곡선 y=1/4x³+1/2x와 직선 y=mx+2, y축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 A이다. 곡선 y=1/4x³+1/2x와 두 직선 y=mx+2, x=2로 둘러싸인 부분의 넓이가 B이다. B-A=2/3이고 m<-1이다. 상수 m의 값을 구하는 객관식 4점 문항이다.

2025학년도 6월 모의평가 수학 13번 풀이 | 세로 차이와 부호 있는 넓이 [250613]

문제

문제 텍스트 객관식

곡선 $y=\frac{1}{4}x^3+\frac{1}{2}x$ $y=\frac{1}{4}x^3+\frac{1}{2}x$와 직선 $y=mx+2$ $y=mx+2$ 및 $y$ $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $A$ $A$, 곡선 $y=\frac{1}{4}x^3+\frac{1}{2}x$ $y=\frac{1}{4}x^3+\frac{1}{2}x$와 두 직선 $y=mx+2,\ x=2$ $y=mx+2,\ x=2$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $B$ $B$라 하자. $B-A=\frac{2}{3}$ $B-A=\frac{2}{3}$일 때, 상수 $m$ $m$의 값은? 단, $m<-1$ $m<-1$. [4점]

① $-\frac{3}{2}$ $-\frac{3}{2}$
② $-\frac{17}{12}$ $-\frac{17}{12}$
③ $-\frac{4}{3}$ $-\frac{4}{3}$
④ $-\frac{5}{4}$ $-\frac{5}{4}$
⑤ $-\frac{7}{6}$ $-\frac{7}{6}$

정답

③

풀이

풀이 전략

두 넓이 $A$ $A$, $B$ $B$는 곡선과 직선 사이의 세로 간격에서 나온다.
곡선에서 직선을 뺀 함수 $D(x)$ $D(x)$를 잡으면, $D(x)$ $D(x)$의 부호가 어느 그래프가 위에 있는지 알려 준다.
$m<-1$ $m<-1$에서 $D(x)$ $D(x)$는 $0\le x\le2$ $0\le x\le2$에서 증가하고, $D(0)<0<D(2)$ $D(0)<0<D(2)$이므로 교점은 하나다.
따라서 구간 $[0,2]$ $[0,2]$ 전체의 부호 있는 적분이 $B-A$ $B-A$가 되고, 그 적분값으로 $m$ $m$을 정한다.

세로 차이로 위아래 표시

곡선을 $f(x)=\frac14x^3+\frac12x$ $f(x)=\frac14x^3+\frac12x$, 직선을 $g(x)=mx+2$ $g(x)=mx+2$라고 두자.
두 그래프의 세로 차이를

D(x)=f(x)-g(x)=\frac14x^3+\left(\frac12-m\right)x-2

로 잡는다.
$D(x)>0$ $D(x)>0$이면 곡선이 위에 있고, $D(x)<0$ $D(x)<0$이면 직선이 위에 있다.

아래 그림에서는 왼쪽 영역이 $D(x)<0$ $D(x)<0$인 구간, 오른쪽 영역이 $D(x)>0$ $D(x)>0$인 구간으로 표시되어 있다.
특히 $D=f-g$ $D=f-g$로 잡았기 때문에 왼쪽 넓이는 부호 있는 적분에서 $-A$ $-A$로 들어가고, 오른쪽 넓이는 $B$ $B$로 들어간다.

D(x)=f(x)-g(x)의 부호로 왼쪽 넓이와 오른쪽 넓이를 부호 있는 적분에 연결한 그림 — $D(x)=f(x)-g(x)$ $D(x)=f(x)-g(x)$의 부호가 왼쪽 넓이와 오른쪽 넓이에 붙는 부호를 정한다.

그림의 $x=2$ $x=2$에서는 $f(2)=3$ $f(2)=3$이고 $g(2)=2m+2<0$ $g(2)=2m+2<0$이다.
따라서 오른쪽 끝에서는 곡선이 직선보다 위에 있는 상태와 맞는다.

