k는 양수이고 a₁=k이다 a₂a₃<0이므로 a₂와 a₃의 부호가 서로 달라야 한다 모든 자연수 n에 대해 두 인수의 곱이 0이므로 한 단계 움직임은 S 또는 M으로 갈라진다 a₅=0이 되도록 하는 모든 양수 k에 대해 k² 값의 합을 구한다

2025학년도 9월 모의평가 수학 22번 풀이 | 점화식 분기와 역방향 추적 [250922]

문제

문제 텍스트 주관식

양수 $k$ $k$에 대하여 $a_1=k$ $a_1=k$인 수열 $\{a_n\}$ $\{a_n\}$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $a_2 \times a_3 < 0$ $a_2 \times a_3 < 0$

(나) 모든 자연수 $n$ $n$에 대하여

\left(a_{n+1}-a_n+\frac{2}{3}k\right)\left(a_{n+1}+ka_n\right)=0

이다. $a_5=0$ $a_5=0$이 되도록 하는 서로 다른 모든 양수 $k$ $k$에 대하여 $k^2$ $k^2$의 값의 합을 구하시오. [4점]

정답

풀이

풀이 전략

조건 (나)는 한 단계의 이동이 두 갈래로 나뉜다는 뜻이다.
먼저 $a_1=k$ $a_1=k$에서 두 칸만 움직여 조건 (가)를 통과하는 $a_3$ $a_3$ 후보를 찾고, 끝 조건 $a_5=0$ $a_5=0$에서는 두 칸 거꾸로 당겨 또 다른 $a_3$ $a_3$ 후보를 만든다.
두 후보 집합을 같은 자리 $a_3$ $a_3$에서 맞추면 가능한 $k^2$ $k^2$ 값이 정리된다.

$a_1$ $a_1$에서 두 칸만 움직여 보자

두 인수의 곱이 $0$ $0$이므로 각 자연수 $n$ $n$에 대해

a_{n+1}=a_n-\frac{2}{3}k \quad\text{또는}\quad a_{n+1}=-ka_n

이다.
첫 번째 움직임을 $S$ $S$, 두 번째 움직임을 $M$ $M$이라고 두자.

$a_1=k$ $a_1=k$이고 $k>0$ $k>0$이므로 첫 움직임에서 $a_2$ $a_2$의 부호가 바로 갈린다.
$S$ $S$이면 $a_2=\dfrac{k}{3}>0$ $a_2=\dfrac{k}{3}>0$이고, $M$ $M$이면 $a_2=-k^2<0$ $a_2=-k^2<0$이다.
조건 (가)는 $a_2a_3<0$ $a_2a_3<0$이므로, 아래 필기처럼 처음 두 움직임의 부호를 비교한다.

처음 두 움직임 SS, SM, MS, MM의 a2와 a3 부호를 비교해 조건 가를 통과하는 경로를 찾는 표 — 처음 두 칸을 써 보며 $a_2a_3<0$ $a_2a_3<0$을 만족하는 시작 경로를 거르는 표

표에서 $MS$ $MS$는 $a_2$ $a_2$와 $a_3$ $a_3$가 모두 음수라 조건 (가)에 맞지 않는다.
따라서 조건 (가)를 통과한 뒤의 $a_3$ $a_3$는 $-\dfrac{k}{3},-\dfrac{k^2}{3},k^3$ $-\dfrac{k}{3},-\dfrac{k^2}{3},k^3$ 중 하나이다.
각각의 시작 움직임은 $SS,SM,MM$ $SS,SM,MM$이다.

$a_5=0$ $a_5=0$에서 두 칸 거꾸로 당겨 보자

앞에서는 $a_1$ $a_1$에서 $a_3$ $a_3$까지 왔다.
이제 뒤에서는 $a_5=0$ $a_5=0$에서 $a_3$ $a_3$까지 거꾸로 당겨 본다.
앞뒤가 모두 $a_3$ $a_3$에서 만나므로 가능한 값을 서로 맞추면 된다.

한 단계의 움직임을 거꾸로 읽으면 $S$ $S$였을 때는 $a_n=a_{n+1}+\dfrac{2}{3}k$ $a_n=a_{n+1}+\dfrac{2}{3}k$이고, $M$ $M$였을 때는 $a_n=-\dfrac{1}{k}a_{n+1}$ $a_n=-\dfrac{1}{k}a_{n+1}$이다.
여기서 $k>0$ $k>0$이므로 $M$ $M$도 거꾸로 나누어 읽을 수 있다.

a5가 0일 때 마지막 두 움직임을 거꾸로 읽어 가능한 a4와 a3 후보를 찾는 흐름도 — $a_5=0$ $a_5=0$에서 두 칸 거꾸로 당겨 뒤쪽 $a_3$ $a_3$ 후보를 만드는 흐름

위 흐름도에서 $a_5=0$ $a_5=0$에서 한 칸 거꾸로 가면 $a_4$ $a_4$는 $\dfrac{2}{3}k$ $\dfrac{2}{3}k$ 또는 $0$ $0$이다.
여기서 한 칸 더 거꾸로 가면 뒤에서 온 $a_3$ $a_3$ 후보는 $\dfrac{4}{3}k,-\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}k,0$ $\dfrac{4}{3}k,-\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}k,0$ 네 가지가 된다.

앞에서 온 $a_3$ $a_3$와 뒤에서 온 $a_3$ $a_3$를 맞춰 보자

앞에서 얻은 $a_3$ $a_3$는 $-\dfrac{k}{3},-\dfrac{k^2}{3},k^3$ $-\dfrac{k}{3},-\dfrac{k^2}{3},k^3$이고, 뒤에서 얻은 $a_3$ $a_3$는 $\dfrac{4}{3}k,-\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}k,0$ $\dfrac{4}{3}k,-\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}k,0$이다.
부호를 함께 보면 연결할 후보가 줄어든다.

