주머니에는 흰 공 또는 검은 공인 공이 모두 40개 있다. 두 공을 동시에 꺼낼 때 흰 공 2개, 흰 공 1개와 검은 공 1개, 검은 공 2개의 확률을 각각 p, q, r로 둔다. 조건은 p=q이고 p>0이다. 구해야 할 값은 60r이다.

2025학년도 6월 모의평가 수학 확률과 통계 29번 풀이 | 같은 분모와 경우의 수 등식 [250629p]

문제

문제 텍스트 주관식

$40$ $40$개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 각각의 공은 흰 공 또는 검은 공 중 하나이다.

이 주머니에서 임의로 $2$ $2$개의 공을 동시에 꺼낼 때, 흰 공 $2$ $2$개를 꺼낼 확률을 $p$ $p$, 흰 공 $1$ $1$개와 검은 공 $1$ $1$개를 꺼낼 확률을 $q$ $q$, 검은 공 $2$ $2$개를 꺼낼 확률을 $r$ $r$이라 하자.

$p=q$ $p=q$일 때, $60r$ $60r$의 값을 구하시오.

단, $p>0$ $p>0$이다. [4점]

정답

풀이

풀이 전략

공이 $40$ $40$개이고 색은 흰색과 검은색뿐이다.
이런 확률 문제에서는 처음에 주머니 안 구성을 한 글자로 잡아 두면 이후 사건들이 한꺼번에 정리된다.

흰 공의 개수를 $w$ $w$라고 두고 검은 공의 개수를 $40-w$ $40-w$로 놓는다.
세 확률 $p,q,r$ $p,q,r$은 모두 $40$ $40$개 중 $2$ $2$개를 동시에 꺼내는 같은 전체 경우의 수 위에서 정의되므로, $p=q$ $p=q$는 두 사건의 경우의 수를 맞추는 식으로 바뀐다.

공의 색 구성을 한 변수로 놓기

흰 공의 개수를 $w$ $w$라고 두자.
그러면 검은 공의 개수는 $40-w$ $40-w$이다.
이제 두 공을 동시에 꺼내는 모든 경우를 작은 표로 나누어 본다.

꺼낸 공의 색	경우의 수
흰 공 $2$ $2$개	${}_{w}C_2$ ${}_{w}C_2$
흰 공 $1$ $1$개, 검은 공 $1$ $1$개	$w(40-w)$ $w(40-w)$
검은 공 $2$ $2$개	${}_{40-w}C_2$ ${}_{40-w}C_2$

같은 내용을 표본공간 관점으로 보면 세 사건의 분모가 모두 같다.
따라서 $p=q$ $p=q$는 위쪽 두 사건의 경우의 수가 같다는 조건으로 바뀐다.

흰 공과 검은 공을 두 개 꺼내는 표본공간을 경우의 수로 나눈 표 — 전체 경우의 수는 같고, p=q는 흰 공 2개와 흰 공 1개·검은 공 1개의 경우의 수 비교로 바뀐다.

그림과 표에서 먼저 보이는 것은 세 사건이 모두 같은 전체공간에서 나온다는 점이다.
두 공을 동시에 꺼내는 전체 경우의 수는 항상 ${}_{40}C_2$ ${}_{40}C_2$이다.
따라서 $p$ $p$, $q$ $q$, $r$ $r$은 각각 위 경우의 수를 ${}_{40}C_2$ ${}_{40}C_2$로 나눈 값이다.

그러면 $p=q$ $p=q$라는 조건은 같은 전체 경우의 수 위에서 두 사건의 경우의 수가 같다는 말로 바뀐다.
같은 ${}_{40}C_2$ ${}_{40}C_2$로 나눈 두 값이 같으므로, 이제는 분자에 해당하는 두 경우의 수만 맞추면 된다.

p=q를 경우의 수 등식으로 바꾸기

앞에서 본 표를 그대로 식으로 옮긴다.
흰 공 $2$ $2$개를 꺼내는 경우의 수는 ${}_{w}C_2=\dfrac{w(w-1)}{2}$ ${}_{w}C_2=\dfrac{w(w-1)}{2}$이고, 흰 공 $1$ $1$개와 검은 공 $1$ $1$개를 꺼내는 경우의 수는 $w(40-w)$ $w(40-w)$이다.

따라서 $p=q$ $p=q$에서 다음 식을 얻는다.