교점이 하나인지 확인

양 끝값을 먼저 계산하면 $D(0)=-2<0$ $D(0)=-2<0$이고,

D(2)=3-(2m+2)=1-2m>0

이다.
$m<-1$ $m<-1$이므로 오른쪽 끝에서 $D(2)>0$ $D(2)>0$이 확실하다.

이제 변화 방향을 보면

D'(x)=\frac34x^2+\frac12-m

이다.
$m<-1$ $m<-1$이므로 모든 $x$ $x$에서 $D'(x)>0$ $D'(x)>0$이다.
따라서 $D(x)$ $D(x)$는 $0\le x\le2$ $0\le x\le2$에서 계속 증가한다.

D(0)<0, D(2)>0, D'(x)>0에서 교점이 하나임을 보이는 부호표 — $D(x)$ $D(x)$가 증가하므로 $0$ $0$과 $2$ $2$ 사이에서 부호가 한 번만 바뀐다.

부호표처럼 $D(0)<0<D(2)$ $D(0)<0<D(2)$이고 $D(x)$ $D(x)$가 증가하므로, $D(x)=0$ $D(x)=0$인 점은 $(0,2)$ $(0,2)$ 안에 하나 있다.
그 교점의 $x$ $x$좌표를 $\alpha$ $\alpha$라 두면 $0\le x<\alpha$ $0\le x<\alpha$에서는 $D(x)<0$ $D(x)<0$, $\alpha<x\le2$ $\alpha<x\le2$에서는 $D(x)>0$ $D(x)>0$이다.

B-A를 전체 적분으로 묶기

앞에서 잡은 부호에 따라 왼쪽 영역의 적분값은 $-A$ $-A$, 오른쪽 영역의 적분값은 $B$ $B$가 된다.
그래서 구간 $[0,2]$ $[0,2]$ 전체에서 $D(x)$ $D(x)$를 적분하면 두 넓이의 차가 한 번에 나온다.

\int_0^2 D(x)\,dx =\int_0^\alpha D(x)\,dx+\int_\alpha^2 D(x)\,dx =-A+B =B-A

문제에서 $B-A=\frac23$ $B-A=\frac23$을 주었으므로, 이제 $\int_0^2D(x)\,dx$ $\int_0^2D(x)\,dx$를 계산하면 된다.

적분값으로 m 계산

계산의 시작식은

B-A=\int_0^2\left\{\frac14x^3+\left(\frac12-m\right)x-2\right\}\,dx

이다.
적분 전개는 아래 이미지처럼 원시함수에 $0$ $0$과 $2$ $2$를 대입해 정리한다.

B-A를 전체 구간 적분으로 계산해 m=-4/3을 얻는 과정 — 전체 구간 적분을 계산하면 $B-A=-2m-2$ $B-A=-2m-2$로 정리된다.

이미지의 정리 결과에 따라 $B-A=-2m-2$ $B-A=-2m-2$이다.
조건 $B-A=\frac23$ $B-A=\frac23$을 대입하면 $-2m-2=\frac23$ $-2m-2=\frac23$이고, 따라서 $-2m=\frac83$ $-2m=\frac83$, $m=-\frac43$ $m=-\frac43$이다.

구한 값은 $m<-1$ $m<-1$을 만족한다.
정답은 ③이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

이 문항에서 당황스러운 부분은 교점 $\alpha$ $\alpha$가 식에 남을 것처럼 보인다는 점이다.
그런데 $D(x)=f(x)-g(x)$ $D(x)=f(x)-g(x)$를 잡으면 왼쪽 영역은 음수 적분값 $-A$ $-A$, 오른쪽 영역은 양수 적분값 $B$ $B$로 한 구간 안에 들어온다.

그래서 실제 계산은 교점의 좌표가 아니라 $0$ $0$부터 $2$ $2$까지의 전체 적분으로 이어진다.
비슷한 넓이 차 조건에서는 먼저 두 그래프의 세로 차이를 어느 순서로 잡을지 정하고, 원하는 넓이 차와 부호 있는 적분의 부호가 같은지 확인하면 계산 구조가 선명해진다.

문항코드: 250613