닫힌구간 [0,2π]에서 f(x)=sin x-1 (0≤x<π), f(x)=-√2 sin x-1 (π≤x≤2π)로 정의된다 0≤t≤2π에서 방정식 f(x)=f(t)의 서로 다른 실근 개수가 3이 되는 모든 t값의 합을 구한다 모든 t값의 합은 (q/p)π이고 p와 q는 서로소인 자연수이다 정답은 p+q의 값이다

2025학년도 9월 모의평가 수학 20번 풀이 | 같은 높이와 교점 개수 [250920]

문제

문제 텍스트 주관식

닫힌구간 $[0,2\pi]$ $[0,2\pi]$에서 정의된 함수

f(x)= \begin{cases} \sin x-1 & (0\le x<\pi) \\ -\sqrt{2}\sin x-1 & (\pi\le x\le 2\pi) \end{cases}

가 있다. $0\le t\le 2\pi$ $0\le t\le 2\pi$인 실수 $t$ $t$에 대하여 $x$ $x$에 대한 방정식 $f(x)=f(t)$ $f(x)=f(t)$의 서로 다른 실근의 개수가 $3$ $3$이 되도록 하는 모든 $t$ $t$의 값의 합은 $\frac{q}{p}\pi$ $\frac{q}{p}\pi$이다. $p+q$ $p+q$의 값을 구하시오.

단, $p$ $p$와 $q$ $q$는 서로소인 자연수이다. [4점]

정답

풀이

풀이 전략

방정식 $f(x)=f(t)$ $f(x)=f(t)$는 $t$ $t$가 정한 높이와 같은 그래프 위 점의 개수를 묻는다.
그래서 $c=f(t)$ $c=f(t)$로 두고 $f(x)=c$ $f(x)=c$의 해 개수를 조각별로 센다.
전체 해 개수가 $3$ $3$인 높이를 고른 뒤, 그 높이를 만드는 $t$ $t$값을 다시 모은다.

같은 높이를 교점 개수로 읽기

$t$ $t$를 하나 정하면 $f(t)$ $f(t)$는 그래프 위의 한 높이이다.
$c=f(t)$ $c=f(t)$라고 두면 문제의 방정식은 $f(x)=c$ $f(x)=c$가 되고, 이는 그래프 $y=f(x)$ $y=f(x)$와 수평선 $y=c$ $y=c$의 교점 개수를 세는 말이다.

아래 그림에서는 좌상단의 식 변환에서 중앙 수평선으로 이어지는 흐름을 먼저 보면 된다.
$x=\pi$ $x=\pi$에서는 첫 번째 조각의 열린 끝과 두 번째 조각의 닫힌 끝이 같은 점 $P=(\pi,-1)$ $P=(\pi,-1)$에 겹쳐 있으므로, 경계 포함 여부가 해 개수에 바로 영향을 준다.

f(t)=c를 수평선 y=c와 그래프 y=f(x)의 교점 개수로 바꾸어 읽는 구조 — $f(t)=c$ $f(t)=c$를 정하면 $f(x)=c$ $f(x)=c$의 해 개수는 수평선과 그래프의 교점 개수로 보인다.

해 개수는 끝점 높이와 꼭짓점 높이에서 달라진다.
따라서 $c=-1$ $c=-1$, $c=0$ $c=0$, $c=\sqrt2-1$ $c=\sqrt2-1$을 기준으로 높이를 나누어 본다.

조각별 높이 개수 세기

첫 번째 조각은 $0\le x<\pi$ $0\le x<\pi$에서 $f(x)=\sin x-1$ $f(x)=\sin x-1$이다.
$\sin x$ $\sin x$가 $0$ $0$에서 $1$ $1$까지 올라갔다가 다시 $0$ $0$으로 내려오므로, 이 조각의 높이는 $-1$ $-1$에서 $0$ $0$까지 움직인다.

두 번째 조각은 $\pi\le x\le2\pi$ $\pi\le x\le2\pi$에서 $f(x)=-\sqrt2\sin x-1$ $f(x)=-\sqrt2\sin x-1$이다.
이 구간에서 그래프는 $-1$ $-1$에서 시작해 $\sqrt2-1$ $\sqrt2-1$까지 올라갔다가 다시 $-1$ $-1$로 내려온다.

아래 그림의 왼쪽 패널은 첫 번째 조각, 오른쪽 패널은 두 번째 조각이다.
왼쪽의 $x=\pi$ $x=\pi$ 열린 끝은 세지 않고, 오른쪽의 $x=\pi,2\pi$ $x=\pi,2\pi$ 닫힌 끝은 모두 센다는 점을 확인한다.

두 조각에서 높이 c별 교점 개수를 열린 끝과 닫힌 끝까지 구분해 세는 그림 — 첫 조각과 둘째 조각을 따로 보면 같은 높이에서도 끝점 포함 여부에 따라 해 개수가 달라진다.

