최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)와 k≥0에 대해 g(x)는 x≤k에서 2x-k, x>k에서 f(x)로 정의된다. g(x)는 실수 전체에서 증가하고 미분가능하다. 모든 실수 x에 대해 ∫₀ˣ g(t){|t(t-1)|+t(t-1)}dt ≥ 0이다. 모든 실수 x에 대해 ∫₃ˣ g(t){|(t-1)(t+2)|-(t-1)(t+2)}dt ≥ 0이다. g(k+1)의 최솟값을 구한다.

2025학년도 6월 모의평가 수학 15번 풀이 | 적분 부등식과 조각함수 증가 조건

2025학년도 6월 모의평가 수학 15번은 두 적분 부등식에서 절댓값 가중치가 남는 구간을 분리하고, g(t)의 영점과 부호를 k=2로 고정한 뒤 조각함수의 미분가능성과 증가 조건으로 g(k+1)의 최솟값 5-√6을 구하는 풀이이다. t≤0 구간이 새 제한이 되지 않는 이유도 함께 정리한다.

문항코드: 250615
정답: ②
발행: 2026년 6월 30일
수정: 2026년 7월 1일

정답

②

핵심 요약

절댓값 가중치 구간을 나누어 g의 부호 기준점 k/2가 1임을 얻고, k=2에서 미분가능 조건과 증가 조건의 경계 a=-√6을 찾는다.

문제

문제 텍스트 객관식

최고차항의 계수가 $1$ $1$인 삼차함수 $f(x)$ $f(x)$와 상수 $k(k \ge 0)$ $k(k \ge 0)$에 대하여 함수

g(x)= \begin{cases} 2x-k & (x \le k) \\ f(x) & (x>k) \end{cases}

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $g(x)$ $g(x)$는 실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능하다.

(나) 모든 실수 $x$ $x$에 대하여

\int_0^x g(t)\{|t(t-1)|+t(t-1)\}\,dt \ge 0

\int_3^x g(t)\{|(t-1)(t+2)|-(t-1)(t+2)\}\,dt \ge 0

이다.

$g(k+1)$ $g(k+1)$의 최솟값은? [4점]

① $4-\sqrt{6}$ $4-\sqrt{6}$
② $5-\sqrt{6}$ $5-\sqrt{6}$
③ $6-\sqrt{6}$ $6-\sqrt{6}$
④ $7-\sqrt{6}$ $7-\sqrt{6}$
⑤ $8-\sqrt{6}$ $8-\sqrt{6}$

정답

②

풀이

풀이 전략

두 적분식에서 절댓값이 남기는 가중치를 먼저 나누면, 부등식은 $g(t)$ $g(t)$의 부호가 어느 구간에서 맞아야 하는지를 묻는 형태가 된다.
왼쪽 조각 $2t-k$ $2t-k$의 영점 $t=\frac{k}{2}$ $t=\frac{k}{2}$를 부호 기준점으로 놓고 두 적분 조건을 함께 적용하면 $k=2$ $k=2$가 정해진다.
이후 미분가능 조건으로 삼차함수의 형태를 줄이고, 증가 조건을 도함수의 최솟값으로 확인해 $g(k+1)$ $g(k+1)$의 최솟값을 구한다.

Step 1. 절댓값 가중치 구간

문제를 받으면 두 적분식이 가장 길게 보인다.
이때 적분값을 전개하기 전에, 절댓값이 어느 구간에서 $0$ $0$이 되고 어느 구간에서 양의 가중치로 남는지 표시한다.
적분 부등식은 결국 $g(t)$ $g(t)$의 부호가 어느 구간에서 맞아야 하는지를 묻는 형태가 된다.

