수평선 교점 수가 처음 3개가 되는 높이를 높은 극솟값으로 보고, 도함수 근 배치를 걸러낸 뒤 접점의 중근 인수 꼴로 f(3)=15를 계산한다.
문제
2025학년도 6월 모의평가 수학 21번 문제 조건문제 텍스트주관식
최고차항의 계수가 1\(1\)인 사차함수 f(x)\(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) f′(a)≤0\(f'(a)\le 0\)인 실수 a\(a\)의 최댓값은 2\(2\)이다.
(나) 집합 {x∣f(x)=k}\(\{x \mid f(x)=k\}\)의 원소의 개수가 3\(3\) 이상이 되도록 하는 실수 k\(k\)의 최솟값은 38\(\dfrac{8}{3}\)이다.
f(0)=0,f′(1)=0\(f(0)=0,\ f'(1)=0\)일 때, f(3)\(f(3)\)의 값을 구하시오. [4점]
정답
15
풀이
풀이 전략
조건 (나)는 그래프 위에서 수평선 y=k\(y=k\)를 아래에서 위로 움직이며 교점 수가 바뀌는 높이를 보는 조건이다. 최고차항의 계수가 1\(1\)인 사차함수는 양끝이 위로 올라가므로, 교점이 처음으로 3\(3\)개 이상 되는 높이는 두 극솟값 중 높은 쪽의 높이로 해석된다.
조건 (가)와 f′(1)=0\(f'(1)=0\)으로 f′\(f'\)의 세 근 배치를 잡고, 조건 (나)의 높이 38\(\dfrac83\)과 맞는 배치만 남긴다. 이후 x=2\(x=2\)에서 수평선 y=38\(y=\dfrac83\)에 접한다는 조건을 (x−2)2\((x-2)^2\) 인수로 바꾸어 계수를 정한다.
Step 1. 수평선 교점 수와 극솟값 높이
수평선 y=k\(y=k\)가 그래프를 만나는 개수는 보통 극값의 높이를 지날 때 바뀐다. 이 사차함수가 두 개의 골짜기와 그 사이의 봉우리를 가지면, 낮은 골짜기를 지난 뒤 한쪽에서 두 번 만나고, 높은 골짜기의 높이에 도달하는 순간 다른 골짜기에서 접점이 하나 생겨 교점이 3\(3\)개가 된다.
이때 최소 높이는 단순한 계산값이 아니라, 수평선이 높은 극솟값에 처음 닿는 경계 높이이다.
수평선이 높은 극솟값에 닿는 순간 교점 수가 3개가 된다.
그림에서 표시한 접점 높이가 바로 조건 (나)의 임계값이다. 따라서 “f(x)=k\(f(x)=k\)의 서로 다른 실근이 3\(3\)개 이상이 되는 최소 k\(k\)”는 두 극솟값 중 높은 쪽의 높이를 찾으라는 뜻이다. 이제 그 극솟값들이 어디에 생기는지 보려면 f′\(f'\)의 근 배치를 정해야 한다.
Step 2. 조건 (가)로 도함수의 근을 잡기
조건 (가)는 f′(a)≤0\(f'(a)\le 0\)인 실수 a\(a\)들의 집합에서 가장 오른쪽 값이 2\(2\)라는 뜻이다. 그러면 a=2\(a=2\)는 그 집합의 끝점이므로 f′(2)=0\(f'(2)=0\)이다. 만약 f′(2)<0\(f'(2)<0\)이면 연속성 때문에 2\(2\)보다 조금 오른쪽에서도 f′(a)<0\(f'(a)<0\)인 점이 생겨 오른쪽 끝이 2\(2\)가 될 수 없다.
또 f′(1)=0\(f'(1)=0\)이 주어졌다. f(x)\(f(x)\)는 최고차항의 계수가 1\(1\)인 사차함수이므로 f′(x)\(f'(x)\)는 최고차항의 계수가 4\(4\)인 삼차함수이다. 나머지 한 근을 b\(b\)라 두면
f′(x)=4(x−1)(x−2)(x−b)\[f'(x)=4(x-1)(x-2)(x-b)\]
로 쓸 수 있다.
조건 (나)에서 교점이 3\(3\)개 이상 되는 높이가 존재하므로 그래프는 두 골짜기를 갖는 모양이어야 한다. 따라서 f′(x)=0\(f'(x)=0\)은 서로 다른 세 실근을 가져야 하고, b\(b\)는 1,2\(1,2\)와 달라야 한다. 또한 x>2\(x>2\)에서 f′(x)≤0\(f'(x)\le 0\)인 구간이 생기면 조건 (가)에 어긋나므로 b<2\(b<2\)이다.