조각별 해 개수는 다음과 같이 정리된다.

높이 $c$ $c$	$0\le x<\pi$ $0\le x<\pi$에서의 해 개수
$c=-1$ $c=-1$	$1$ $1$개
$-1<c<0$ $-1<c<0$	$2$ $2$개
$c=0$ $c=0$	$1$ $1$개
그 밖	$0$ $0$개

첫 번째 조각에서 $c=-1$ $c=-1$일 때는 $x=0$ $x=0$만 들어간다.
$x=\pi$ $x=\pi$는 정의역에 포함되지 않으므로 이 높이에서 첫 번째 조각의 해 개수는 $1$ $1$개이다.

높이 $c$ $c$	$\pi\le x\le2\pi$ $\pi\le x\le2\pi$에서의 해 개수
$c=-1$ $c=-1$	$2$ $2$개
$-1<c<\sqrt2-1$ $-1<c<\sqrt2-1$	$2$ $2$개
$c=\sqrt2-1$ $c=\sqrt2-1$	$1$ $1$개
그 밖	$0$ $0$개

두 번째 조각에서 $c=-1$ $c=-1$일 때는 $x=\pi,\ 2\pi$ $x=\pi,\ 2\pi$가 모두 들어간다.
양 끝이 닫힌 구간이므로 이 높이에서는 해가 $2$ $2$개이다.

전체 해 개수가 3인 높이 고르기

두 조각의 값의 범위를 합치면 전체 높이 후보는 $-1\le c\le\sqrt2-1$ $-1\le c\le\sqrt2-1$이다.
이 범위에서 같은 높이 $c$ $c$에 대해 두 조각에서 나온 해 개수를 더한다.

높이 $c$ $c$	첫 번째 조각	두 번째 조각	전체 해 개수
$c=-1$ $c=-1$	$1$ $1$	$2$ $2$	$3$ $3$
$-1<c<0$ $-1<c<0$	$2$ $2$	$2$ $2$	$4$ $4$
$c=0$ $c=0$	$1$ $1$	$2$ $2$	$3$ $3$
$0<c<\sqrt2-1$ $0<c<\sqrt2-1$	$0$ $0$	$2$ $2$	$2$ $2$
$c=\sqrt2-1$ $c=\sqrt2-1$	$0$ $0$	$1$ $1$	$1$ $1$

이미지의 세로 높이축에서 빨간색으로 남는 줄이 전체 해 개수 $3$ $3$인 경우이다.
$-1<c<0$ $-1<c<0$은 $2+2=4$ $2+2=4$라서 조건에 맞지 않고, $0<c<\sqrt2-1$ $0<c<\sqrt2-1$과 $c=\sqrt2-1$ $c=\sqrt2-1$도 전체 해 개수가 $3$ $3$이 아니다.

높이 c별 전체 해 개수에서 N(c)=3인 c=-1과 c=0만 선택하는 그림 — 조각별 해 개수를 더하면 $N(c)=3$ $N(c)=3$인 높이는 $c=-1$ $c=-1$과 $c=0$ $c=0$만 남는다.

따라서 $t$ $t$는 $f(t)=-1$ $f(t)=-1$ 또는 $f(t)=0$ $f(t)=0$을 만족해야 한다.

선택된 높이를 만드는 t값 모으기

$f(t)=-1$ $f(t)=-1$부터 본다.
$0\le t<\pi$ $0\le t<\pi$에서는 $\sin t-1=-1$ $\sin t-1=-1$이므로 $\sin t=0$ $\sin t=0$이고, 이 구간에서는 $t=0$ $t=0$이다.
$\pi\le t\le2\pi$ $\pi\le t\le2\pi$에서는 $-\sqrt2\sin t-1=-1$ $-\sqrt2\sin t-1=-1$이므로 $\sin t=0$ $\sin t=0$이고, 이 구간에서는 $t=\pi,\ 2\pi$ $t=\pi,\ 2\pi$이다.

따라서 $f(t)=-1$ $f(t)=-1$을 만드는 값은 $t=0,\ \pi,\ 2\pi$ $t=0,\ \pi,\ 2\pi$이고, 이들의 합은 $3\pi$ $3\pi$이다.

$f(t)=0$ $f(t)=0$도 같은 방식으로 본다.
$0\le t<\pi$ $0\le t<\pi$에서는 $\sin t=1$ $\sin t=1$이므로 $t=\frac{\pi}{2}$ $t=\frac{\pi}{2}$이다.
$\pi\le t\le2\pi$ $\pi\le t\le2\pi$에서는 $-\sqrt2\sin t-1=0$ $-\sqrt2\sin t-1=0$이므로 $\sin t=-\frac1{\sqrt2}$ $\sin t=-\frac1{\sqrt2}$이고, $t=\frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}$ $t=\frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}$이다.

