함수 f(x)는 x 4이고 a<4이므로 x=k는 Q의 오른쪽에 있다 A=2B는 오른쪽 절반에서 위쪽 넓이 A/2와 아래쪽 넓이 B가 같다는 조건이다

2025학년도 9월 모의평가 수학 13번 풀이 | 대칭과 부호 있는 넓이 [250913]

문제

문제 텍스트 객관식

함수

f(x)= \begin{cases} -x^2-2x+6 & (x<0) \\ -x^2+2x+6 & (x\ge 0) \end{cases}

의 그래프가 $x$ $x$축과 만나는 서로 다른 두 점을 $P, Q$ $P, Q$라 하고, 상수 $k\,(k>4)$ $k\,(k>4)$에 대하여 직선 $x=k$ $x=k$가 $x$ $x$축과 만나는 점을 $R$ $R$이라 하자. 곡선 $y=f(x)$ $y=f(x)$와 선분 $PQ$ $PQ$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $A$ $A$, 곡선 $y=f(x)$ $y=f(x)$와 직선 $x=k$ $x=k$ 및 선분 $QR$ $QR$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $B$ $B$라 하자. $A=2B$ $A=2B$일 때, $k$ $k$의 값은? 단, 점 $P$ $P$의 $x$ $x$좌표는 음수이다.

① $\dfrac{9}{2}$ $\dfrac{9}{2}$
② $5$ $5$
③ $\dfrac{11}{2}$ $\dfrac{11}{2}$
④ $6$ $6$
⑤ $\dfrac{13}{2}$ $\dfrac{13}{2}$

정답

④

풀이

풀이 전략

넓이 $A$ $A$와 $B$ $B$는 모두 $x$ $x$축을 경계로 하므로, 먼저 $x$ $x$축과 만나는 점을 잡는다.
조각함수에서는 근을 구한 뒤 그 근이 해당 조각의 정의구간에 들어가는지까지 확인해야 실제 교점이 정해진다.

그다음 두 교점이 $P=(-a,0)$ $P=(-a,0)$, $Q=(a,0)$ $Q=(a,0)$로 대칭임을 이용해 $A$ $A$를 오른쪽 절반 넓이의 두 배로 읽는다.
$A=2B$ $A=2B$는 오른쪽 절반에서 $A/2=B$ $A/2=B$라는 뜻이므로, 오른쪽 가지의 양의 넓이와 음의 넓이를 부호 있는 적분으로 묶는다.

먼저 $x$ $x$축과 만나는 곳부터 표시해보자

왼쪽 가지는 $x<0$ $x<0$에서 $-x^2-2x+6$ $-x^2-2x+6$, 오른쪽 가지는 $x\ge0$ $x\ge0$에서 $-x^2+2x+6$ $-x^2+2x+6$이다.
각각 $x$ $x$축과 만나는 후보를 구하면 다음과 같다.

조각함수의 근 후보를 정의구간으로 걸러 P와 Q의 대칭을 확인하는 그래프 — 정의구간에 맞는 근만 남기면 $P=(-a,0)$ $P=(-a,0)$, $Q=(a,0)$ $Q=(a,0)$의 대칭 구조가 보인다.

왼쪽 식에서는

-x^2-2x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x=-1\pm\sqrt7

이고, 오른쪽 식에서는

-x^2+2x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x=1\pm\sqrt7

이다.

왼쪽 식은 $x<0$ $x<0$에서만 쓰이므로 실제 왼쪽 교점은 $x=-1-\sqrt7$ $x=-1-\sqrt7$이다.
오른쪽 식은 $x\ge0$ $x\ge0$에서만 쓰이므로 실제 오른쪽 교점은 $x=1+\sqrt7$ $x=1+\sqrt7$이다.

$a=1+\sqrt7$ $a=1+\sqrt7$로 두면 두 교점은 $P=(-a,0)$ $P=(-a,0)$, $Q=(a,0)$ $Q=(a,0)$이다.
양쪽 교점이 원점에서 같은 거리만큼 떨어져 있으므로, 그래프는 $y$ $y$축에 대해 대칭인 모양이다.
실제로 $f(x)=-x^2+2|x|+6$ $f(x)=-x^2+2|x|+6$처럼 읽을 수 있다.

오른쪽 절반에서 위쪽 넓이와 아래쪽 넓이를 비교해보자

대칭이 보이면 $A$ $A$를 오른쪽 절반만으로 읽을 수 있다.
$A$ $A$는 $[-a,a]$ $[-a,a]$에서 그래프와 $x$ $x$축 사이의 넓이이고, $y$ $y$축이 그 넓이를 반으로 나눈다.
따라서 $A$ $A$의 절반은 $0\le x\le a$ $0\le x\le a$에서의 넓이이다.

