a₂=-a₁이다. n≥2에서 √n이 자연수이고 aₙ>0이면 a(n+1)=aₙ-√n×a(√n)이다. 그 외의 경우에는 a(n+1)=aₙ+1이다. a₁₅=1이 되도록 하는 모든 a₁의 값의 곱을 구한다.

2025학년도 6월 모의평가 수학 22번 풀이 | 완전제곱수 첨자와 역방향 추적 [250622]

문제

문제 텍스트 주관식

수열 $\{a_n\}$ $\{a_n\}$은

a_2=-a_1

이고, $n\ge 2$ $n\ge 2$인 모든 자연수 $n$ $n$에 대하여

a_{n+1}= \begin{cases} a_n-\sqrt{n}\times a_{\sqrt{n}} & (\sqrt{n}\text{이 자연수이고 } a_n>0\text{인 경우})\\ a_n+1 & (\text{그 외의 경우}) \end{cases}

를 만족시킨다. $a_{15}=1$ $a_{15}=1$이 되도록 하는 모든 $a_1$ $a_1$의 값의 곱을 구하시오. [4점]

정답

231

풀이

풀이 전략

점화식의 첫 번째 줄은 $\sqrt n$ $\sqrt n$이 자연수이고 $a_n>0$ $a_n>0$일 때만 작동한다.
$a_{15}$ $a_{15}$까지 계산할 때 실제로 줄이 바뀔 수 있는 첨자는 완전제곱수 $4,9$ $4,9$뿐이다.
끝값 $a_{15}=1$ $a_{15}=1$에서 $a_{10}=-4$ $a_{10}=-4$를 먼저 거꾸로 고정하고, $n=9$ $n=9$와 $n=4$ $n=4$의 부호 분기를 차례로 확인한다.

완전제곱수 첨자 표시

수열의 조건을 보면 두 줄짜리 점화식이 주어져 있다.
첫 번째 줄이 작동하려면 $\sqrt n$ $\sqrt n$이 자연수이고 $a_n>0$ $a_n>0$이어야 한다.
$a_{15}$ $a_{15}$까지 가는 동안 점화식에 들어가는 $n$ $n$은 $2$ $2$부터 $14$ $14$까지이므로, 이 중 $\sqrt n$ $\sqrt n$이 자연수인 곳은 $n=4,9$ $n=4,9$뿐이다.

이 말은 수열이 거의 대부분의 구간에서 $1$ $1$씩 증가한다는 뜻이다.
그래서 끝 조건 $a_{15}=1$ $a_{15}=1$을 받으면, 먼저 $n=10,11,12,13,14$ $n=10,11,12,13,14$ 구간을 거꾸로 내려와 볼 수 있다.
이 구간에는 완전제곱수가 없으므로 앞으로 갈 때는 계속 $1$ $1$씩 더해지고, 거꾸로 갈 때는 계속 $1$ $1$씩 빠진다.

따라서 $a_{14}=0,\ a_{13}=-1,\ a_{12}=-2,\ a_{11}=-3,\ a_{10}=-4$ $a_{14}=0,\ a_{13}=-1,\ a_{12}=-2,\ a_{11}=-3,\ a_{10}=-4$이다.

이 구조를 먼저 표시하면, 실제로 멈춰 확인할 곳은 $n=9$ $n=9$와 $n=4$ $n=4$뿐이고 $a_{10}=-4$ $a_{10}=-4$가 출발값처럼 고정된다.
이후 계산은 이 두 지점의 부호 분기를 따라가는 일이다.

완전제곱수 첨자 4와 9 및 a15에서 a10까지의 역방향 흐름 — 완전제곱수 첨자는 4, 9뿐이고, 끝값에서 거꾸로 내려오면 a₁₀=-4가 확정된다.

이제 확인할 갈림길은 두 곳이다.
먼저 $n=9$ $n=9$에서 $a_9>0$ $a_9>0$인지 보고, 그다음 $n=4$ $n=4$에서 $a_4>0$ $a_4>0$인지 보면 된다.

n=9에서 a₁₀=-4가 만들어지는 방식

$n=9$ $n=9$에서는 $\sqrt9=3$ $\sqrt9=3$이다.
따라서 $a_9>0$ $a_9>0$이면 첫 번째 줄을 써서 $a_{10}=a_9-3a_3$ $a_{10}=a_9-3a_3$이고, $a_9\le0$ $a_9\le0$이면 두 번째 줄을 써서 $a_{10}=a_9+1$ $a_{10}=a_9+1$이다.
앞에서 이미 $a_{10}=-4$ $a_{10}=-4$를 알고 있으므로, 이 두 경우는 각각 다음 정보를 준다.

\begin{array}{c|c|c} \text{$n=9$에서의 부호} & a_{10}\text{을 만드는 식} & \text{얻는 값}\\ \hline a_9>0 & a_9-3a_3=-4 & a_9=3a_3-4\\ a_9\le0 & a_9+1=-4 & a_9=-5 \end{array}

$n=5,6,7,8$ $n=5,6,7,8$에서는 완전제곱수가 없으므로 $a_5$ $a_5$에서 $a_9$ $a_9$까지는 네 번 $1$ $1$씩 증가한다.
따라서 위 표는 곧 $a_5$ $a_5$에 대한 정보로 바뀐다.

