집합 X={1,2,3,4}에서 f:X→X인 함수를 임의로 고른다 a가 b의 약수이면 f(a)는 f(b)의 약수여야 한다 서로 다른 원소 사이의 약수 관계는 1∣2, 1∣3, 1∣4, 2∣4이다 조건을 만족하는 함수들 중에서 f(4)가 짝수일 확률을 구한다

2025학년도 9월 모의평가 수학 확률과 통계 28번 풀이 | 약수 관계와 함수 개수 세기 [250928p]

문제

문제 텍스트 객관식

집합 $X=\{1,2,3,4\}$ $X=\{1,2,3,4\}$에 대하여 $f:X\to X$ $f:X\to X$인 모든 함수 $f$ $f$ 중에서 임의로 하나를 선택하는 시행을 한다. 이 시행에서 선택한 함수 $f$ $f$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(4)$ $f(4)$가 짝수일 확률은? [4점]

$a\in X,\ b\in X$ $a\in X,\ b\in X$에 대하여, $a$ $a$가 $b$ $b$의 약수이면 $f(a)$ $f(a)$는 $f(b)$ $f(b)$의 약수이다.

① $\frac{9}{19}$ $\frac{9}{19}$
② $\frac{8}{15}$ $\frac{8}{15}$
③ $\frac{3}{5}$ $\frac{3}{5}$
④ $\frac{27}{40}$ $\frac{27}{40}$
⑤ $\frac{19}{25}$ $\frac{19}{25}$

정답

④

풀이

풀이 전략

조건은 원래 집합 $X$ $X$ 안의 약수 관계가 함수값으로 옮겨져도 유지되어야 한다는 말이다.
먼저 $X=\{1,2,3,4\}$ $X=\{1,2,3,4\}$ 안의 약수 관계를 작은 그림으로 정리하고, 가장 많은 관계를 보내는 $1$ $1$의 함수값 $f(1)$ $f(1)$부터 나누어 세면 계산이 짧아진다.

약수 관계를 작은 그림으로 그려보자

같은 원소끼리의 조건은 항상 $f(a)$ $f(a)$가 $f(a)$ $f(a)$의 약수라는 말이므로 새 제한을 만들지 않는다.
서로 다른 원소 사이의 약수 관계를 보면 $1\mid2$ $1\mid2$, $1\mid3$ $1\mid3$, $1\mid4$ $1\mid4$, $2\mid4$ $2\mid4$가 나온다.

1에서 2와 3으로, 2에서 4로 이어지는 약수 관계와 함수값 약수 관계 — 약수 관계를 함수값으로 옮기면 확인할 조건이 $f(1)\mid f(2)$ $f(1)\mid f(2)$, $f(1)\mid f(3)$ $f(1)\mid f(3)$, $f(2)\mid f(4)$ $f(2)\mid f(4)$로 줄어든다.

그림에서 $1\to2\to4$ $1\to2\to4$와 $1\to3$ $1\to3$이 보인다.
$1\mid4$ $1\mid4$는 $1\mid2$ $1\mid2$와 $2\mid4$ $2\mid4$를 이어서 따라오는 관계이므로, 실제로 세는 흐름에서는 $f(1)\mid f(2)$ $f(1)\mid f(2)$, $f(1)\mid f(3)$ $f(1)\mid f(3)$, $f(2)\mid f(4)$ $f(2)\mid f(4)$를 붙잡으면 된다.

$f(1)$ $f(1)$이 후보를 어떻게 좁히는지 보자

$1$ $1$은 $2,3,4$ $2,3,4$를 모두 나누므로 $f(1)$ $f(1)$은 $f(2),f(3),f(4)$ $f(2),f(3),f(4)$를 모두 나누어야 한다.
그래서 $f(1)$ $f(1)$의 값이 정해지면 나머지 세 함수값의 후보가 먼저 좁아진다.

f(1)의 값별 배수 후보 집합과 빠르게 끝나는 케이스 — $f(1)$ $f(1)$의 값에 따라 $f(2), f(3), f(4)$ $f(2), f(3), f(4)$가 들어갈 수 있는 후보 집합이 먼저 결정된다.

$f(1)=4$ $f(1)=4$이면 나머지 세 값은 모두 $4$ $4$가 되어 $1$ $1$가지이고, $f(4)$ $f(4)$는 짝수이다.
$f(1)=3$ $f(1)=3$이면 나머지 세 값은 모두 $3$ $3$이 되어 $1$ $1$가지이고, $f(4)$ $f(4)$는 홀수이다.