첫 번째 가중치를 $h_1(t)$ $h_1(t)$, 두 번째 가중치를 $h_2(t)$ $h_2(t)$라고 두면 다음과 같다.

h_1(t)=|t(t-1)|+t(t-1) = \begin{cases} 2t(t-1) & (t\le 0 \text{ 또는 } t\ge 1),\\ 0 & (0<t<1) \end{cases}

또 두 번째 가중치는 다음과 같이 정리된다.

h_2(t)=|(t-1)(t+2)|-(t-1)(t+2) = \begin{cases} -2(t-1)(t+2) & (-2<t<1),\\ 0 & (t\le -2 \text{ 또는 } t\ge 1) \end{cases}

두 가중치는 모두 음수가 되지 않는다.
첫 번째 식은 $1$ $1$ 오른쪽에서 $g(t)$ $g(t)$의 부호를 확인하고, 두 번째 식은 $1$ $1$ 왼쪽에서 $g(t)$ $g(t)$의 부호를 확인한다.

절댓값을 푼 뒤에는 적분식 전체보다 양의 가중치가 남는 구간을 먼저 보는 것이 흐름을 단순하게 만든다.
두 가중치가 살아 있는 구간을 표시하면 $h_1$ $h_1$은 $1$ $1$ 오른쪽, $h_2$ $h_2$는 $1$ $1$ 왼쪽의 $g(t)$ $g(t)$ 부호를 확인하게 한다.

두 절댓값 가중치 h1과 h2가 양수로 남는 구간과 g(t)의 부호 조건 — 양의 가중치가 남는 구간과 g(t)의 부호 조건

Step 2. 영점과 적분 부호 조건

그림에서 부호가 갈리는 기준은 $g(t)$ $g(t)$의 영점이다.
조각함수의 왼쪽 식은 $2t-k$ $2t-k$이다.
$k\ge 0$ $k\ge 0$이므로 $\frac{k}{2}\le k$ $\frac{k}{2}\le k$이고, 따라서 $t=\frac{k}{2}$ $t=\frac{k}{2}$는 왼쪽 조각 안에 들어간다.
이 점에서 $g\left(\frac{k}{2}\right)=2\cdot\frac{k}{2}-k=0$ $g\left(\frac{k}{2}\right)=2\cdot\frac{k}{2}-k=0$이다.

또 $g$ $g$는 증가함수이다.
그래서 $\frac{k}{2}$ $\frac{k}{2}$는 $g(t)$ $g(t)$의 부호가 갈리는 기준점으로 볼 수 있다.
$\frac{k}{2}$ $\frac{k}{2}$보다 왼쪽에서는 $g(t)\le 0$ $g(t)\le 0$, 오른쪽에서는 $g(t)\ge 0$ $g(t)\ge 0$이어야 한다.
이제 두 적분 조건이 이 기준점의 위치를 어디로 밀어 넣는지 본다.

$h_1(t)$ $h_1(t)$는 $t\le 0$ $t\le 0$에서도 양수로 남지만, $\frac{k}{2}\ge 0$ $\frac{k}{2}\ge 0$이므로 $t\le 0$ $t\le 0$에서는 이미 $g(t)\le 0$ $g(t)\le 0$이다.
따라서 $x<0$ $x<0$일 때는 $\int_0^x=-\int_x^0$ $\int_0^x=-\int_x^0$의 방향 때문에 이 부분이 새 제한을 만들지 않고, 첫 번째 적분에서 새로 확인할 곳은 $1$ $1$ 오른쪽이다.

첫 번째 적분은 $x>1$ $x>1$에서 다음과 같이 바뀐다.

\int_0^x g(t)h_1(t)\,dt =\int_1^x 2t(t-1)g(t)\,dt

$t>1$ $t>1$에서는 $2t(t-1)>0$ $2t(t-1)>0$이다.
이 구간에서 적분값이 모든 $x$ $x$에 대해 음수가 되지 않으려면, $1$ $1$ 오른쪽에서 $g(t)\ge 0$ $g(t)\ge 0$인 상태가 되어야 한다.
부호 기준점이 $1$ $1$ 오른쪽에 있으면 $1$ $1$ 바로 오른쪽에서 $g(t)<0$ $g(t)<0$인 구간이 생긴다.
따라서 $\frac{k}{2}\le 1$ $\frac{k}{2}\le 1$, 즉 $k\le 2$ $k\le 2$이다.

두 번째 적분은 $x<1$ $x<1$에서 다음과 같이 바뀐다.