$a_9>0$ $a_9>0$인 흐름에서는 $a_5=a_9-4=3a_3-8$ $a_5=a_9-4=3a_3-8$이다.
$a_9\le0$ $a_9\le0$인 흐름에서는 $a_5=a_9-4=-9$ $a_5=a_9-4=-9$이다.

이제 $a_5$ $a_5$가 $n=4$ $n=4$에서 어떤 줄로 만들어졌는지 확인한다.

a₉ > 0인 흐름에서 n=4 확인

먼저 $a_9>0$ $a_9>0$인 흐름이다.
이때 $a_5=3a_3-8$ $a_5=3a_3-8$이다.

$n=2,3$ $n=2,3$은 완전제곱수가 아니므로 앞쪽에서는 $a_3=a_2+1$ $a_3=a_2+1$, $a_4=a_3+1=a_2+2$ $a_4=a_3+1=a_2+2$가 성립한다.
이제 $n=4$ $n=4$에서 $a_4$ $a_4$의 부호에 따라 $a_5$ $a_5$가 만들어지는 방식이 달라진다.

먼저 $a_4>0$ $a_4>0$이면 $n=4$ $n=4$에서 첫 번째 줄을 쓴다.
$\sqrt4=2$ $\sqrt4=2$이므로 $a_5=a_4-2a_2$ $a_5=a_4-2a_2$이다.
여기에 $a_4=a_2+2$ $a_4=a_2+2$와 $a_5=3a_3-8=3(a_2+1)-8$ $a_5=3a_3-8=3(a_2+1)-8$을 함께 놓으면 $a_2+2-2a_2=3(a_2+1)-8$ $a_2+2-2a_2=3(a_2+1)-8$이다.
정리하면 $-a_2+2=3a_2-5$ $-a_2+2=3a_2-5$이므로 $a_2=\frac74$ $a_2=\frac74$이다.
조건 $a_2=-a_1$ $a_2=-a_1$에서 $a_1=-\frac74$ $a_1=-\frac74$이다.

이 값이 실제로 이 흐름에 들어가는지도 확인한다.
$a_2=\frac74$ $a_2=\frac74$이면 $a_3=\frac{11}{4}$ $a_3=\frac{11}{4}$, $a_4=\frac{15}{4}>0$ $a_4=\frac{15}{4}>0$이고, $a_9=3a_3-4=\frac{17}{4}>0$ $a_9=3a_3-4=\frac{17}{4}>0$이다.
따라서 가능한 값이다.

반대로 $a_4\le0$ $a_4\le0$이면 $n=4$ $n=4$에서 두 번째 줄을 쓴다.
그러면 $a_5=a_4+1$ $a_5=a_4+1$이다.
그런데 $a_4=a_3+1$ $a_4=a_3+1$이므로 $a_5=a_3+2$ $a_5=a_3+2$이다.

한편 이 흐름에서는 $a_5=3a_3-8$ $a_5=3a_3-8$이었으므로 $a_3+2=3a_3-8$ $a_3+2=3a_3-8$이다.
여기서 $a_3=5$ $a_3=5$가 나온다.
그러면 $a_4=a_3+1=6$ $a_4=a_3+1=6$이 되어 $a_4\le0$ $a_4\le0$이라는 가정과 맞지 않는다.

따라서 $a_9>0$ $a_9>0$인 흐름에서는 $a_1=-\frac74$ $a_1=-\frac74$만 남는다.

a₉ ≤ 0인 흐름에서 n=4 확인

이번에는 $a_9\le0$ $a_9\le0$인 흐름이다.
앞에서 $a_9=-5$ $a_9=-5$, $a_5=-9$ $a_5=-9$까지 얻었다.
여기서도 $n=4$ $n=4$의 부호만 보면 된다.

