f(x)=1/3x³-x²+ln(1+x²)+a이고 a는 상수이다 g(x)는 x≥b에서 f(x), x<b에서 -f(x-c)로 정의된다 b와 c는 양수이고 g(x)는 실수 전체에서 미분가능하다 a+b+c=p+q·ln2이며 p, q는 유리수, ln2는 무리수이다 구해야 할 값은 30(p+q)이다

2025학년도 6월 모의평가 수학 미적분 29번 풀이 | 조각함수 미분가능성과 도함수 영점 [250629c]

문제

문제 텍스트 주관식

함수 $f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2+\ln(1+x^2)+a$ $f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2+\ln(1+x^2)+a$ ( $a$ $a$는 상수)와 두 양수 $b$ $b$, $c$ $c$에 대하여 함수

g(x)= \begin{cases} f(x) & (x\ge b) \\ -f(x-c) & (x<b) \end{cases}

는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

$a+b+c=p+q\ln2$ $a+b+c=p+q\ln2$일 때, $30(p+q)$ $30(p+q)$의 값을 구하시오.

단, $p$ $p$, $q$ $q$는 유리수이고, $\ln2$ $\ln2$는 무리수이다. [4점]

정답

풀이

풀이 전략

조각이 바뀌는 지점은 $x=b$ $x=b$ 하나다.
이 점에서 함수값 일치와 기울기 일치를 세우면 연속 조건과 미분가능 조건이 나온다.

먼저 기울기 조건을 본다.
상수 $a$ $a$는 미분하면 사라지므로, 도함수의 부호와 영점을 확인하면 $b,c$ $b,c$의 위치가 먼저 좁혀진다.
남은 연속 조건은 마지막에 $a$ $a$를 정하는 데 쓴다.

Step 1. 경계에서 값과 기울기 조건 세우기

조각함수에서 미분가능하다는 말은 조각이 바뀌는 점을 먼저 보라는 신호다.
여기서는 $x=b$ $x=b$를 기준으로 오른쪽은 $f(x)$ $f(x)$, 왼쪽은 $-f(x-c)$ $-f(x-c)$이다.

$x=b$ $x=b$에서 두 조각이 끊어지지 않아야 하므로 함수값이 같아야 한다.
왼쪽 조각에 $x=b$ $x=b$를 넣으면 $-f(b-c)$ $-f(b-c)$이고, 오른쪽 조각에 $x=b$ $x=b$를 넣으면 $f(b)$ $f(b)$이다.
따라서 연속 조건은 $f(b)=-f(b-c)$ $f(b)=-f(b-c)$이다.

기울기도 같은 점에서 맞아야 한다.
오른쪽 조각의 기울기는 $f'(b)$ $f'(b)$이고, 왼쪽 조각 $-f(x-c)$ $-f(x-c)$의 기울기는 $-f'(b-c)$ $-f'(b-c)$이다.
그래서 미분가능 조건은 $f'(b)=-f'(b-c)$ $f'(b)=-f'(b-c)$이다.

두 조건을 합의 꼴로 정리하면 다음과 같다.

f(b)+f(b-c)=0,\qquad f'(b)+f'(b-c)=0

이 식은 $x=b$ $x=b$에서 두 조각의 값과 기울기를 각각 맞춘다는 뜻이다.
조각이 붙는 위치에서 생기는 두 조건을 먼저 분리해 두면, 이후 계산에서 어떤 조건을 먼저 써야 하는지가 보인다.

x=b에서 두 조각의 함수값과 기울기 조건을 정리한 도식 — x=b에서 값 조건과 기울기 조건이 동시에 생긴다.

여기서 먼저 볼 것은 기울기 조건이다.
상수 $a$ $a$는 미분하면 사라지므로, 기울기 조건은 $a$ $a$를 건드리지 않고 $b,c$ $b,c$의 위치를 먼저 좁혀 준다.

