5 이상이 나온 횟수 X를 이항분포로 두고 위치 조건을 X≥5250으로 바꾼다. 평균 5400, 표준편차 60으로 표준화해 P(Z≥-2.5)=0.994를 읽는다.
문제
주사위 시행을 16200번 반복한 뒤 점 A의 위치가 5700 이하일 확률을 구하는 문제문제 텍스트주관식
수직선의 원점에 점 A\(A\)가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.
주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 4 이하이면 점 A\(A\)를 양의 방향으로 1만큼 이동시키고, 5 이상이면 점 A\(A\)를 음의 방향으로 1만큼 이동시킨다.
이 시행을 16200번 반복하여 이동된 점 A\(A\)의 위치가 5700 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 값을 k\(k\)라 하자. 1000×k\(1000 \times k\)의 값을 구하시오. [4점]
z\(z\)
P(0≤Z≤z)\(P(0 \le Z \le z)\)
1.0
0.341
1.5
0.433
2.0
0.477
2.5
0.494
정답
994
풀이
풀이 전략
점 A\(A\)의 최종 위치는 오른쪽으로 간 횟수와 왼쪽으로 간 횟수의 차이로 정해진다. 그래서 먼저 5 이상이 나온 횟수를 변수로 잡고, 위치 조건을 그 횟수의 부등식으로 바꾼다. 그 뒤 이항분포의 평균과 표준편차를 구해 경계값을 표준화하고 표준정규분포표를 읽으면 된다.
왼쪽으로 간 횟수를 먼저 세어보자
한 번 던질 때 생기는 이동을 작은 표로 적으면 다음과 같다.
주사위 눈
이동 방향
확률
1, 2, 3, 4
+1\(+1\)
32\(\frac{2}{3}\)
5, 6
−1\(-1\)
31\(\frac{1}{3}\)
위치가 5700\(5700\) 이하가 되는지는 두 방향의 횟수 차이로 결정된다. 특히 5\(5\) 이상이 한 번 더 나오면, 오른쪽으로 갈 한 번이 왼쪽으로 가는 한 번으로 바뀐 셈이어서 최종 위치는 2\(2\)만큼 내려간다.
아래 그림은 이 첫 정리를 한 화면에 모은 것이다. 왼쪽 표에서 5\(5\) 이상이 나온 횟수를 잡고, 가운데의 횟수 대응을 지나 오른쪽 위치 부등식으로 이어진다.
5 이상이 나온 횟수 X\(X\)를 세면 위치 조건이 X≥5250\(X\ge5250\)으로 바뀐다.
그래서 5\(5\) 이상이 나온 횟수를 X\(X\)라 둔다. 한 번의 성공확률은 31\(\frac{1}{3}\)이고 시행 횟수는 16200\(16200\)번이므로 X∼B(16200,31)\(X\sim B\left(16200,\frac{1}{3}\right)\)이다.
위치 조건을 횟수 조건으로 바꿔보자
5\(5\) 이상이 나온 횟수가 X\(X\)이면 왼쪽으로 간 횟수는 X\(X\)이고, 오른쪽으로 간 횟수는 16200−X\(16200-X\)이다. 따라서 최종 위치 S\(S\)는
S=(16200−X)−X=16200−2X\[S=(16200-X)-X=16200-2X\]
이다. 문제의 조건은 S≤5700\(S\le5700\)이므로 16200−2X≤5700\(16200-2X\le5700\)이다. 정리하면 2X≥10500\(2X\ge10500\), 즉 X≥5250\(X\ge5250\)이다.
경계도 같이 확인한다. X=5250\(X=5250\)이면 위치가 정확히 5700\(5700\)이고, X\(X\)가 커지면 왼쪽 이동이 많아져 위치가 더 작아진다. 따라서 구하는 확률은 P(X≥5250)\(P(X\ge5250)\)이다.
평균과 표준편차를 뽑아 표준화하자
표준정규분포표를 쓰려면 5250\(5250\)이 이항분포의 평균에서 얼마나 떨어져 있는지 알아야 한다. X∼B(16200,31)\(X\sim B\left(16200,\frac{1}{3}\right)\)이므로 평균과 분산은
이다. 따라서 표준편차는 60\(60\)이다. 시행 횟수 16200\(16200\)이 충분히 크므로 X\(X\)는 평균 5400\(5400\), 표준편차 60\(60\)인 정규분포로 근사해서 본다.