\int_3^x g(t)h_2(t)\,dt =-\int_x^1 g(t)\{-2(t-1)(t+2)\}\,dt

$-2<t<1$ $-2<t<1$에서는 $-2(t-1)(t+2)>0$ $-2(t-1)(t+2)>0$이다.
앞에 음수 부호가 있으므로, $1$ $1$ 왼쪽에서 적분값이 음수가 되지 않으려면 $g(t)\le 0$ $g(t)\le 0$인 상태가 되어야 한다.
부호 기준점이 $1$ $1$ 왼쪽에 있으면 $1$ $1$ 바로 왼쪽에서 $g(t)>0$ $g(t)>0$인 구간이 생긴다.
따라서 $\frac{k}{2}\ge 1$ $\frac{k}{2}\ge 1$, 즉 $k\ge 2$ $k\ge 2$이다.

두 조건을 함께 보면 $k=2$ $k=2$이다.
이때 부호 기준점은 정확히 $t=1$ $t=1$이고, 따라서 $g(1)=0$ $g(1)=0$도 함께 확인된다.

영점 $t=\frac{k}{2}$ $t=\frac{k}{2}$를 수직선 위에 놓으면 두 적분 조건이 서로 반대 방향에서 이 점을 $1$ $1$로 밀어 넣는 구조가 보인다.

왼쪽 조각 g(t)=2t-k의 영점 k/2와 두 적분 조건이 k=2를 만드는 수직선 — g(t)의 부호 기준점 t = k/2와 k = 2 결정

Step 3. 미분가능 조건과 삼차함수 정리

이제 조각이 바뀌는 지점은 $x=2$ $x=2$이다.
$g$ $g$가 실수 전체에서 미분가능하다는 조건은 이 지점에서 왼쪽 직선과 오른쪽 삼차함수가 함수값과 기울기를 함께 맞춘다는 뜻이다.

왼쪽 식은 $2x-2$ $2x-2$이므로 $x=2$ $x=2$에서 함수값은 $2$ $2$, 기울기는 $2$ $2$이다.
따라서 $f(2)=2,\ f'(2)=2$ $f(2)=2,\ f'(2)=2$이다.

구하려는 값은 $g(k+1)=g(3)=f(3)$ $g(k+1)=g(3)=f(3)$이다.
조건이 $x=2$ $x=2$에 모여 있으므로, $x=2$ $x=2$를 기준으로 삼차함수를 옮겨 쓰면 남는 계수가 한눈에 보인다.
$y=x-2$ $y=x-2$, $h(y)=f(2+y)-2$ $h(y)=f(2+y)-2$라고 두자.
그러면 $h$ $h$는 최고차항의 계수가 $1$ $1$인 삼차식이고 $h(0)=0,\ h'(0)=2$ $h(0)=0,\ h'(0)=2$를 만족한다.

따라서 $h(y)=y^3+ay^2+2y$ $h(y)=y^3+ay^2+2y$로 쓸 수 있다.
이제 $f(3)=2+h(1)$ $f(3)=2+h(1)$이므로 $g(k+1)=f(3)=2+(1+a+2)=5+a$ $g(k+1)=f(3)=2+(1+a+2)=5+a$이다.
남은 계산은 증가 조건이 $a$ $a$를 어디까지 허용하는지 확인하는 것이다.

Step 4. 증가 조건의 경계

$x>2$ $x>2$에서는 $g(x)=f(x)$ $g(x)=f(x)$이다.
$g$ $g$가 증가함수이므로 오른쪽 삼차함수도 $x>2$ $x>2$에서 증가해야 한다.
$y=x-2$ $y=x-2$로 옮긴 식에서는 $y>0$ $y>0$에서 $h'(y)=3y^2+2ay+2\ge 0$ $h'(y)=3y^2+2ay+2\ge 0$이어야 한다.

$g(k+1)=5+a$ $g(k+1)=5+a$이므로 값을 작게 만들려면 $a$ $a$가 음수 쪽으로 내려간다.
$a<0$ $a<0$일 때 이 이차식의 꼭짓점은 $y=-\frac a3>0$ $y=-\frac a3>0$에 있어 실제 확인 구간 안에 들어온다.
따라서 꼭짓점에서의 최솟값을 보면 된다.

