2025학년도 6월 모의평가 수학 14번 풀이 | 로그 부등식과 자연수 개수

문제

정답

④

풀이

풀이 전략

조건에서 세는 대상은 자연수 $n$\(n\)이다.
먼저 로그의 진수 조건으로 $n$\(n\)이 살아 있는 범위를 만들고, 로그식의 양수 조건을 같은 수직선 위의 상한 조건으로 바꾼다.
세 조건이 모두 $n$\(n\)의 상한이 되므로, 개수 12가 되도록 하는 $k$\(k\) 후보를 좁힌 뒤 후보별 개수를 확인한다.

로그가 정의되는 자연수 n의 범위

첫 번째 로그에는 $\sqrt{-n^2+10n+75}$\(\sqrt{-n^2+10n+75}\)가 들어 있다.
로그의 진수는 양수여야 하므로 제곱근 안도 양수여야 한다.

인수분해하면 $-n^2+10n+75>0 \Longleftrightarrow (n+5)(n-15)<0$\(-n^2+10n+75>0 \Longleftrightarrow (n+5)(n-15)<0\)이다.
따라서 $-5<n<15$\(-5<n<15\)이고, $n$\(n\)이 자연수이므로 일단 가능한 $n$\(n\)은 $1,2,\cdots,14$\(1,2,\cdots,14\)이다.

두 번째 로그에서도 진수 조건이 나온다.
$75-kn>0$\(75-kn>0\)이므로 $n<\frac{75}{k}$\(n<\frac{75}{k}\)이다.
지금까지는 $1$\(1\)부터 $14$\(14\)까지의 자연수 중에서 $\frac{75}{k}$\(\frac{75}{k}\) 미만인 것만 살아남는 상황이다.

이 단계까지 얻은 기본 후보와 움직이는 상한은 수직선에 함께 놓고 보면 더 분명하다.
먼저 $1$\(1\)부터 $14$\(14\)까지가 기본 후보로 남고, 그 뒤 $n<\frac{75}{k}$\(n<\frac{75}{k}\)가 오른쪽 후보를 추가로 잘라낸다.
이제 남은 로그 부등식도 같은 수직선 위의 상한 조건으로 바꾸면 된다.

로그식의 양수 조건 정리

수직선에서 아직 반영하지 않은 조건은 로그식의 값이 양수라는 조건이다.

제곱근과 밑 $4$\(4\)가 함께 보이므로 첫 번째 로그를 밑 $4$\(4\)로 맞춘다.
$A>0$\(A>0\)일 때 $\log_2\sqrt A=\log_4 A$\(\log_2\sqrt A=\log_4 A\)이므로, 위 부등식은 다음처럼 정리된다.

이미 $75-kn>0$\(75-kn>0\)인 범위에서 보고 있으므로 두 로그를 하나로 묶을 수 있다.
밑 $4$\(4\)는 $1$\(1\)을 초과하기 때문에 로그값이 양수라는 말은 비율이 $1$\(1\)을 초과한다는 말이다.

따라서 $-n^2+10n+75>75-kn$\(-n^2+10n+75>75-kn\)이고, 정리하면 $n^2-(k+10)n<0$\(n^2-(k+10)n<0\), 즉 $n(n-k-10)<0$\(n(n-k-10)<0\)이다.
$n$\(n\)은 자연수라서 $n>0$\(n>0\)이므로 이 조건은 $n<k+10$\(n<k+10\)이다.

결국 조건을 만족하는 자연수 $n$\(n\)은 $1\le n\le14$\(1\le n\le14\), $n<\frac{75}{k}$\(n<\frac{75}{k}\), $n<k+10$\(n<k+10\)을 동시에 만족해야 한다.

개수 12 조건으로 k 후보 좁히기

세 조건이 모두 $n$\(n\)의 상한을 정하므로, 살아남는 자연수는 $1,2,\ldots,m$\(1,2,\ldots,m\)처럼 앞에서부터 연속으로 남는다.
정확히 12개가 되려면 적어도 $n=12$\(n=12\)까지는 살아 있어야 한다.

$n<k+10$\(n<k+10\)에서 $12$\(12\)가 가능하려면 $12<k+10$\(12<k+10\)이므로 $k>2$\(k>2\)이다.
또 $n<\frac{75}{k}$\(n<\frac{75}{k}\)에서 $12$\(12\)가 가능하려면 $12<\frac{75}{k}$\(12<\frac{75}{k}\)이므로 $k<\frac{75}{12}=6.25$\(k<\frac{75}{12}=6.25\)이다.

따라서 자연수 $k$\(k\)는 먼저 $3\le k\le6$\(3\le k\le6\)으로 줄어든다.
이제 확인할 값은 $3,4,5,6$\(3,4,5,6\) 네 개이다.

후보별 자연수 개수 확인

각 $k$\(k\)에서 가능한 $n$\(n\)은 $1\le n\le14$\(1\le n\le14\), $n<\frac{75}{k}$\(n<\frac{75}{k}\), $n<k+10$\(n<k+10\)을 동시에 만족하는 자연수이다.
세 상한 중 가장 작은 경계가 실제 개수를 결정한다.

따라서 조건을 만족하는 자연수 $k$\(k\)는 $3,6$\(3,6\)이다.
모든 값의 합은 $3+6=9$\(3+6=9\)이므로 정답은 ④이다.

경계에서 등호 확인

이 문항에서 흔들리기 쉬운 지점은 $n<\frac{75}{k}$\(n<\frac{75}{k}\)처럼 등호가 없는 조건이다.
예를 들어 $k=6$\(k=6\)일 때 $\frac{75}{6}=12.5$\(\frac{75}{6}=12.5\)이므로 $n=12$\(n=12\)는 가능하고 $n=13$\(n=13\)은 불가능하다.
그래서 개수가 정확히 12개가 된다.

$k=4$\(k=4\)에서는 $n<14$\(n<14\)가 가장 강한 조건이 되어 $1$\(1\)부터 $13$\(13\)까지 13개가 된다.
$k=5$\(k=5\)에서는 두 상한이 모두 $15$\(15\)까지 열려 있고, 기본 범위 $1\le n\le14$\(1\le n\le14\)가 그대로 남아 14개가 된다.
이렇게 경계값 바로 앞의 자연수가 포함되는지를 세면 개수 착오를 줄일 수 있다.

이 문항에서 어려웠던 지점

로그 부등식을 정리하면 $n<k+10$\(n<k+10\)이라는 단순한 조건이 나온다.
여기에 로그가 정의되는 조건인 $1\le n\le14$\(1\le n\le14\)와 $n<\frac{75}{k}$\(n<\frac{75}{k}\)도 함께 놓아야 한다.
세 조건이 모두 자연수 $n$\(n\)의 상한으로 바뀌기 때문에, 풀이의 흐름은 수직선 위에서 살아남는 자연수 개수를 세는 과정으로 이어진다.

비슷한 로그 부등식에서도 먼저 진수 조건으로 기본 후보를 만들고, 로그 비교에서 나온 조건을 같은 수직선 위에 얹어 보면 된다.
여러 조건이 모두 상한이나 하한으로 바뀌면, 원하는 개수가 되기 위해 경계가 어느 자연수 사이에 있어야 하는지부터 확인하는 것이 빠르다.

문항코드: 250614