중심이 직선 y=x\(y=x\) 위에 있고 두 점 An,Bn\(A_n, B_n\)을 지나는 원이 곡선 y=log2x\(y=\log_2 x\)와 만나는 두 점의 x\(x\)좌표 중 큰 값을 xn\(x_n\)이라 하자. x1+x2+x3\(x_1+x_2+x_3\)의 값은?
①7150\(\dfrac{150}{7}\)
②7155\(\dfrac{155}{7}\)
③7160\(\dfrac{160}{7}\)
④7165\(\dfrac{165}{7}\)
⑤7170\(\dfrac{170}{7}\)
정답
⑤
풀이
풀이 전략
처음에는 원의 중심을 잡기 전에 선분 AnBn\(A_nB_n\)의 모양을 먼저 본다. 기울기 3\(3\)과 길이 n10\(n\sqrt{10}\)은 선분의 가로 변화량과 세로 변화량을 바로 정해 준다.
그 다음에는 중심이 y=x\(y=x\) 위에 있는 원과 y=2x\(y=2^x\), y=log2x\(y=\log_2 x\)의 대칭 관계를 함께 본다. 지수 그래프 위 오른쪽 점의 y\(y\)좌표가 로그 그래프 교점의 큰 x\(x\)좌표로 바뀌는 것이 계산의 목표이다.
선분 AnBn\(A_nB_n\)을 먼저 손으로 재 보자
기울기가 3\(3\)인 선분은 오른쪽으로 1\(1\)만큼 갈 때 위로 3\(3\)만큼 가는 모양이다. 이 기본 이동의 길이는 12+32=10\(\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\)이다.
문제에서 AnBn=n10\(\overline{A_nB_n}=n\sqrt{10}\)이라고 했으므로, 이 선분은 기본 이동 (1,3)\((1,3)\)이 n\(n\)배 늘어난 모습으로 잡힌다. 그림에서 보이듯 실제 선분의 가로 변화량은 n\(n\), 세로 변화량은 3n\(3n\)이다.
기울기 3\(3\)인 기본 이동 (1,3)\((1,3)\)의 길이가 10\(\sqrt{10}\)이므로, 길이 n10\(n\sqrt{10}\)인 선분은 가로 n\(n\), 세로 3n\(3n\)으로 읽힌다.
수식으로 확인해도 같다. 두 점 사이의 가로 변화량을 Δx\(\Delta x\)라고 하면 세로 변화량은 3Δx\(3\Delta x\)이고,
이므로 ∣Δx∣=n\(|\Delta x|=n\)이다. y=2x\(y=2^x\)는 증가함수라서 왼쪽 점에서 오른쪽 점으로 갈 때 가로 변화량은 n\(n\)이고 세로 변화량은 3n\(3n\)이다.
오른쪽 점의 y\(y\)좌표를 목표로 두자
문제에서 묻는 xn\(x_n\)은 로그 그래프와 만나는 점의 큰 x\(x\)좌표이다. 로그 그래프는 지수 그래프를 직선 y=x\(y=x\)에 대하여 접은 그래프이므로, 나중에 로그 그래프의 x\(x\)좌표는 지수 그래프 위 점의 y\(y\)좌표에서 나온다.
두 점의 이름은 필요하면 바꾸어, 오른쪽에 있는 점을 Bn\(B_n\)이라고 두어도 선분과 원 조건은 그대로이다. 그래서 오른쪽 점을 Bn=(b,2b)\(B_n=(b,2^b)\)라고 두고, 왼쪽 점은 가로로 n\(n\)만큼 앞에 있으므로 An=(b−n,2b−n)\(A_n=(b-n,2^{b-n})\)이라고 둔다.
앞에서 세로 변화량이 3n\(3n\)임을 얻었으니 2b−2b−n=3n\(2^b-2^{b-n}=3n\)이다. 여기서 필요한 값은 오른쪽 점의 y\(y\)좌표 2b\(2^b\)이다. 식을 2b\(2^b\) 중심으로 묶으면
이제 원 조건을 연결한다. 원의 중심이 직선 y=x\(y=x\) 위에 있으면 그 원은 직선 y=x\(y=x\)에 대하여 대칭이다. 중심을 (c,c)\((c,c)\)라고 생각하면, 원 위의 점 (u,v)\((u,v)\)를 좌표를 바꾼 (v,u)\((v,u)\)로 옮겨도 중심까지의 거리가 그대로 유지된다.