구하려는 확률은 P(X≥5250)\(P(X\ge5250)\)이고, 5250\(5250\)을 표준화하면 605250−5400=−2.5\(\frac{5250-5400}{60}=-2.5\)이다. 따라서 k=P(X≥5250)≒P(Z≥−2.5)\(k=P(X\ge5250)\fallingdotseq P(Z\ge-2.5)\)로 바뀐다.
여기서 5250\(5250\)은 평균의 왼쪽에 있는 경계이고, 그 오른쪽 영역을 구하고 있다. 따라서 확률은 절반을 넘는 값으로 나와야 한다.
표가 주는 구간을 누적확률에 맞춰 읽어보자
주어진 표는 P(Z≤z)\(P(Z\le z)\)가 아니라 P(0≤Z≤z)\(P(0\le Z\le z)\)를 준다. 표에서 읽은 0.494\(0.494\)를 어느 구간에 붙여야 하는지는 아래 그림처럼 보면 빠르다.
P(Z≥−2.5)\(P(Z\ge-2.5)\)는 표의 가운데 넓이 0.494\(0.494\)와 오른쪽 절반 0.5\(0.5\)를 더해 읽는다.
z=2.5\(z=2.5\)일 때 표에서 P(0≤Z≤2.5)=0.494\(P(0\le Z\le2.5)=0.494\)이다. 표준정규분포는 0\(0\)을 중심으로 대칭이므로
이다. 따라서 k=0.994\(k=0.994\)이고, 문제에서 묻는 값은 1000k=994\(1000k=994\)이다.
정답은 994\(\boxed{994}\)이다.
위치 변화량으로도 같은 값이 나오는지 확인해보자
이 계산은 위치 변화량을 바로 변수로 두어도 같은 표준화 값이 나오는지 확인하는 검산이다. 한 번의 위치 변화 자체를 Y\(Y\)라 두면 Y=1\(Y=1\)일 확률은 32\(\frac{2}{3}\), Y=−1\(Y=-1\)일 확률은 31\(\frac{1}{3}\)이다.
그러면 E(Y)=31\(E(Y)=\frac{1}{3}\)이고, Y2=1\(Y^2=1\)이 항상 성립하므로 V(Y)=1−(31)2=98\(V(Y)=1-\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{8}{9}\)이다. 16200번 뒤 위치를 S\(S\)라 두면 E(S)=16200⋅31=5400\(E(S)=16200\cdot\frac{1}{3}=5400\)이고 V(S)=16200⋅98=14400\(V(S)=16200\cdot\frac{8}{9}=14400\)이다.
표준편차는 120\(120\)이고, 위치 조건 S≤5700\(S\le5700\)을 표준화하면 1205700−5400=2.5\(\frac{5700-5400}{120}=2.5\)가 된다. 앞에서 X\(X\)로 계산했을 때의 P(Z≥−2.5)\(P(Z\ge-2.5)\)와 같은 확률 P(Z≤2.5)\(P(Z\le2.5)\)가 나온다.
이 문항에서 어려웠던 지점
이 문항에서 헷갈리기 쉬운 부분은 최종 위치가 한쪽 횟수만으로 정해지지 않는다는 점이다. 오른쪽 횟수와 왼쪽 횟수의 차이가 위치이고, 5\(5\) 이상이 나온 횟수 X\(X\)를 잡으면 위치가 16200−2X\(16200-2X\)로 정리된다. 이 식에서 X\(X\)가 커질수록 위치가 작아진다는 방향까지 같이 확인해야 X≥5250\(X\ge5250\)이 자연스럽게 나온다.
또 하나는 표준정규분포표의 읽는 방식이다. 표는 가운데에서 z\(z\)까지의 넓이 P(0≤Z≤z)\(P(0\le Z\le z)\)를 준다. 이번 계산에서는 P(Z≥−2.5)\(P(Z\ge-2.5)\)를 구하므로 가운데 넓이 0.494\(0.494\)에 절반 넓이 0.5\(0.5\)를 더한다.
비슷한 확률 문제에서는 먼저 반복 시행의 결과를 작은 표로 만들고, 최종 조건을 횟수 조건으로 바꿔 본다. 그다음 평균과 표준편차를 뽑아 경계값이 몇 표준편차 떨어져 있는지 재면 표준정규분포표를 읽을 위치가 정해진다.