이때의 시각적 경계는 도함수 포물선이 $h'(y)=0$ $h'(y)=0$에 접하는 순간이다.
포물선이 그 아래로 내려가면 $y>0$ $y>0$에서 증가 조건이 깨지고, 접하는 순간이 $a$ $a$를 가장 작게 만들 수 있는 마지막 위치이다.
따라서 증가 조건은 꼭짓점의 최솟값이 $0$ $0$ 이상이라는 계산으로 이어진다.

도함수 h'(y)의 포물선이 h'(y)=0에 접하는 증가 조건의 경계 — 증가 조건을 만족하는 도함수 포물선의 경계

\min_{y>0}h'(y)=2-\frac{a^2}{3}

이 값이 음수가 되지 않아야 하므로 $2-\frac{a^2}{3}\ge 0$ $2-\frac{a^2}{3}\ge 0$, 즉 $a^2\le 6$ $a^2\le 6$이다.
$5+a$ $5+a$를 가장 작게 만드는 값은 $a=-\sqrt6$ $a=-\sqrt6$이다.

이때 $h'(y)=3y^2-2\sqrt6\,y+2$ $h'(y)=3y^2-2\sqrt6\,y+2$이고 판별식은 $24-24=0$ $24-24=0$이다.
도함수는 $0$ $0$ 아래로 내려가지 않으므로 증가 조건과 맞는다.
따라서 최솟값은 $g(k+1)=5-\sqrt6$ $g(k+1)=5-\sqrt6$이다.

Step 5. 원래 조건 확인

$k=2$ $k=2$, $a=-\sqrt6$ $a=-\sqrt6$일 때 다음과 같이 둘 수 있다.

f(x)=2+(x-2)^3-\sqrt6(x-2)^2+2(x-2)

이 함수는 $f(2)=2$ $f(2)=2$, $f'(2)=2$ $f'(2)=2$를 만족하므로 $x=2$ $x=2$에서 왼쪽 직선 $2x-2$ $2x-2$와 매끄럽게 이어진다.

또 $f'(x)=3(x-2)^2-2\sqrt6(x-2)+2$ $f'(x)=3(x-2)^2-2\sqrt6(x-2)+2$이고 판별식이 $0$ $0$이므로 $x>2$ $x>2$에서 $f'(x)\ge 0$ $f'(x)\ge 0$이다.
왼쪽 구간에서는 $g(x)=2x-2$ $g(x)=2x-2$이므로 증가한다.
따라서 $g$ $g$는 전체에서 증가한다.

마지막으로 $g(1)=0$ $g(1)=0$이다.
증가함수이므로 $1$ $1$ 오른쪽에서는 $g(t)\ge 0$ $g(t)\ge 0$, $1$ $1$ 왼쪽에서는 $g(t)\le 0$ $g(t)\le 0$이다.
두 적분식의 양의 가중치가 붙는 구간과 부호가 맞아 원래 부등식도 성립한다.
정답은 ② $5-\sqrt6$ $5-\sqrt6$이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

적분 부등식이 길어 보이지만, 절댓값을 풀면 양의 가중치가 남는 구간만 보인다.
여기에 $g$ $g$의 왼쪽 직선이 만드는 영점 $t=\frac{k}{2}$ $t=\frac{k}{2}$를 함께 놓으면, 첫 번째 적분은 $\frac{k}{2}\le 1$ $\frac{k}{2}\le 1$, 두 번째 적분은 $\frac{k}{2}\ge 1$ $\frac{k}{2}\ge 1$을 요구한다.

그 다음 계산은 $k=2$ $k=2$에서 미분가능 조건을 쓰는 흐름이다.
$x=2$ $x=2$를 기준으로 $h(y)=f(2+y)-2$ $h(y)=f(2+y)-2$라고 옮기면 $h(y)=y^3+ay^2+2y$ $h(y)=y^3+ay^2+2y$만 남고, $g(3)=5+a$ $g(3)=5+a$가 된다.
비슷한 조각함수와 적분 조건 문제에서는 양의 가중치가 남는 구간과 함수의 부호 기준점을 같은 수직선 위에 놓아 보는 것이 출발점이 된다.

문항코드: 250615

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