2025학년도 6월 모의평가 수학 확률과 통계 28번 풀이 | 동전 뒤집기와 홀짝 조건

2025학년도 6월 모의평가 수학 확률과 통계 28번은 다섯 번의 동전 선택을 순서열로 보고, 각 동전이 뒤집힌 횟수의 홀짝으로 모두 앞면과 모두 뒷면 경우를 세어 조건부확률 17/32를 얻는 풀이이다. D가 1번 선택되는 분배와 모두 뒷면의 남은 2번 분배까지 함께 정리한다.

문항코드
250628p
정답
①
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문제

2025학년도 6월 모의평가 수학 확률과 통계 28번 동전 뒤집기 조건부확률 문제
2025학년도 6월 모의평가 수학 확률과 통계 28번 문제 조건
문제 텍스트 객관식

탁자 위에 놓인 44개의 동전에 대하여 다음 시행을 한다.

44개의 동전 중 임의로 한 개의 동전만을 택하여 한 번 뒤집는다.

처음에 33개의 동전은 앞면이 보이도록, 11개의 동전은 뒷면이 보이도록 놓여 있다. 위의 시행을 55번 반복한 후 44개의 동전이 모두 같은 면이 보이도록 놓여 있을 때, 모두 앞면이 보이도록 놓여 있을 확률은? [4점]

  1. ① 1732\frac{17}{32}
  2. ② 3564\frac{35}{64}
  3. ③ 916\frac{9}{16}
  4. ④ 3764\frac{37}{64}
  5. ⑤ 1932\frac{19}{32}

정답

①

풀이

풀이 전략

처음에는 앞면인 동전이 33개, 뒷면인 동전이 11개이다.
앞면인 세 동전을 A,B,CA,B,C, 뒷면인 동전을 DD라고 이름 붙인다.

시행을 55번 한다는 것은 다섯 칸에 A,B,C,DA,B,C,D 중 하나를 차례로 쓰는 것과 같다.
각 칸마다 네 동전 중 하나를 같은 확률로 고르므로, 5칸짜리 선택 순서는 모두 같은 확률을 가진다.
따라서 조건부확률은 모두 앞면이 되는 선택 순서의 개수와 모두 뒷면이 되는 선택 순서의 개수를 세어 비교하면 된다.

선택 횟수의 홀짝 정리

같은 동전을 두 번 뒤집으면 처음 면으로 돌아온다.
그래서 최종 면은 그 동전이 몇 번 선택되었는지의 홀짝으로 정해진다.

  • 처음 앞면인 A,B,CA,B,C는 짝수 번 선택되면 앞면, 홀수 번 선택되면 뒷면이 된다.
  • 처음 뒷면인 DD는 짝수 번 선택되면 뒷면, 홀수 번 선택되면 앞면이 된다.

마지막 조건인 “4개의 동전이 모두 같은 면”은 두 장면을 포함한다.

  • 모두 앞면: A,B,CA,B,C는 짝수 번, DD는 홀수 번 선택된다.
  • 모두 뒷면: A,B,CA,B,C는 홀수 번, DD는 짝수 번 선택된다.

5번의 선택을 선택 순서로 보고, 각 동전의 선택 횟수 홀짝으로 두 최종 조건을 나누면 경우의 수를 세는 대상이 분명해진다.

다섯 번의 동전 선택을 홀짝 조건으로 바꾸어 모두 앞면과 모두 뒷면 조건으로 나누는 구조
선택 횟수의 홀짝으로 모두 앞면과 모두 뒷면 조건을 나눈다

이제 55번 선택한 횟수를 네 동전에 나누어 주되, 그림의 두 갈래 홀짝 조건을 만족하는 경우를 세면 된다.

모두 앞면이 되는 선택 순서

모두 앞면이 되려면 A,B,CA,B,C의 선택 횟수는 모두 짝수이고, DD의 선택 횟수는 홀수이다.
전체 선택 횟수는 55번이므로, DD가 선택되는 횟수는 1,3,51,3,5 중 하나이다.

DD의 선택 횟수A,B,CA,B,C에 남는 선택 횟수선택 순서의 개수
550011
33한 동전이 22번3×5!3!2!=303\times \dfrac{5!}{3!2!}=30
11한 동전이 44번3×5!4!1!=153\times \dfrac{5!}{4!1!}=15
11두 동전이 각각 22번3×5!2!2!1!=903\times \dfrac{5!}{2!2!1!}=90

따라서 모두 앞면이 되는 선택 순서의 개수는 1+30+15+90=1361+30+15+90=136이다.

여기서 DD가 11번 선택되는 경우를 두 갈래로 나눈 이유는 남은 44번을 A,B,CA,B,C에게 짝수 번씩 나누어야 하기 때문이다.
한 동전이 44번 선택되는 모습과 두 동전이 22번씩 선택되는 모습이 모두 가능하다.

모두 뒷면이 되는 선택 순서

모두 뒷면이 되려면 처음 앞면이던 A,B,CA,B,C가 모두 홀수 번 선택되어야 하고, 처음 뒷면이던 DD는 짝수 번 선택되어야 한다.

A,B,CA,B,C가 각각 최소 11번씩 선택되어야 하므로 먼저 33번이 채워진다.
남은 선택 횟수는 22번이다.
이 22번이 들어갈 수 있는 모습은 두 가지이다.

추가되는 22번의 위치선택 횟수의 모양선택 순서의 개수
DD에 22번A,B,CA,B,C가 각각 11번, DD가 22번5!2!1!1!1!=60\dfrac{5!}{2!1!1!1!}=60
A,B,CA,B,C 중 한 동전에 22번한 앞면 동전이 33번, 나머지 두 앞면 동전이 11번3×5!3!1!1!=603\times \dfrac{5!}{3!1!1!}=60

남은 22번을 서로 다른 두 앞면 동전에 나누면 그 두 동전은 짝수 번 선택되어 앞면으로 남으므로 제외된다.
따라서 모두 뒷면이 되는 선택 순서의 개수는 60+60=12060+60=120이다.

조건부확률 계산

모든 5칸짜리 선택 순서는 같은 확률을 가진다.
모두 같은 면이 되는 경우는 모두 앞면이 되는 136136가지와 모두 뒷면이 되는 120120가지를 합친 것이다.

문제에서 묻는 것은 그중 모두 앞면이 되는 비율이므로 계산하면 다음과 같다.

136136+120=136256=1732\frac{136}{136+120} =\frac{136}{256} =\frac{17}{32}

따라서 정답은 ①이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

처음에 막히기 쉬운 부분은 “모두 같은 면”이라는 조건을 하나의 장면으로만 보는 것이다.
이 조건은 모두 앞면과 모두 뒷면을 함께 포함하므로, 분모에는 두 경우가 모두 들어간다.

또 하나는 시행의 순서를 어떻게 세느냐이다.
55번 동안 어떤 동전이 선택되었는지를 한 줄로 적으면 모든 선택 순서가 같은 확률을 가진다.
그 다음에는 각 동전이 몇 번 선택되었는지의 홀짝만 보면 최종 면이 정해진다.
비슷한 문제에서도 같은 대상이 여러 번 바뀌는 상황이면, 먼저 몇 번 바뀌었는지의 홀짝을 적어 보는 관찰이 계산을 줄여 준다.

문항코드: 250628p

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