a, b는 5 이하의 자연수이다. 함수 y=a sin x+b는 열린구간 (0,2π)에서 정의된다. A는 그래프와 직선 x=π의 교점 집합이다. B, C는 각각 그래프와 직선 y=1, y=3의 교점 집합이다. n(A∪B∪C)=3이 되는 순서쌍 (a,b)에서 a+b의 최댓값 M과 최솟값 m을 구한다.

2025학년도 6월 모의평가 수학 20번 풀이 | 사인그래프 교점 개수와 중복 처리 [250620]

문제

문제 텍스트 주관식

$5$ $5$ 이하의 두 자연수 $a,b$ $a,b$에 대하여 열린구간 $(0,2\pi)$ $(0,2\pi)$에서 정의된 함수 $y=a\sin x+b$ $y=a\sin x+b$의 그래프가 직선 $x=\pi$ $x=\pi$와 만나는 점의 집합을 $A$ $A$라 하고, 두 직선 $y=1$ $y=1$, $y=3$ $y=3$과 만나는 점의 집합을 각각 $B$ $B$, $C$ $C$라 하자. $n(A\cup B\cup C)=3$ $n(A\cup B\cup C)=3$이 되도록 하는 $a,b$ $a,b$의 순서쌍 $(a,b)$ $(a,b)$에 대하여 $a+b$ $a+b$의 최댓값을 $M$ $M$, 최솟값을 $m$ $m$이라 할 때, $M\times m$ $M\times m$의 값을 구하시오. [4점]

정답

풀이

풀이 전략

먼저 직선 $x=\pi$ $x=\pi$와의 교점 집합 $A$ $A$를 고정한다.
그다음 $y=1$ $y=1$, $y=3$ $y=3$이 사인그래프의 중심선, 위쪽 끝값, 아래쪽 끝값과 어떤 위치 관계를 갖는지로 교점 개수를 센다.
$b=1,3$ $b=1,3$에서는 $A$ $A$가 각각 $B,C$ $B,C$와 겹치므로 합집합의 원소 수를 셀 때 중복을 따로 표시한다.

A와 수평선 교점 개수 정리

문제에는 세 점 집합 $A,B,C$ $A,B,C$가 나온다.
이 중 $A$ $A$는 직선 $x=\pi$ $x=\pi$와의 교점이므로 대입 한 번으로 정해진다.
$y=a\sin x+b$ $y=a\sin x+b$에서 $\sin\pi=0$ $\sin\pi=0$이므로 $x=\pi$ $x=\pi$일 때의 점은 $A=\{(\pi,b)\}$ $A=\{(\pi,b)\}$이다.
따라서 $A$ $A$는 항상 한 점이다.

$B,C$ $B,C$는 각각 수평선 $y=1$ $y=1$, $y=3$ $y=3$과의 교점이다.
그래프 $y=a\sin x+b$ $y=a\sin x+b$는 $y=b$ $y=b$를 중심으로 위로는 $a$ $a$만큼, 아래로는 $a$ $a$만큼 움직인다.
열린구간 $(0,2\pi)$ $(0,2\pi)$ 안에서 가장 위쪽은 $b+a$ $b+a$, 가장 아래쪽은 $b-a$ $b-a$이다.

아래 이미지는 한 주기에서 중심선, 위쪽 끝값, 아래쪽 끝값을 놓고 수평선 교점 개수가 어떻게 달라지는지 정리한 것이다.

y=a sin x+b의 중심선과 끝값을 기준으로 수평선 교점 개수를 분류한 그림 — 중심선 $y=b$ $y=b$, 위쪽 끝값 $b+a$ $b+a$, 아래쪽 끝값 $b-a$ $b-a$로 수평선 교점 개수를 분류한다.

이미지의 아래 판정표처럼 수평선 $y=k$ $y=k$가 $b-a<k<b+a$ $b-a<k<b+a$를 만족하고 $k\ne b$ $k\ne b$이면 두 번 만난다.
$k=b+a$ $k=b+a$ 또는 $k=b-a$ $k=b-a$이면 꼭대기나 바닥에 닿아 한 번 만난다.
범위 밖이면 만나지 않는다.