$a_4>0$ $a_4>0$이면 $n=4$ $n=4$에서 첫 번째 줄을 써서 $a_5=a_4-2a_2$ $a_5=a_4-2a_2$이다.
앞쪽 관계 $a_4=a_2+2$ $a_4=a_2+2$와 $a_5=-9$ $a_5=-9$를 넣으면 $-9=(a_2+2)-2a_2$ $-9=(a_2+2)-2a_2$이므로 $a_2=11$ $a_2=11$이다.
따라서 $a_1=-11$ $a_1=-11$이다.

이때 $a_4=a_2+2=13>0$ $a_4=a_2+2=13>0$이고, $a_9=-5\le0$ $a_9=-5\le0$이므로 이 흐름의 조건과 맞는다.
따라서 가능한 값이다.

$a_4\le0$ $a_4\le0$이면 $n=4$ $n=4$에서 두 번째 줄을 써서 $a_5=a_4+1$ $a_5=a_4+1$이다.
$a_5=-9$ $a_5=-9$이므로 $a_4=-10$ $a_4=-10$이다.
그러면 $a_3=-11$ $a_3=-11$, $a_2=-12$ $a_2=-12$이고, $a_2=-a_1$ $a_2=-a_1$에서 $a_1=12$ $a_1=12$이다.

이때 $a_4=-10\le0$ $a_4=-10\le0$이고 $a_9=-5\le0$ $a_9=-5\le0$이므로 이 흐름의 조건과 맞는다.
따라서 가능한 값이다.

지금까지의 $n=4$ $n=4$ 분기는 $a_4>0$ $a_4>0$ 행과 $a_4\le0$ $a_4\le0$ 행으로 나누어 보면 정리된다.
먼저 $a_4>0$ $a_4>0$ 행에서는 두 $n=9$ $n=9$ 흐름이 모두 자기 부호 조건을 통과한다.
이 행에서 남는 후보는 두 개이다.

n=4에서 a4>0인 경우 두 후보가 가능한 흐름 — a₄>0이면 두 흐름에서 각각 a₁=-7/4, a₁=-11이 가능하다.

반대로 $a_4\le0$ $a_4\le0$ 행에서는 $a_9>0$ $a_9>0$ 흐름이 $a_4=6$ $a_4=6$으로 가정과 충돌한다.
그래서 이 행에서는 $a_9\le0$ $a_9\le0$ 흐름만 남는다.

n=4에서 a4<=0인 경우 한 흐름은 모순이고 a1=12가 가능한 흐름 — a₄≤0이면 a₉>0 흐름은 모순이고, a₉≤0 흐름에서 a₁=12가 남는다.

후보 검증과 곱 계산

두 행을 합치면 가능한 $a_1$ $a_1$은 $-\frac74,\ -11,\ 12$ $-\frac74,\ -11,\ 12$이다.
각 값은 $n=9$ $n=9$와 $n=4$ $n=4$의 부호 조건까지 통과한다.

$a_1=-\frac74$ $a_1=-\frac74$이면 $a_2=\frac74$ $a_2=\frac74$, $a_4>0$ $a_4>0$, $a_9>0$ $a_9>0$인 흐름이다.
$a_1=-11$ $a_1=-11$이면 $a_2=11$ $a_2=11$, $a_4>0$ $a_4>0$, $a_9\le0$ $a_9\le0$인 흐름이다.
$a_1=12$ $a_1=12$이면 $a_2=-12$ $a_2=-12$, $a_4\le0$ $a_4\le0$, $a_9\le0$ $a_9\le0$인 흐름이다.

따라서 모든 $a_1$ $a_1$의 값의 곱은 $\left(-\frac74\right)(-11)(12)=231$ $\left(-\frac74\right)(-11)(12)=231$이다.

정답은 $\boxed{231}$ $\boxed{231}$이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

이 문항에서 당황스러운 부분은 점화식이 두 줄로 나뉘어 있다는 점이다.
그런데 $a_{15}$ $a_{15}$까지 실제로 줄이 바뀔 수 있는 첨자는 완전제곱수 $4,9$ $4,9$뿐이다.
이 두 첨자를 먼저 표시하면, 나머지 구간은 단순히 $1$ $1$씩 움직이는 길이 된다.

끝 조건이 주어졌을 때는 거꾸로 내려오는 관찰도 자연스럽다.
이 문제에서는 $a_{15}=1$ $a_{15}=1$에서 $a_{10}=-4$ $a_{10}=-4$가 바로 정해지고, 그 값이 $n=9$ $n=9$의 갈림길을 빠르게 만든다.

비슷한 귀납적 정의 문제에서는 먼저 조건이 바뀌는 첨자를 표시하고, 끝값이 있으면 뒤에서 고정되는 값을 찾아본다.
그런 다음 부호 조건이나 경계 포함 여부를 각 갈림길에서 확인하면 계산이 짧아진다.

문항코드: 250622