∫₁ˣ t f(t)dt + ∫₋₁ˣ t g(t)dt = 3x⁴+8x³−3x² f(x)=xg′(x) f(x), g(x)는 모든 실수에서 정의되는 다항함수이다. 구하는 값은 ∫₀³ g(x)dx이다.

2025학년도 9월 모의평가 수학 15번 풀이 | 변수상한 적분과 곱의 미분 [250915]

문제

문제 텍스트 객관식

두 다항함수 $f(x), g(x)$ $f(x), g(x)$는 모든 실수 $x$ $x$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

\begin{aligned} (\text{가})\ &\int_{1}^{x} t f(t)\,dt+\int_{-1}^{x} t g(t)\,dt=3x^4+8x^3-3x^2 \\ (\text{나})\ &f(x)=xg'(x) \end{aligned}

$\int_{0}^{3} g(x)\,dx$ $\int_{0}^{3} g(x)\,dx$의 값은? [4점]

① $72$ $72$
② $76$ $76$
③ $80$ $80$
④ $84$ $84$
⑤ $88$ $88$

정답

①

풀이

풀이 전략

문제에서 보이는 첫 형태는 상한이 모두 $x$ $x$인 두 적분이다.
조건 (가)를 미분하면 적분 안의 $tf(t)$ $tf(t)$, $tg(t)$ $tg(t)$가 각각 위끝 $x$ $x$에서 나오고, 조건 (나)를 붙이면 $f$ $f$가 들어간 식을 $g$ $g$ 중심으로 바꿀 수 있다.
그 뒤 $xg'(x)+g(x)$ $xg'(x)+g(x)$를 곱의 미분으로 읽어 $g(x)$ $g(x)$를 정하고, 마지막에 $\int_0^3 g(x)\,dx$ $\int_0^3 g(x)\,dx$를 계산한다.

Step 1. 변수상한 적분을 미분한다

왼쪽에는 위끝이 모두 $x$ $x$인 적분이 두 개 있다.
$x$ $x$가 움직이면 적분값도 함께 움직이고, 그 변화율을 보면 적분 안에 있던 식이 위끝 $x$ $x$에서 나온다.
특히 두 적분 안에는 각각 $tf(t)$ $tf(t)$, $tg(t)$ $tg(t)$가 들어 있으므로 미분하면 $xf(x)$ $xf(x)$, $xg(x)$ $xg(x)$가 된다.

다음 그림은 조건 (가)에서 하한은 사라지고 위끝 $x$ $x$가 각 항에 들어가는 흐름을 묶어 보여 준다.
아래쪽의 최종 박스에서 $x$ $x$를 약분한 뒤 다항식 항등식으로 이어지는 지점까지 확인한다.

변수상한 적분을 미분해 f(x)+g(x) 관계식을 얻는 과정 — 위끝이 $x$ $x$인 적분을 미분해 $f(x)+g(x)$ $f(x)+g(x)$ 관계식으로 정리하는 과정

조건 (가)의 양변을 $x$ $x$에 대하여 미분하면 $xf(x)+xg(x)=12x^3+24x^2-6x$ $xf(x)+xg(x)=12x^3+24x^2-6x$이다.
양쪽에 $x$ $x$가 공통으로 들어 있으므로 $x\{f(x)+g(x)\}=x(12x^2+24x-6)$ $x\{f(x)+g(x)\}=x(12x^2+24x-6)$으로 정리된다.

$x\ne0$ $x\ne0$에서 약분하면 $f(x)+g(x)=12x^2+24x-6$ $f(x)+g(x)=12x^2+24x-6$이다.
여기서 양변은 모두 다항식이므로, $x\ne0$ $x\ne0$에서 맞는 등식은 $x=0$ $x=0$에서도 이어진다.
따라서 조건 (가)에서 꺼낼 수 있는 관계식은 $f(x)+g(x)=12x^2+24x-6$ $f(x)+g(x)=12x^2+24x-6$이다.

Step 2. 조건 (나)를 붙여 곱의 미분을 만든다

문제에서 구하려는 값은 $\int_0^3 g(x)\,dx$ $\int_0^3 g(x)\,dx$이다.
앞에서 얻은 $f(x)+g(x)$ $f(x)+g(x)$의 식에 조건 (나)를 붙이면 $f$ $f$가 들어간 자리를 $g$ $g$의 식으로 바꿀 수 있다.