다만 수평선이 중심선 $y=b$ $y=b$와 같을 때는 열린구간 조건이 작동한다.
$\sin x=0$ $\sin x=0$의 해 중 $x=0$ $x=0$, $2\pi$ $2\pi$는 빠지고 $x=\pi$ $x=\pi$ 한 점만 남는다.
이 경우가 $b=1$ $b=1$에서 $A$ $A$와 $B$ $B$가 겹치고, $b=3$ $b=3$에서 $A$ $A$와 $C$ $C$가 겹치는 경우이다.

b=1,2,3에서 중복과 접점 보기

$A=(\pi,b)$ $A=(\pi,b)$이므로 $b$ $b$에 따라 중복이 생길 수 있다.
$b=1$ $b=1$이면 $A=(\pi,1)$ $A=(\pi,1)$이라서 $A$ $A$는 $B$ $B$에 포함되고, $b=3$ $b=3$이면 $A=(\pi,3)$ $A=(\pi,3)$이라서 $A$ $A$는 $C$ $C$에 포함된다.
$B$ $B$와 $C$ $C$는 각각 $y=1$ $y=1$, $y=3$ $y=3$ 위의 점들이므로 서로 겹치지 않는다.

아래 이미지는 $b=1,2,3$ $b=1,2,3$에서 중복과 끝값 접함이 어떻게 나타나는지 비교한 것이다.

b=1, b=2, b=3에서 A와 B 또는 C의 중복 및 수평선 접점을 비교한 세 패널 그림 — $b=1,2,3$ $b=1,2,3$에서는 $A$ $A$의 중복 여부와 $y=1,\ y=3$ $y=1,\ y=3$의 접점 개수가 전체 점의 개수를 결정한다.

$b=1$ $b=1$이면 $A$ $A$는 이미 $B$ $B$와 같은 점이다.
실제로 $y=1$ $y=1$은 $x=\pi$ $x=\pi$에서 한 번 만나고, 그 점이 $A$ $A$이다.
전체 점의 개수가 $3$ $3$이 되려면 $y=3$ $y=3$이 그래프를 두 번 만나야 한다.
그래프의 중심은 $y=1$ $y=1$이고 꼭대기는 $y=a+1$ $y=a+1$이므로 $a+1>3$ $a+1>3$이어야 한다.
따라서 $a=3,4,5$ $a=3,4,5$이고, 가능한 순서쌍은 $(3,1),(4,1),(5,1)$ $(3,1),(4,1),(5,1)$이다.

$b=2$ $b=2$이면 $A=(\pi,2)$ $A=(\pi,2)$이고, $A$ $A$는 $B,C$ $B,C$와 겹치지 않는다.
그래프의 중심은 $y=2$ $y=2$이며, $y=1$ $y=1$과 $y=3$ $y=3$은 중심에서 각각 $1$ $1$만큼 떨어져 있다.
이미지의 가운데 패널처럼 $a=1$ $a=1$이면 $y=1$ $y=1$과 $y=3$ $y=3$이 각각 바닥과 꼭대기에서 한 번씩 닿고, 여기에 $A$ $A$의 한 점을 더해 전체 점의 개수는 $3$ $3$이다.
$a=2,3,4,5$ $a=2,3,4,5$이면 두 수평선이 각각 두 번 만나므로 전체 점의 개수는 $1+2+2=5$ $1+2+2=5$이다.
따라서 가능한 순서쌍은 $(1,2)$ $(1,2)$이다.