Step 3. 근의 순서를 나누어 배치 걸러내기
가능한 근의 순서는 b<1<2\(b<1<2\) 또는 1<b<2\(1<b<2\)이다. f′\(f'\)는 최고차항이 양수인 삼차함수이므로 세 근을 지날 때 부호가
−+−+\[-\quad +\quad -\quad +\]
순서로 바뀐다.
두 배치를 가를 때는 x=2\(x=2\)에서의 높이가 자주 쓰인다. x=2\(x=2\)가 극솟점이 되는 케이스에서는 이 높이가 조건 (나)의 후보가 되므로, 먼저 f(2)\(f(2)\)를 b\(b\)로 나타내어 비교한다. f(0)=0\(f(0)=0\)이므로 f′\(f'\)를 적분해 x=2\(x=2\)만 대입하면
f(2)=−38b\[f(2)=-\frac83b\]
이다.
1<b<2\(1<b<2\)이면 극소점은 x=1\(x=1\)과 x=2\(x=2\)이다. 이때 0<1\(0<1\)이고, 구간 (0,1)\((0,1)\)에서 f′(x)<0\(f'(x)<0\)이므로 f\(f\)는 0\(0\)에서 1\(1\)까지 감소한다. 따라서 f(1)<f(0)=0\(f(1)<f(0)=0\)이다. 또 f(2)=−38b\(f(2)=-\dfrac83b\)도 1<b<2\(1<b<2\)에서는 음수이다. 두 극솟값이 모두 음수이면 조건 (나)의 최소 높이 38\(\dfrac83\)과 맞지 않는다.
두 근 배치를 부호표로 정리하면 제거되는 이유가 더 선명해진다. 1<b<2\(1<b<2\) 배치는 두 극솟값이 모두 음수라 조건 (나)의 양수 높이와 맞지 않고, b<1<2\(b<1<2\) 배치만 남는다.
도함수의 근 순서를 나누면 1<b<2 배치는 조건 (나)의 높이와 맞지 않아 탈락한다.
따라서 남는 배치는 b<1<2\(b<1<2\)이다. 이때 극소점은 x=b\(x=b\)와 x=2\(x=2\)이고, x=1\(x=1\)은 극대점이다. 이제 높은 극솟값이 조건 (나)의 38\(\dfrac83\)과 맞아야 한다.
Step 4. 높은 극솟값을 접점 조건으로 바꾸기
b<1\(b<1\)일 때는 왼쪽 골짜기의 정확한 높이를 계산하기 전에 부호만 먼저 확인한다. b<0\(b<0\)이면 b\(b\)에서 0\(0\)까지 그래프가 증가하는 구간에 있으므로 f(b)<f(0)=0\(f(b)<f(0)=0\)이다. 0≤b<1\(0\le b<1\)이면 0\(0\)에서 b\(b\)까지 그래프가 감소하는 구간에 있으므로 역시 f(b)≤f(0)=0\(f(b)\le f(0)=0\)이다.
즉 왼쪽 극솟값은 0\(0\) 이하이다. 조건 (나)의 최소 높이는 양수인 38\(\dfrac83\)이므로, 높은 골짜기는 x=2\(x=2\)에서 생긴다. 따라서 x=2\(x=2\)는 높이 38\(\dfrac83\)에서 접하는 극소점이고
f(2)=38,f′(2)=0\[f(2)=\frac83,\qquad f'(2)=0\]
이다.
이제 f(x)−38\(f(x)-\dfrac83\)은 x=2\(x=2\)를 중근으로 가진다. 사차함수의 최고차항의 계수가 1\(1\)이므로
이 문항에서 학생이 멈추기 쉬운 곳은 조건 (나)의 해석이다. “실근의 개수가 3\(3\)개 이상이 되는 최소 높이”는 수평선을 움직일 때 처음으로 접점이 추가되는 높이이다. 사차함수의 양끝이 올라가는 모양에서는 두 극솟값 중 높은 쪽이 그 높이가 된다.
그 높이가 x=2\(x=2\)에서 나온다고 잡은 뒤에는 f(x)−38\(f(x)-\dfrac83\)이 (x−2)2\((x-2)^2\)를 인수로 가진다는 점이 계산을 짧게 만든다. 교점 개수 조건이 나오면 수평선을 움직여 교점 수가 바뀌는 극값 높이를 찾고, 접하는 높이가 정해지면 중근 인수로 식을 묶는 흐름을 가져갈 수 있다.
