Sₘ은 수열 {aₙ}의 첫째항부터 제m항까지의 합이다. 모든 자연수 m에 대해 Sₘ=Σ(n=1→∞) (m+1)/(n(n+m+1))이다. a₁+a₁₀=q/p이고 p, q는 서로소인 자연수이다. 구하는 값은 p+q이다.

2025학년도 9월 고3 모의평가 수학 미적분 29번 풀이 | 망원급수와 부분합 차분 [250929c]

문제

문제 텍스트 주관식

수열 $\{a_n\}$ $\{a_n\}$의 첫째항부터 제 $m$ $m$항까지의 합은 $S_m$ $S_m$이라 하자. 모든 자연수 $m$ $m$에 대하여

S_m=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{m+1}{n(n+m+1)}

일 때, $a_1+a_{10}=\frac{q}{p}$ $a_1+a_{10}=\frac{q}{p}$이다. $p+q$ $p+q$의 값을 구하시오. 단, $p$ $p$와 $q$ $q$는 서로소인 자연수이다. [4점]

정답

풀이

풀이 전략

오른쪽 무한급수의 한 항에서 분모 두 인수의 간격을 먼저 본다.
간격이 분자 $m+1$ $m+1$과 같으므로 한 항을 두 분수의 차로 바꿀 수 있고, 유한 부분합에서 같은 분모끼리 짝을 맞추면 $S_m$ $S_m$이 앞쪽 조화합으로 정리된다.
이후 목표값에 필요한 $S_1$ $S_1$, $S_9$ $S_9$, $S_{10}$ $S_{10}$만 계산한다.

Step 1. 분모 간격으로 한 항 바꾸기

급수의 한 항은 $\frac{m+1}{n(n+m+1)}$ $\frac{m+1}{n(n+m+1)}$이다.
분모의 두 인수는 $n$ $n$과 $n+m+1$ $n+m+1$이고, 두 수의 차는 $m+1$ $m+1$이다.
아래 그림은 이 간격이 부분분수의 분자로 남는 과정을 보여 준다.

분모 n과 n+m+1의 간격 m+1을 이용해 한 항을 부분분수로 바꾸는 과정 — 분모 간격 $m+1$ $m+1$이 두 분수의 차에서 분자로 남는 구조

실제로 $\frac1n-\frac1{n+m+1}=\frac{n+m+1-n}{n(n+m+1)}=\frac{m+1}{n(n+m+1)}$ $\frac1n-\frac1{n+m+1}=\frac{n+m+1-n}{n(n+m+1)}=\frac{m+1}{n(n+m+1)}$이므로

S_m=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac1n-\frac1{n+m+1}\right)

으로 바뀐다.
이 식은 두 발산급수를 따로 떼어 계산하지 않고, 유한 부분합에서 같은 분모끼리 짝을 맞추기 위해 쓰는 형태이다.

Step 2. 유한 부분합에서 남는 항 찾기

$m$ $m$을 고정하고 $N>m+1$ $N>m+1$인 부분합을 보면 소거 범위가 분명해진다.
아래 그림의 가운데 막대에서 양의 블록은 $k=1,\ldots,N$ $k=1,\ldots,N$, 음의 블록은 $k=m+2,\ldots,N+m+1$ $k=m+2,\ldots,N+m+1$에 놓이고, 겹치는 구간 $k=m+2,\ldots,N$ $k=m+2,\ldots,N$만 서로 소거된다.

유한 부분합에서 양의 분모 블록과 음의 분모 블록이 겹쳐 소거되는 범위 — 유한 부분합의 같은 분모끼리 짝을 맞추는 망원 소거 구조

그림의 왼쪽에는 $1,\frac12,\ldots,\frac1{m+1}$ $1,\frac12,\ldots,\frac1{m+1}$이 남고, 오른쪽 꼬리에는 $N+1$ $N+1$부터 $N+m+1$ $N+m+1$까지의 음의 항만 남는다.
이를 식으로 정리하면 다음과 같다.

\sum_{n=1}^{N}\left(\frac1n-\frac1{n+m+1}\right) =1+\frac12+\cdots+\frac1{m+1} -\left(\frac1{N+1}+\frac1{N+2}+\cdots+\frac1{N+m+1}\right)

마지막 괄호에는 $m+1$ $m+1$개의 항만 있고, $N\to\infty$ $N\to\infty$일 때 각 항이 $0$ $0$에 가까워진다.
따라서 $S_m=1+\frac12+\cdots+\frac1{m+1}$ $S_m=1+\frac12+\cdots+\frac1{m+1}$이다.

Step 3. 목표 항에 필요한 부분합 고르기

구하려는 값은 $a_1+a_{10}$ $a_1+a_{10}$이다.
첫째항은 $a_1=S_1$ $a_1=S_1$이고, 열째항은 $a_{10}=S_{10}-S_9$ $a_{10}=S_{10}-S_9$에서 나온다.
아래 그림처럼 $S_9$ $S_9$와 $S_{10}$ $S_{10}$을 나란히 보면 $S_{10}$ $S_{10}$에서 새로 붙는 항은 $\frac1{11}$ $\frac1{11}$ 하나뿐이다.

a1은 S1, a10은 S10-S9로 계산해 최종 합 57을 확인하는 부분합 인덱스 — $a_1=S_1$ $a_1=S_1$과 $a_{10}=S_{10}-S_9$ $a_{10}=S_{10}-S_9$를 구분하는 부분합 인덱스 확인

먼저 $m=1$ $m=1$을 넣으면 $a_1=S_1=1+\frac12=\frac32$ $a_1=S_1=1+\frac12=\frac32$이다.
또

S_9=1+\frac12+\cdots+\frac1{10},\qquad S_{10}=1+\frac12+\cdots+\frac1{10}+\frac1{11}

이므로 $a_{10}=S_{10}-S_9=\frac1{11}$ $a_{10}=S_{10}-S_9=\frac1{11}$이다.

Step 4. q/p 순서로 마무리

두 항을 더하면 $a_1+a_{10}=\frac32+\frac1{11}=\frac{33+2}{22}=\frac{35}{22}$ $a_1+a_{10}=\frac32+\frac1{11}=\frac{33+2}{22}=\frac{35}{22}$이다.
발문은 $a_1+a_{10}=\frac qp$ $a_1+a_{10}=\frac qp$의 순서로 두었으므로 $q=35$ $q=35$, $p=22$ $p=22$이고, 따라서 $p+q=22+35=57$ $p+q=22+35=57$이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

처음 막히는 지점은 무한급수의 길이가 아니라 한 항의 모양이다.
$\frac{m+1}{n(n+m+1)}$ $\frac{m+1}{n(n+m+1)}$에서 분모의 두 인수 차가 분자와 같다는 점을 보면 $\frac1n-\frac1{n+m+1}$ $\frac1n-\frac1{n+m+1}$이 자연스럽게 나온다.

그 다음 당황하기 쉬운 지점은 첫째항 처리이다.
$a_{10}$ $a_{10}$은 $S_{10}-S_9$ $S_{10}-S_9$로 나오지만, $a_1$ $a_1$은 첫째항까지의 합인 $S_1$ $S_1$ 자체이다.
같은 차분 습관으로 $a_1$ $a_1$까지 밀어 넣으면 값이 어긋난다.