아래 그림의 위쪽 줄은 $f(t)=-1$ $f(t)=-1$에서 나온 세 값, 아래쪽 줄은 $f(t)=0$ $f(t)=0$에서 나온 세 값을 모은 것이다.
아래쪽 줄에서 $\frac{5\pi}{4}$ $\frac{5\pi}{4}$와 $\frac{7\pi}{4}$ $\frac{7\pi}{4}$는 $\frac{3\pi}{2}$ $\frac{3\pi}{2}$를 기준으로 대칭이므로 두 값의 합이 $3\pi$ $3\pi$이다.

c=-1과 c=0을 만드는 t값을 수직선에 표시하고 전체 합을 13π/2로 정리한 그림 — 선택된 두 높이를 만드는 모든 $t$ $t$값을 모으면 전체 합이 $\frac{13\pi}{2}$ $\frac{13\pi}{2}$가 된다.

$f(t)=0$ $f(t)=0$을 만드는 값들의 합은 $\frac{\pi}{2}+\frac{5\pi}{4}+\frac{7\pi}{4}=\frac{7\pi}{2}$ $\frac{\pi}{2}+\frac{5\pi}{4}+\frac{7\pi}{4}=\frac{7\pi}{2}$이다.
따라서 모든 $t$ $t$값의 합은 다음과 같다.

(0+\pi+2\pi)+\left(\frac{\pi}{2}+\frac{5\pi}{4}+\frac{7\pi}{4}\right) =3\pi+\frac{7\pi}{2} =\frac{13\pi}{2}

문제에서 이 합을 $\frac{q}{p}\pi$ $\frac{q}{p}\pi$라고 했으므로 $\frac{q}{p}=\frac{13}{2}$ $\frac{q}{p}=\frac{13}{2}$이다.
따라서 $p=2,\ q=13$ $p=2,\ q=13$이고 $p+q=15$ $p+q=15$이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

방정식 $f(x)=f(t)$ $f(x)=f(t)$에서 실제로 세는 대상은 $x$ $x$의 값이다.
$t$ $t$는 수평선의 높이 $f(t)$ $f(t)$를 정해 주고, 그 높이에 해당하는 $x$ $x$가 몇 개인지를 먼저 보게 된다.

이 흐름에서 중요한 장면은 끝점 포함 여부이다.
첫 번째 조각은 $0\le x<\pi$ $0\le x<\pi$라서 $x=\pi$ $x=\pi$가 빠지고, 두 번째 조각은 $\pi\le x\le2\pi$ $\pi\le x\le2\pi$라서 $x=\pi,\ 2\pi$ $x=\pi,\ 2\pi$가 모두 들어간다.
이 차이 때문에 높이 $-1$ $-1$에서 전체 해 개수가 $1+2=3$ $1+2=3$이 된다.

또 하나의 갈림길은 꼭짓점 높이이다.
높이 $0$ $0$에서는 첫 번째 조각이 꼭짓점에서 한 번만 만나고, 두 번째 조각은 두 번 만난다.
그래서 이 높이에서도 전체 해 개수가 $3$ $3$이 된다.

비슷한 유형에서 조각별 그래프가 주어지면 각 조각의 값의 범위와 경계 포함 여부가 해 개수를 세는 기준이 된다.

문항코드: 250920

높이 $c$ \(c\)	$0\le x<\pi$ \(0\le x<\pi\)에서의 해 개수
$c=-1$ \(c=-1\)	$1$ \(1\)개
$-1<c<0$ \(-1<c<0\)	$2$ \(2\)개
$c=0$ \(c=0\)	$1$ \(1\)개
그 밖	$0$ \(0\)개

높이 $c$ \(c\)	$\pi\le x\le2\pi$ \(\pi\le x\le2\pi\)에서의 해 개수
$c=-1$ \(c=-1\)	$2$ \(2\)개
$-1<c<\sqrt2-1$ \(-1<c<\sqrt2-1\)	$2$ \(2\)개
$c=\sqrt2-1$ \(c=\sqrt2-1\)	$1$ \(1\)개
그 밖	$0$ \(0\)개

높이 $c$ \(c\)	첫 번째 조각	두 번째 조각	전체 해 개수
$c=-1$ \(c=-1\)	$1$ \(1\)	$2$ \(2\)	$3$ \(3\)
$-1<c<0$ \(-1<c<0\)	$2$ \(2\)	$2$ \(2\)	$4$ \(4\)
$c=0$ \(c=0\)	$1$ \(1\)	$2$ \(2\)	$3$ \(3\)
$0<c<\sqrt2-1$ \(0<c<\sqrt2-1\)	$0$ \(0\)	$2$ \(2\)	$2$ \(2\)
$c=\sqrt2-1$ \(c=\sqrt2-1\)	$0$ \(0\)	$1$ \(1\)	$1$ \(1\)