최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)가 주어진다 모든 정수 k에 대해 2k-8 ≤ {f(k+2)-f(k)}/2 ≤ 4k²+14k가 성립한다 구해야 할 값은 f′(3)이다

2025학년도 9월 모의평가 수학 21번 풀이 | 평균변화율 경계와 정수 조건 [250921]

문제

문제 텍스트 주관식

최고차항의 계수가 $1$ $1$인 삼차함수 $f(x)$ $f(x)$가 모든 정수 $k$ $k$에 대하여

2k-8 \le \frac{f(k+2)-f(k)}{2} \le 4k^2+14k

를 만족시킬 때, $f'(3)$ $f'(3)$의 값을 구하시오. [4점]

정답

풀이

풀이 전략

문제 부등식의 가운데 평균변화율을 $D(k)$ $D(k)$로 두고, 위아래 경계 사이의 폭을 본다.
경계 폭이 $0$ $0$이 되는 정수 $k=-2,-1$ $k=-2,-1$에서는 $D(k)$ $D(k)$가 한 값으로 고정되어 두 개의 함수값 차이를 얻는다.
그 차이를 최고차항의 계수가 $1$ $1$인 삼차함수의 계수 정보로 바꾸면 $f'(3)$ $f'(3)$ 계산까지 이어진다.

Step 1. 경계 폭이 사라지는 정수

가운데 식을 $D(k)=\frac{f(k+2)-f(k)}2$ $D(k)=\frac{f(k+2)-f(k)}2$로 두고, 아래 경계를 $L(k)=2k-8$ $L(k)=2k-8$, 위 경계를 $U(k)=4k^2+14k$ $U(k)=4k^2+14k$로 둔다.
두 경계의 차는 $U(k)-L(k)=4k^2+12k+8=4(k+1)(k+2)$ $U(k)-L(k)=4k^2+12k+8=4(k+1)(k+2)$이다.

아래 그림에서는 부등식의 세 대상과 경계 차가 함께 놓여 있다.
아래쪽 수직선에서 빨강으로 표시된 두 정수 $k=-2,-1$ $k=-2,-1$이 경계 폭이 사라지는 자리이다.

경계 차가 0이 되는 정수 k=-2,-1에서 평균변화율 D(k)가 고정되는 관계 — 경계 차가 0이 되는 두 정수에서 평균변화율이 고정되는 구조

$k=-1$ $k=-1$에서는 $D(-1)=-10$ $D(-1)=-10$이므로 $f(1)-f(-1)=-20$ $f(1)-f(-1)=-20$이다.
$k=-2$ $k=-2$에서는 $D(-2)=-12$ $D(-2)=-12$이므로 $f(0)-f(-2)=-24$ $f(0)-f(-2)=-24$이다.
이제 이 두 함수값 차이를 삼차함수의 계수로 옮긴다.

Step 2. 함수값 차이로 계수 정하기

$f(x)$ $f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$ $1$인 삼차함수이므로 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$라고 둔다.
아래 계산 흐름은 두 함수값 차이가 $b$ $b$, $a$ $a$, 도함수 값으로 이어지는 순서를 압축한다.
왼쪽에서 $b=-11$ $b=-11$을 먼저 얻고, 그 값을 오른쪽 식에 넣어 $a=\frac52$ $a=\frac52$를 정한다.

두 함수값 차이에서 b=-11과 a=5/2를 얻어 f'(3)=31로 이어지는 계산 흐름 — 함수값 차이 두 개가 삼차함수의 계수와 도함수 값으로 이어지는 계산

먼저 $f(1)-f(-1)$ $f(1)-f(-1)$을 계산하면 $x^2$ $x^2$항과 상수항이 서로 지워져 $2+2b=-20$ $2+2b=-20$이 된다.
따라서 $b=-11$ $b=-11$이다.

다음으로 $f(0)-f(-2)=8-4a+2b$ $f(0)-f(-2)=8-4a+2b$이고, 여기에 $b=-11$ $b=-11$을 넣으면 $-4a-14=-24$ $-4a-14=-24$이다.
따라서 $a=\frac52$ $a=\frac52$이다.
그러므로 $f'(x)=3x^2+5x-11$ $f'(x)=3x^2+5x-11$이고, $f'(3)=27+15-11=31$ $f'(3)=27+15-11=31$이다.

Step 3. 모든 정수 조건 확인

지금까지 얻은 값은 경계가 만나는 두 정수에서 나온 후보이므로, 마지막으로 모든 정수 조건과 맞는지 확인한다.
$a=\frac52$ $a=\frac52$, $b=-11$ $b=-11$일 때 가운데 평균변화율은 $D(k)=3k^2+11k-2$ $D(k)=3k^2+11k-2$이다.

따라서 아래 경계와의 차, 위 경계와의 차는 각각 $D(k)-(2k-8)=3(k+1)(k+2)$ $D(k)-(2k-8)=3(k+1)(k+2)$, $(4k^2+14k)-D(k)=(k+1)(k+2)$ $(4k^2+14k)-D(k)=(k+1)(k+2)$이다.

아래 그림에서는 $(k+1)(k+2)$ $(k+1)(k+2)$의 부호를 수직선 위에서 확인한다.
회색 구간은 $-2<k<-1$ $-2<k<-1$이지만, 이 열린구간 안에는 정수가 없다.

정수 k에서 (k+1)(k+2)가 항상 0 이상임을 확인하는 수직선 부호표 — 정수 조건에서 음수 구간이 빠져 원래 부등식이 유지되는 이유

정수 $k$ $k$에 대해서는 $(k+1)(k+2)\ge0$ $(k+1)(k+2)\ge0$이다.
그래서 두 차이가 모두 $0$ $0$ 이상이고, 처음 부등식도 모든 정수 $k$ $k$에서 성립한다.
구한 도함수 값이 문제 조건과 맞으므로 정답은 $31$ $31$이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

처음 조건은 모든 정수 $k$ $k$를 한꺼번에 다루므로 넓게 보인다.
그런데 양쪽 경계의 차를 계산하면 $4(k+1)(k+2)$ $4(k+1)(k+2)$가 나오고, 이 값이 $0$ $0$이 되는 정수 $k=-2,-1$ $k=-2,-1$에서 평균변화율이 두 등식으로 고정된다.
넓은 부등식 조건 안에 두 개의 강한 등식 조건이 들어 있는 구조이다.

또 하나는 함수값 차이를 계수 정보로 바꾸는 과정이다.
$f(1)-f(-1)$ $f(1)-f(-1)$에서는 짝수차와 상수항이 소거되어 $b$ $b$가 먼저 정해지고, $f(0)-f(-2)$ $f(0)-f(-2)$는 그 $b$ $b$를 받아 $a$ $a$를 정한다.
평균변화율 조건이 도함수 계산에 필요한 계수만 남기도록 연결되어 있다.