이제 $k>4$ $k>4$의 위치를 확인한다.
$a=1+\sqrt7<4$ $a=1+\sqrt7<4$이므로 $k>4$ $k>4$이면 $k>a$ $k>a$이다.
즉 $x=k$ $x=k$는 오른쪽 교점 $Q$ $Q$보다 오른쪽에 있다.

오른쪽 가지를 $g(x)=-x^2+2x+6$ $g(x)=-x^2+2x+6$이라고 하자.
아래 그림처럼 $0\le x\le a$ $0\le x\le a$에서는 $g(x)\ge0$ $g(x)\ge0$, $a\le x\le k$ $a\le x\le k$에서는 $g(x)\le0$ $g(x)\le0$이다.

오른쪽 가지에서 A의 절반과 B가 부호 있는 넓이로 상쇄되는 장면 — $A=2B$ $A=2B$는 오른쪽 절반에서 위쪽 넓이 $A/2$ $A/2$와 아래쪽 넓이 $B$ $B$가 같다는 뜻이다.

조건 $A=2B$ $A=2B$는 곧 $A$ $A$의 절반이 $B$ $B$와 같다는 말이다.
따라서 오른쪽 가지에서 $0\le x\le a$ $0\le x\le a$의 위쪽 넓이와 $a\le x\le k$ $a\le x\le k$의 아래쪽 넓이가 서로 같다.

이 관계를 부호 있는 적분으로 쓰면 위쪽 넓이는 양수로, 아래쪽 넓이는 음수로 들어간다.
두 크기가 같으므로 합은 $0$ $0$이다.

\int_0^k g(x)\,dx=0

오른쪽 가지 하나만 적분해보자

이제 남은 계산은 $g(x)=-x^2+2x+6$ $g(x)=-x^2+2x+6$의 정적분이다.

정적분 조건을 인수분해해 k가 6임을 고르는 계산 — $\int_0^k g(x)\,dx=0$ $\int_0^k g(x)\,dx=0$을 계산하면 후보 $0,-3,6$ $0,-3,6$이 나오고, $k>4$ $k>4$에서 $6$ $6$만 남는다.

계산의 출발식은

\int_0^k (-x^2+2x+6)\,dx=0

이다.
원시함수를 대입하면

\left[-\frac{x^3}{3}+x^2+6x\right]_0^k=0

이므로 $-\frac{k^3}{3}+k^2+6k=0$ $-\frac{k^3}{3}+k^2+6k=0$이다.
양변에 $-3$ $-3$을 곱해 분수를 없애면

k^3-3k^2-18k=0

이고, 모든 항에 공통으로 들어 있는 $k$ $k$를 묶으면

k(k^2-3k-18)=0

이다.
곱해서 $-18$ $-18$, 더해서 $-3$ $-3$이 되는 두 수는 $-6$ $-6$과 $3$ $3$이므로 $k^2-3k-18=(k-6)(k+3)$ $k^2-3k-18=(k-6)(k+3)$으로 인수분해된다.
따라서

k(k-6)(k+3)=0

이고, 처음에 곱했던 $-3$ $-3$을 다시 나누어 원래 부호로 돌아오면

-\frac13 k(k+3)(k-6)=0

이다.

따라서 후보는 $k=0,-3,6$ $k=0,-3,6$이고, 조건 $k>4$ $k>4$에 맞는 값은 $k=6$ $k=6$이다.

마지막으로 조건에 다시 맞춰보자

$k=6$ $k=6$은 $k>4$ $k>4$를 만족한다.
또한

\left[-\frac{x^3}{3}+x^2+6x\right]_0^6 =-\frac{216}{3}+36+36=0

이므로 $0$ $0$부터 $a$ $a$까지의 위쪽 넓이와 $a$ $a$부터 $6$ $6$까지의 아래쪽 넓이가 같은 크기이다.
따라서 $A$ $A$의 절반이 $B$ $B$이고, 원래 조건 $A=2B$ $A=2B$도 성립한다.

따라서 정답은 ④이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

이 문항은 적분 계산보다 구간을 어떻게 보는지가 더 까다롭다.
조각함수에서 근을 구할 때는 각 근이 해당 조각의 정의구간에 들어가는지 확인해야 한다.
이 확인을 거쳐야 $P=(-a,0)$ $P=(-a,0)$, $Q=(a,0)$ $Q=(a,0)$라는 대칭 구조가 보인다.