$f(1)=2$ $f(1)=2$이면 나머지 값들은 모두 $2$ $2$ 또는 $4$ $4$이다.
여기에 $f(2)\mid f(4)$ $f(2)\mid f(4)$를 더하면 $(f(2),f(4))$ $(f(2),f(4))$는 $(2,2),(2,4),(4,4)$ $(2,2),(2,4),(4,4)$의 $3$ $3$가지이다.
$f(3)$ $f(3)$은 $2$ $2$ 또는 $4$ $4$의 $2$ $2$가지이므로 전체는 $3\times2=6$ $3\times2=6$가지이고, 이 경우 $f(4)$ $f(4)$는 항상 짝수이다.

$f(1)=1$ $f(1)=1$인 경우는 쌍으로 세어보자

$f(1)=1$ $f(1)=1$이면 $1$ $1$이 모든 수를 나누므로 $f(1)$ $f(1)$에서 오는 제한이 모두 풀린다.
이때 남는 연결은 $2\mid4$ $2\mid4$에서 나온 $f(2)\mid f(4)$ $f(2)\mid f(4)$이다.

f(1)=1일 때 f(2)가 f(4)를 나누는 순서쌍 표 — $f(1)=1$ $f(1)=1$인 경우에는 $(f(2),f(4))$ $(f(2),f(4))$ 표에서 허용 쌍 $8$ $8$개와 짝수 쌍 $5$ $5$개를 읽는다.

표에서 허용되는 순서쌍은 $(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)$ $(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)$의 $8$ $8$가지이다.
그중 $f(4)$ $f(4)$가 짝수인 쌍은 $(1,2),(1,4),(2,2),(2,4),(4,4)$ $(1,2),(1,4),(2,2),(2,4),(4,4)$의 $5$ $5$가지이다.

또 $f(3)$ $f(3)$은 $f(1)\mid f(3)$ $f(1)\mid f(3)$만 확인하면 되고, 지금은 $f(1)=1$ $f(1)=1$이므로 $1,2,3,4$ $1,2,3,4$ 중 어느 값도 가능하다.
따라서 $f(1)=1$ $f(1)=1$인 경우 전체 함수 수는 $8\times4=32$ $8\times4=32$가지이고, 그중 $f(4)$ $f(4)$가 짝수인 경우는 $5\times4=20$ $5\times4=20$가지이다.

전체 경우와 짝수인 경우를 모아보자

문제는 조건을 만족한다고 알려진 뒤의 확률을 묻는다.
그러므로 분모에는 조건을 만족하는 함수 수가 들어간다.

f(1) 값별 조건 만족 함수 수와 f(4)가 짝수인 함수 수의 합산표 — $f(1)$ $f(1)$ 값별 개수를 합치면 조건 만족 함수는 $40$ $40$개, 그중 $f(4)$ $f(4)$가 짝수인 함수는 $27$ $27$개이다.

앞에서 센 값을 표로 모으면 전체 함수 수는 $32+6+1+1=40$ $32+6+1+1=40$이고, $f(4)$ $f(4)$가 짝수인 함수 수는 $20+6+0+1=27$ $20+6+0+1=27$이다.
따라서 구하는 확률은 $\frac{27}{40}$ $\frac{27}{40}$이다.

정답은 ④이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

가장 먼저 멈추는 지점은 확률의 분모이다.
처음 시행은 모든 함수 중 하나를 고른 뒤, 조건을 만족하는 함수로 표본공간이 좁혀진다.
그래서 계산은 조건을 만족하는 함수 $40$ $40$개 안에서 이루어진다.

또 하나는 약수 관계를 어디까지 넣을지이다.
$3$ $3$은 $1$ $1$과만 연결되므로 $f(3)$ $f(3)$은 $f(1)$ $f(1)$의 배수라는 제한만 받는다.
반면 $2$ $2$와 $4$ $4$는 연결되어 있어 $f(2)\mid f(4)$ $f(2)\mid f(4)$가 추가된다.
관계 보존 조건이 나오면 원래 원소들의 관계 그림을 작게 그리고, 가장 많은 화살표를 보내는 원소부터 보는 습관이 도움이 된다.