그 대입이 어떻게 곱의 미분 모양으로 잠기는지는 다음 그림의 오른쪽 아래 박스에서 보인다.
$xg'(x)+g(x)$ $xg'(x)+g(x)$ 아래의 표시가 곧 $(xg(x))'$ $(xg(x))'$와 연결된다.

f(x)=xg'(x)를 대입해 xg'(x)+g(x)를 곱의 미분으로 읽는 과정 — 조건 (나)를 대입해 $xg'(x)+g(x)$ $xg'(x)+g(x)$를 $(xg(x))'$ $(xg(x))'$로 읽는 과정

조건 (나)의 $f(x)=xg'(x)$ $f(x)=xg'(x)$를 대입하면 $xg'(x)+g(x)=12x^2+24x-6$ $xg'(x)+g(x)=12x^2+24x-6$이다.
왼쪽에는 $xg'(x)$ $xg'(x)$와 $g(x)$ $g(x)$가 함께 있고, 이는 $xg(x)$ $xg(x)$를 미분했을 때 생기는 모양이다.

(xg(x))'=xg'(x)+g(x)

따라서 식은 $(xg(x))'=12x^2+24x-6$ $(xg(x))'=12x^2+24x-6$으로 바뀐다.

Step 3. 다항함수 조건으로 적분상수를 정한다

앞 식의 왼쪽이 $(xg(x))'$ $(xg(x))'$로 정리되어 있으므로, 적분 결과는 $xg(x)$ $xg(x)$의 식이다.
양변을 적분하면 $xg(x)=4x^3+12x^2-6x+C$ $xg(x)=4x^3+12x^2-6x+C$이다.

이 식에서 $C$ $C$가 남아 있으면 $g(x)$ $g(x)$를 만들 때 $\frac{C}{x}$ $\frac{C}{x}$ 꼴이 생긴다.
그런데 문제는 $g(x)$ $g(x)$가 다항함수라고 했다.
다음 그림의 가운데 빨간 항처럼 $\frac{C}{x}$ $\frac{C}{x}$가 남으면 다항함수 조건과 맞지 않으므로 $C=0$ $C=0$이 된다.

적분상수 C가 C/x 항을 만들기 때문에 다항함수 조건으로 C=0을 정하는 과정 — 다항함수 조건으로 적분상수 $C$ $C$를 걸러 $g(x)$ $g(x)$를 확정하는 과정

같은 말로, $xg(x)$ $xg(x)$는 $x=0$ $x=0$에서 반드시 $0$ $0$이므로 위 식에 $x=0$ $x=0$을 넣어도 $C=0$ $C=0$이 나온다.
따라서 $xg(x)=4x^3+12x^2-6x$ $xg(x)=4x^3+12x^2-6x$이고, $g(x)=4x^2+12x-6$ $g(x)=4x^2+12x-6$이다.

Step 4. 구간 $[0,3]$ $[0,3]$에서 정적분을 계산한다

구하려는 값은 이제 $g(x)$ $g(x)$의 정적분이다.
앞에서 구한 식을 넣으면

\int_0^3 g(x)\,dx =\int_0^3(4x^2+12x-6)\,dx =\left[\frac43x^3+6x^2-6x\right]_0^3 =36+54-18=72

이다.
따라서 정답은 $72$ $72$, 선택지는 ①이다.

미분하는 순간 조건 (가)의 하한 $1$ $1$, $-1$ $-1$은 식에서 사라진다.
구한 함수가 원래 조건까지 맞는지 확인하면 $g(x)=4x^2+12x-6$ $g(x)=4x^2+12x-6$이고, 조건 (나)에 의해 $f(x)=xg'(x)=8x^2+12x$ $f(x)=xg'(x)=8x^2+12x$이다.

이때

\int_1^x tf(t)\,dt =\int_1^x(8t^3+12t^2)\,dt =2x^4+4x^3-6

이고,

\int_{-1}^x tg(t)\,dt =\int_{-1}^x(4t^3+12t^2-6t)\,dt =x^4+4x^3-3x^2+6

이다.
두 식을 더하면 $3x^4+8x^3-3x^2$ $3x^4+8x^3-3x^2$가 되어 조건 (가)와 일치한다.

이 문항에서 어려웠던 지점

이 문항에서 처음 당황할 수 있는 부분은 적분의 하한이 서로 다르다는 점이다.
하지만 상한이 둘 다 $x$ $x$이므로, 먼저 변화율을 보면 하한은 사라지고 $xf(x)+xg(x)$ $xf(x)+xg(x)$라는 한 줄짜리 관계가 나온다.
이때 적분 안에 $t$ $t$가 붙어 있어서 두 항 모두 앞에 $x$ $x$가 생긴다는 점이 중요하다.