또 y=log2x\(y=\log_2 x\)는 y=2x\(y=2^x\)를 직선 y=x\(y=x\)에 대하여 대칭이동한 그래프이다. 따라서 An,Bn\(A_n, B_n\)을 직선 y=x\(y=x\)에 대하여 접으면 원 위에 있으면서 동시에 로그 그래프 위에 있는 점들이 된다.
원의 중심이 y=x\(y=x\) 위에 있으므로 원도 대칭이고, Bn=(b,2b)\(B_n=(b,2^b)\)는 Bn′=(2b,b)\(B'_n=(2^b,b)\)로 옮겨져 로그 그래프 위의 큰 x\(x\)좌표 교점이 된다.
특히 오른쪽 점 Bn=(b,2b)\(B_n=(b,2^b)\)는 접은 뒤 (2b,b)\((2^b,b)\)가 된다. 이 점은 로그 그래프 위에 있고, 원 위에도 있다. 왼쪽 점에서 나온 교점의 x\(x\)좌표는 2b−n\(2^{b-n}\)이고 오른쪽 점에서 나온 교점의 x\(x\)좌표는 2b\(2^b\)이다.
문제가 로그 그래프와 만나는 점이 두 개라고 했으므로, 방금 얻은 두 대칭점이 바로 그 두 교점이다. n\(n\)은 자연수이므로 2b>2b−n\(2^b>2^{b-n}\)이다. 따라서 문제에서 말한 큰 x\(x\)좌표는 xn=2b\(x_n=2^b\)이다.
앞에서 구한 식과 맞물리므로
xn=2n−13n⋅2n\[x_n=\frac{3n\cdot2^n}{2^n-1}\]
이다.
n=1,2,3\(n=1,2,3\)만 넣어 합을 구해 보자
이제 문제에서 요구한 것은 x1+x2+x3\(x_1+x_2+x_3\)이다. 일반식에 n=1,2,3\(n=1,2,3\)만 대입하면 된다. 대입 계산은 아래 표처럼 정리된다.
xn=2b=2n−13n⋅2n\(x_n=2^b=\dfrac{3n\cdot2^n}{2^n-1}\)에 n=1,2,3\(n=1,2,3\)을 넣어 6\(6\), 8\(8\), 772\(\dfrac{72}{7}\)을 얻는다.
따라서 x1=6\(x_1=6\), x2=8\(x_2=8\), x3=772\(x_3=\dfrac{72}{7}\)이고,
이 문항은 원, 지수함수, 로그함수가 한꺼번에 등장해서 계산 대상을 크게 잡기 쉽다. 그런데 처음 조건 두 개는 원과 무관하게 선분 AnBn\(A_nB_n\)의 가로 변화량과 세로 변화량을 정한다. 기울기 3\(3\)과 길이 n10\(n\sqrt{10}\)이 함께 보이면 (1,3)\((1,3)\)의 길이가 10\(\sqrt{10}\)이라는 점을 떠올리는 것이 출발점이다.
그 다음에는 y=2x\(y=2^x\)와 y=log2x\(y=\log_2 x\)가 직선 y=x\(y=x\)에 대하여 서로 접히는 관계임을 본다. 원의 중심도 같은 직선 위에 있으므로, 지수 그래프 위의 두 점을 접은 점들이 로그 그래프와 원의 교점으로 이어진다.
결국 이 문항에서 가져갈 관찰은 두 가지이다. 길이 조건은 선분의 변화량을 먼저 정하고, 대칭 조건은 지수 그래프의 y\(y\)좌표를 로그 그래프의 x\(x\)좌표로 바꾼다. 이 두 관찰이 이어지면 계산은 오른쪽 점의 y\(y\)좌표 2b\(2^b\)를 구하는 일로 정리된다.
