구해야 할 값은 $\dfrac{g'(f(a+2))}{g'(f(a+6))}$\(\dfrac{g'(f(a+2))}{g'(f(a+6))}\)이다.
앞에서 $g(t)$\(g(t)\)가 선택하는 조각을 높이로 나누었으므로, 이제 $f(a+2)$\(f(a+2)\)와 $f(a+6)$\(f(a+6)\)이 어느 높이에 있는지만 확인한다.

먼저 $f(a+2)=0$\(f(a+2)=0\)이다.
이 값은 $4e^a=12$\(4e^a=12\)보다 작으므로, $t=0$\(t=0\) 근처에서 $g(t)$\(g(t)\)는 왼쪽 직선 조각의 역함수로 움직인다.

왼쪽 조각을 $h_2(x)=e^{2a}(x-a)+4e^a$\(h_2(x)=e^{2a}(x-a)+4e^a\)라고 두면 $h_2'(x)=e^{2a}$\(h_2'(x)=e^{2a}\)이다.
역함수의 미분 관계에 따라 $g'(f(a+2))=\dfrac1{e^{2a}}$\(g'(f(a+2))=\dfrac1{e^{2a}}\)이다.

여기서 $f(a+2)=0$\(f(a+2)=0\)이라는 값만 보고 오른쪽 조각의 꼭짓점 $x=a+2$\(x=a+2\)를 선택하면 흐름이 틀어진다.
높이 $0$\(0\)에서는 왼쪽 직선 조각의 해가 더 왼쪽에 있으므로 그 해를 따라간다.

오른쪽 증가 조각의 기울기 읽기

다음으로 $a+6$\(a+6\)은 오른쪽 조각의 증가 구간에 있다.
실제로 $f(a+6)=(a+6-a-2)^2e^{a+6}=16e^{a+6}$\(f(a+6)=(a+6-a-2)^2e^{a+6}=16e^{a+6}\)이고, 이 값은 $4e^a$\(4e^a\)보다 크다.
따라서 $f(a+6)$\(f(a+6)\) 근처에서 $g$\(g\)는 오른쪽 증가 조각의 역함수이다.

오른쪽 조각을 $h_1(x)=(x-a-2)^2e^x$\(h_1(x)=(x-a-2)^2e^x\)라고 두면 $h_1'(x)=e^x(x-a-2)(x-a)$\(h_1'(x)=e^x(x-a-2)(x-a)\)이다.
그러므로 $h_1'(a+6)=e^{a+6}\cdot4\cdot6=24e^{a+6}$\(h_1'(a+6)=e^{a+6}\cdot4\cdot6=24e^{a+6}\)이고, $g'(f(a+6))=\dfrac1{24e^{a+6}}$\(g'(f(a+6))=\dfrac1{24e^{a+6}}\)이다.

선택된 해의 위치가 정해졌으므로, 역함수 미분에서는 그 위치에서 원래 함수의 기울기를 읽으면 된다.

미분계수의 비 정리

앞에서 얻은 두 식을 나누면 다음과 같다.

$e^a=3$\(e^a=3\)이므로 $e^{-a}=\dfrac13$\(e^{-a}=\dfrac13\)이다.
따라서 $24e^{6-a}=8e^6$\(24e^{6-a}=8e^6\)이다.

정답은 $\boxed{8e^6}$\(\boxed{8e^6}\), ④이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

처음 갈리는 지점은 $g(t)$\(g(t)\)가 어떤 해를 선택하는지 확인하는 데 있다.
$f(a+2)=0$\(f(a+2)=0\)을 보면 오른쪽 조각의 꼭짓점이 먼저 눈에 들어오지만, 같은 높이 $0$\(0\)을 왼쪽 직선 조각도 만든다.
$g(t)$\(g(t)\)는 가장 왼쪽 해를 고르는 함수이므로 이때는 왼쪽 직선 조각의 역함수를 따라간다.

비슷한 조각함수 문제에서는 $f(x)=t$\(f(x)=t\)를 수평선으로 생각하고, 가장 왼쪽 교점이 어느 조각에서 나오는지 먼저 표시한다.
그 다음에 역함수 미분을 적용하면 계산해야 할 원래 함수의 기울기가 자연스럽게 정해진다.

문항코드: 250628c