\frac{w(w-1)}{2}=w(40-w)

이 식을 세울 때 조심할 부분은 $w(40-w)$ $w(40-w)$의 의미이다.
흰 공 쪽에서 하나, 검은 공 쪽에서 하나를 고르는 순간 두 색이 이미 구분되어 있다.
두 공을 동시에 꺼내므로 순서를 따로 세지 않고 $w(40-w)$ $w(40-w)$로 센다.

또 하나 확인할 조건은 $p>0$ $p>0$이다.
흰 공 $2$ $2$개를 꺼낼 확률이 양수이므로 흰 공은 적어도 $2$ $2$개 있다.
즉 $w\ge2$ $w\ge2$이다.
그래서 방금 세운 식에서 양변을 $w$ $w$로 나누는 과정이 이어진다.

흰 공 개수 계산하기

$w\ge2$ $w\ge2$이므로 식 $\dfrac{w(w-1)}{2}=w(40-w)$ $\dfrac{w(w-1)}{2}=w(40-w)$에서 양변을 $w$ $w$로 나눌 수 있다.

\frac{w(w-1)}{2}=w(40-w) \quad\Longrightarrow\quad \frac{w-1}{2}=40-w

이제 남은 식은 일차방정식이다.

w-1=80-2w,\qquad 3w=81,\qquad w=27

따라서 흰 공은 $27$ $27$개이고, 검은 공은 $40-27=13$ $40-27=13$개이다.

여기까지 오면 문제에서 묻는 $60r$ $60r$로 넘어갈 수 있다.
$r$ $r$은 검은 공 $2$ $2$개를 꺼낼 확률이므로, 방금 구한 검은 공 $13$ $13$개를 사용하면 된다.

검은 공 2개를 고르는 확률 계산하기

검은 공 $2$ $2$개를 꺼내는 경우의 수는 ${}_{13}C_2$ ${}_{13}C_2$이고, 전체 경우의 수는 처음과 같이 ${}_{40}C_2$ ${}_{40}C_2$이다.
따라서 계산하면 다음과 같다.

r=\frac{{}_{13}C_2}{{}_{40}C_2} =\frac{\frac{13\cdot12}{2}}{\frac{40\cdot39}{2}} =\frac{78}{780} =\frac{1}{10}

그러므로 $60r=60\cdot\dfrac{1}{10}=6$ $60r=60\cdot\dfrac{1}{10}=6$이다.
정답은 $\boxed{6}$ $\boxed{6}$이다.

조건 확인

구한 구성은 흰 공 $27$ $27$개, 검은 공 $13$ $13$개이다.
이때 흰 공 $2$ $2$개를 고르는 경우의 수는 ${}_{27}C_2=\dfrac{27\cdot26}{2}=351$ ${}_{27}C_2=\dfrac{27\cdot26}{2}=351$이고, 흰 공 $1$ $1$개와 검은 공 $1$ $1$개를 고르는 경우의 수는 $27\cdot13=351$ $27\cdot13=351$이다.

두 경우의 수가 같으므로 실제로 $p=q$ $p=q$가 성립한다.
또 흰 공이 $27$ $27$개 있으므로 $p>0$ $p>0$도 만족한다.
계산한 값이 원래 조건으로 돌아가도 모순이 없다.

이 문항에서 어려웠던 지점

이 문항에서 시간이 갈리는 지점은 $p=q$ $p=q$를 읽는 방식이다.
세 사건이 모두 같은 전체공간 ${}_{40}C_2$ ${}_{40}C_2$ 위에 있으므로, 등확률 조건은 경우의 수 등식으로 바뀐다.

비슷한 확률 문제에서는 여러 사건의 전체공간이 같은지 먼저 본다.
전체공간이 같다면 분자는 사건별 경우의 수이고, 조건은 그 경우의 수들 사이의 관계로 정리된다.
이 문항에서는 그 관계가 ${}_{w}C_2=w(40-w)$ ${}_{w}C_2=w(40-w)$였고, $p>0$ $p>0$이 $w$ $w$로 나누는 과정을 받쳐 주었다.

문항코드: 250629p

꺼낸 공의 색	경우의 수
흰 공 $2$ \(2\)개	${}_{w}C_2$ \({}_{w}C_2\)
흰 공 $1$ \(1\)개, 검은 공 $1$ \(1\)개	$w(40-w)$ \(w(40-w)\)
검은 공 $2$ \(2\)개	${}_{40-w}C_2$ \({}_{40-w}C_2\)