Step 2. 도함수 부호와 영점 확인하기

함수 $f(x)=\frac13x^3-x^2+\ln(1+x^2)+a$ $f(x)=\frac13x^3-x^2+\ln(1+x^2)+a$를 미분하면 $f'(x)=x^2-2x+\frac{2x}{1+x^2}$ $f'(x)=x^2-2x+\frac{2x}{1+x^2}$이다.
이 식은 그냥 보면 부호가 잘 드러나지 않는다.
그런데 미분가능 조건에는 $f'(b)$ $f'(b)$와 $f'(b-c)$ $f'(b-c)$가 함께 들어가므로, $f'(x)$ $f'(x)$가 음수가 될 수 있는지부터 확인해야 한다.

한 분수로 묶으면 다음과 같다.

\begin{aligned} f'(x) &=x\left(x-2+\frac{2}{1+x^2}\right)\\ &=x\cdot\frac{(x-2)(1+x^2)+2}{1+x^2}\\ &=x\cdot\frac{x^3-2x^2+x}{1+x^2}\\ &=\frac{x^2(x-1)^2}{1+x^2} \end{aligned}

정리한 꼴을 보면 부호와 영점이 한눈에 드러난다.
미분가능 조건의 두 항이 모두 이 도함수값으로 표현되므로, 부호 정보가 바로 후보 제거 기준이 된다.

도함수 f'(x)를 제곱 꼴로 정리해 영점 0과 1을 표시한 도식 — f’(x)는 항상 0 이상이고 영점은 0, 1뿐이다.

분모 $1+x^2$ $1+x^2$는 항상 양수이고, 분자 $x^2(x-1)^2$ $x^2(x-1)^2$는 제곱들의 곱이다.
따라서 모든 실수 $x$ $x$에 대하여 $f'(x)\ge0$ $f'(x)\ge0$이다.
등호가 되는 곳은 $x=0,1$ $x=0,1$뿐이다.

이제 그래프가 붙는 장면을 다시 떠올려 보면 방향이 더 분명하다.
오른쪽 조각 $f(x)$ $f(x)$의 기울기는 $f'(x)\ge0$ $f'(x)\ge0$이고, 왼쪽 조각 $-f(x-c)$ $-f(x-c)$의 기울기는 $-f'(x-c)\le0$ $-f'(x-c)\le0$이다.
한쪽은 올라가거나 수평이고, 다른 한쪽은 내려가거나 수평인 상태로 만난다.

두 조각이 $x=b$ $x=b$에서 매끄럽게 붙으려면 양쪽 기울기가 같은 값이어야 한다.
위에서 본 부호 때문에 같은 값이 될 수 있는 경우는 둘 다 $0$ $0$인 경우뿐이다.
그래서 $f'(b)=0$ $f'(b)=0$, $f'(b-c)=0$ $f'(b-c)=0$이다.

Step 3. 양수 조건으로 b와 c 정하기

$f'(x)=0$ $f'(x)=0$이 되는 곳은 $x=0,1$ $x=0,1$뿐이므로 $b\in\{0,1\}$ $b\in\{0,1\}$, $b-c\in\{0,1\}$ $b-c\in\{0,1\}$이다.

이제 후보는 네 가지 조합에서 시작하지만, $b>0$ $b>0$과 $c>0$ $c>0$이 곧바로 대부분을 지운다.
후보표를 먼저 좁히고 나면 남은 값 조건 계산은 한 줄로 끝난다.

b와 b-c가 도함수 영점 0 또는 1에 놓이는 후보를 양수 조건으로 거르는 도식 — f’(b)+f’(b-c)=0에서 가능한 후보를 양수 조건으로 거른다.

여기에 문제의 양수 조건을 붙인다.
$b>0$ $b>0$이므로 $b=0$ $b=0$은 빠지고 $b=1$ $b=1$이다.

또 $c>0$ $c>0$이므로 $b-c<b$ $b-c<b$이다.
이미 $b=1$ $b=1$이므로 $b-c<1$ $b-c<1$이다.
그런데 $b-c$ $b-c$는 $0$ $0$ 또는 $1$ $1$ 중 하나여야 하므로 남는 값은 $0$ $0$이다.

따라서 $b-c=0$ $b-c=0$이고, $b=1$ $b=1$이므로 $c=1$ $c=1$이다.
기울기 조건과 양수 조건만으로 $b,c$ $b,c$가 모두 정해졌다.