$b=3$ $b=3$이면 $A$ $A$는 이미 $C$ $C$와 같은 점이다.
실제로 $y=3$ $y=3$은 $x=\pi$ $x=\pi$에서 한 번 만나고, 그 점이 $A$ $A$이다.
전체 점의 개수가 $3$ $3$이 되려면 $y=1$ $y=1$이 그래프를 두 번 만나야 한다.
그래프의 중심은 $y=3$ $y=3$이고 바닥은 $y=3-a$ $y=3-a$이므로 $3-a<1$ $3-a<1$이어야 한다.
따라서 $a=3,4,5$ $a=3,4,5$이고, 가능한 순서쌍은 $(3,3),(4,3),(5,3)$ $(3,3),(4,3),(5,3)$이다.

b=4,5는 바닥 위치로 결정하기

$b=4,5$ $b=4,5$에서는 $A$ $A$가 $B$ $B$ 또는 $C$ $C$와 겹치지 않는다.
이때 중심선은 $y=b$ $y=b$이고 $b>3$ $b>3$이므로 위쪽 끝값은 항상 $b+a>3$ $b+a>3$이다.
그래서 전체 점의 개수를 $3$ $3$으로 만들려면 $A$ $A$ 한 점에 더해 $y=3$ $y=3$과의 교점 두 개가 생기고, $y=1$ $y=1$과의 교점은 생기지 않아야 한다.

아래 이미지는 이 판단을 아래쪽 끝값 $b-a$ $b-a$의 위치로 바꾼 것이다.

b=4와 b=5에서 아래쪽 끝값 b-a가 1과 3 사이에 놓이는 조건을 정리한 그림 — $b=4,5$ $b=4,5$에서는 아래쪽 끝값 $b-a$ $b-a$가 $1$ $1$과 $3$ $3$ 사이에 들어가야 한다.

이미지의 두 패널처럼 조건은 $1<b-a<3$ $1<b-a<3$이다.
$b=4$ $b=4$일 때는 $1<4-a<3$ $1<4-a<3$이므로 $1<a<3$ $1<a<3$이고, 자연수 조건에서 $a=2$ $a=2$이다.
따라서 $(2,4)$ $(2,4)$가 가능하다.

$b=5$ $b=5$일 때는 $1<5-a<3$ $1<5-a<3$이므로 $2<a<4$ $2<a<4$이고, 자연수 조건에서 $a=3$ $a=3$이다.
따라서 $(3,5)$ $(3,5)$가 가능하다.

가능한 순서쌍과 최종값

조건을 만족하는 순서쌍은

(3,1),(4,1),(5,1),(1,2),(3,3),(4,3),(5,3),(2,4),(3,5)

이다.
각 순서쌍의 $a+b$ $a+b$는 차례대로 $4,5,6,3,6,7,8,6,8$ $4,5,6,3,6,7,8,6,8$이다.
따라서 최댓값은 $M=8$ $M=8$, 최솟값은 $m=3$ $m=3$이다.

그러므로 구하는 값은 $M\times m=8\times3=24$ $M\times m=8\times3=24$이다.

정답은 $\boxed{24}$ $\boxed{24}$이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

이 문항에서 점의 개수가 어긋나는 이유는 대개 두 가지이다.
하나는 $A$ $A$가 $B$ $B$ 또는 $C$ $C$와 겹치는 경우를 세지 않는 것이고, 다른 하나는 수평선이 꼭대기나 바닥에 닿을 때 교점이 한 개만 생긴다는 점을 놓치는 것이다.

$b=1$ $b=1$과 $b=3$ $b=3$에서는 $A$ $A$가 각각 $B,C$ $B,C$와 겹친다.
$b=2$ $b=2$에서는 $y=1$ $y=1$, $y=3$ $y=3$이 그래프의 바닥과 꼭대기에 닿는 $a=1$ $a=1$만 남는다.
$b=4,5$ $b=4,5$에서는 $b>3$ $b>3$이므로 바닥 $b-a$ $b-a$가 $1$ $1$과 $3$ $3$ 사이에 들어가는지만 확인하면 된다.

비슷한 교점 개수 문제에서는 그래프의 중심선, 위쪽 끝값, 아래쪽 끝값을 먼저 표시한다.
그다음 수평선이 두 번 만나는지, 한 번 닿는지, 만나지 않는지를 나누면 케이스가 짧아진다.

문항코드: 250620