앞에서 온 a3 후보와 뒤에서 온 a3 후보를 부호별로 연결해 k제곱 값을 구하는 매칭 다이어그램 — 앞뒤 $a_3$ $a_3$ 후보를 부호가 맞는 것끼리 연결해 $k^2$ $k^2$ 값을 얻는 계산

앞에서 온 음수 후보는 뒤에서 온 음수 후보 $-\dfrac{2}{3}$ $-\dfrac{2}{3}$과 맞춘다.

-\frac{k}{3}=-\frac{2}{3} \quad\text{또는}\quad -\frac{k^2}{3}=-\frac{2}{3}

따라서 $k=2$ $k=2$ 또는 $k^2=2$ $k^2=2$이고, 여기서 나오는 $k^2$ $k^2$ 값은 $4,2$ $4,2$이다.

앞에서 온 양수 후보는 $k^3$ $k^3$뿐이다.
뒤에서 온 양수 후보는 $\dfrac{4}{3}k,\dfrac{2}{3}k$ $\dfrac{4}{3}k,\dfrac{2}{3}k$이므로

k^3=\frac{4}{3}k \quad\text{또는}\quad k^3=\frac{2}{3}k

이다.
$k>0$ $k>0$이므로 각각 $k^2=\dfrac{4}{3}$ $k^2=\dfrac{4}{3}$, $k^2=\dfrac{2}{3}$ $k^2=\dfrac{2}{3}$을 얻는다.

정리하면 가능한 값은 $k^2=4,2,\dfrac{4}{3},\dfrac{2}{3}$ $k^2=4,2,\dfrac{4}{3},\dfrac{2}{3}$이다.

움직임이 실제로 이어지는지 확인하자

값을 맞춘 식마다 앞쪽 움직임과 뒤쪽 움직임이 붙어 하나의 수열 경로가 된다.

$k^2$ $k^2$	앞의 두 움직임	뒤의 두 움직임	전체 움직임	확인
$4$ $4$	$SS$ $SS$	$MS$ $MS$	$SSMS$ $SSMS$	$a_2>0,\ a_3<0,\ a_5=0$ $a_2>0,\ a_3<0,\ a_5=0$
$2$ $2$	$SM$ $SM$	$MS$ $MS$	$SMMS$ $SMMS$	$a_2>0,\ a_3<0,\ a_5=0$ $a_2>0,\ a_3<0,\ a_5=0$
$\dfrac{4}{3}$ $\dfrac{4}{3}$	$MM$ $MM$	$SS$ $SS$	$MMSS$ $MMSS$	$a_2<0,\ a_3>0,\ a_5=0$ $a_2<0,\ a_3>0,\ a_5=0$
$\dfrac{2}{3}$ $\dfrac{2}{3}$	$MM$ $MM$	$SM$ $SM$	$MMSM$ $MMSM$	$a_2<0,\ a_3>0,\ a_5=0$ $a_2<0,\ a_3>0,\ a_5=0$

모두 $k>0$ $k>0$인 값을 만들고, 조건 (가)와 $a_5=0$ $a_5=0$을 동시에 만족한다.
따라서 서로 다른 모든 양수 $k$ $k$에 대한 $k^2$ $k^2$의 값의 합은

4+2+\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=8

이다.
정답은 $\boxed{8}$ $\boxed{8}$이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

곱이 $0$ $0$인 점화 조건을 보면 한 단계마다 움직임이 갈라진다.
처음부터 네 번의 움직임을 모두 길게 펼치면 경우가 많아 보이지만, 조건 (가)는 처음 두 칸에서 $a_2$ $a_2$와 $a_3$ $a_3$의 부호가 달라지는 시작만 남긴다.

또 $a_5=0$ $a_5=0$은 끝에서 거꾸로 읽기 좋은 조건이다.
앞에서는 조건 (가) 때문에 $a_3$ $a_3$까지 가고, 뒤에서는 $a_5=0$ $a_5=0$ 때문에 $a_3$ $a_3$까지 당겨 온다.
이렇게 같은 자리에서 값을 맞추면 남은 계산이 짧아지고, 어떤 움직임이 실제로 이어지는지도 표에서 바로 확인된다.

문항코드: 250922

$k^2$ \(k^2\)	앞의 두 움직임	뒤의 두 움직임	전체 움직임	확인
$4$ \(4\)	$SS$ \(SS\)	$MS$ \(MS\)	$SSMS$ \(SSMS\)	$a_2>0,\ a_3<0,\ a_5=0$ \(a_2>0,\ a_3<0,\ a_5=0\)
$2$ \(2\)	$SM$ \(SM\)	$MS$ \(MS\)	$SMMS$ \(SMMS\)	$a_2>0,\ a_3<0,\ a_5=0$ \(a_2>0,\ a_3<0,\ a_5=0\)
$\dfrac{4}{3}$ \(\dfrac{4}{3}\)	$MM$ \(MM\)	$SS$ \(SS\)	$MMSS$ \(MMSS\)	$a_2<0,\ a_3>0,\ a_5=0$ \(a_2<0,\ a_3>0,\ a_5=0\)
$\dfrac{2}{3}$ \(\dfrac{2}{3}\)	$MM$ \(MM\)	$SM$ \(SM\)	$MMSM$ \(MMSM\)	$a_2<0,\ a_3>0,\ a_5=0$ \(a_2<0,\ a_3>0,\ a_5=0\)

2025학년도 9월 모의평가 수학 22번 풀이 | 점화식 분기와 역방향 추적

정답

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