Step 4. 연속 조건으로 a 구하기

남은 조건은 연속 조건 $f(b)+f(b-c)=0$ $f(b)+f(b-c)=0$이다.
방금 구한 $b=1$ $b=1$, $c=1$ $c=1$을 넣으면 $b-c=0$ $b-c=0$이므로 $f(1)+f(0)=0$ $f(1)+f(0)=0$이다.

$f(1)$ $f(1)$과 $f(0)$ $f(0)$을 계산하면 $f(1)=\frac13-1+\ln2+a=-\frac23+\ln2+a$ $f(1)=\frac13-1+\ln2+a=-\frac23+\ln2+a$, $f(0)=a$ $f(0)=a$이다.

따라서 $\left(-\frac23+\ln2+a\right)+a=0$ $\left(-\frac23+\ln2+a\right)+a=0$이고, 정리하면 $2a=\frac23-\ln2$ $2a=\frac23-\ln2$이다.
그러므로 $a=\frac13-\frac12\ln2$ $a=\frac13-\frac12\ln2$이다.

Step 5. p, q를 읽어 최종값 계산하기

구한 값을 모두 더하면 $a+b+c=\left(\frac13-\frac12\ln2\right)+1+1=\frac73-\frac12\ln2$ $a+b+c=\left(\frac13-\frac12\ln2\right)+1+1=\frac73-\frac12\ln2$이다.

문제에서 $a+b+c=p+q\ln2$ $a+b+c=p+q\ln2$이고 $p,q$ $p,q$는 유리수라고 했으므로 $p=\frac73$ $p=\frac73$, $q=-\frac12$ $q=-\frac12$이다.
따라서 $30(p+q)=30\left(\frac73-\frac12\right)=30\cdot\frac{11}{6}=55$ $30(p+q)=30\left(\frac73-\frac12\right)=30\cdot\frac{11}{6}=55$이다.

정답은 $\boxed{55}$ $\boxed{55}$이다.

조건 확인

$b=1$ $b=1$, $c=1$ $c=1$, $a=\frac13-\frac12\ln2$ $a=\frac13-\frac12\ln2$일 때 연속 조건은 $f(1)+f(0)=0$ $f(1)+f(0)=0$인지 확인하면 된다.

f(1)=-\frac23+\ln2+\frac13-\frac12\ln2=-\frac13+\frac12\ln2,\qquad f(0)=\frac13-\frac12\ln2

이므로 $f(1)+f(0)=0$ $f(1)+f(0)=0$이다.

또 $f'(x)=\frac{x^2(x-1)^2}{1+x^2}$ $f'(x)=\frac{x^2(x-1)^2}{1+x^2}$이므로 $f'(1)=0$ $f'(1)=0$, $f'(0)=0$ $f'(0)=0$이다.
따라서 $f'(1)+f'(0)=0$ $f'(1)+f'(0)=0$도 성립한다.
연속 조건과 기울기 조건이 모두 맞는다.

이 문항에서 어려웠던 지점

처음에는 조각함수의 연속 조건과 미분가능 조건이 동시에 보여서 식이 많아 보인다.
그러나 미분가능 조건에 들어가는 $f'(x)$ $f'(x)$를 정리하면 $\frac{x^2(x-1)^2}{1+x^2}$ $\frac{x^2(x-1)^2}{1+x^2}$가 되고, 도함수값이 항상 $0$ $0$ 이상이라는 사실이 드러난다.

이 관찰이 나오면 $f'(b)+f'(b-c)=0$ $f'(b)+f'(b-c)=0$의 의미가 뚜렷해진다.
두 항이 모두 $0$ $0$ 이상인데 합이 $0$ $0$이므로, 두 위치가 모두 도함수의 영점 $0,1$ $0,1$에 걸려야 한다.
이후 $b,c>0$ $b,c>0$ 조건을 붙이면 $b=1$ $b=1$, $b-c=0$ $b-c=0$으로 압축된다.

비슷한 조각함수 문제에서도 경계에서 함수값과 기울기를 맞추는 식을 세운 뒤, 도함수의 부호와 영점을 먼저 확인하면 계산이 짧아지는 경우가 많다.
특히 상수항이 들어 있는 함수에서는 기울기 조건이 위치를 정하고, 값 조건이 마지막 상수를 정하는 흐름이 자연스럽게 나타난다.

문항코드: 250629c